Mouvement dans un champ en 1/r
2A. Potentiel newtonien.
A.1 Attraction universelle.
Une masse ponctuelle M exerce sur une autre masse m une force :
-11 2 6.67.10 S.I.
= −GMm avec G=
f r u
Cette force dérive de l’énergie potentielle :
P /
E = −GMm r+Cte
On prend en général la constante nulle, de sorte que l’énergie potentielle est nulle « à l’infini ».
A.2 Calcul du champ et du potentiel.
La masse M est à l’origine d’un champ de gravitation : g= −
(
GM r/ 2)
u. Dérivant du potentiel V = −GM r/ . Les calculs de g et de V sont en tous points analogues à ceux de l’électrostatique. Le théorème de Gauss est valable ; en particulier, le champ de gravitation d’un astre à symétrie sphérique est identique à celui d’une masse ponctuelle placée en son centre.B. Mouvement dans un champ en 1/r2
B.1 Lois de Kepler.
Un point A de masse m en mouvement sous l’action d’un champ de gravitation d’un point de masse M supposé fixe en O. Les lois de Kepler décrivent le mouvement ; ces lois sont au nombrer de trois :
1° L’orbite est une conique dont un foyer est en O.
2° Le mouvement est décrit suivant la loi des aires.
3° Dans le cas d’une orbite elliptique, les carrés des temps de révolution sont proportionnels aux cubes des grands axes :
( )
3 2 2
/ = GM/4
a T =Cte π
Les lois de Kepler sont caractéristiques du champ en
1/r
2 ; l’étude du mouvement permet de déterminer la constante de la troisième loi : GM / 4π2 .Cette expression est très utile.
B.2 Les constantes du mouvement.
Dans l’étude du mouvement défini en B.1. :
2
O = ∧m et E=1/ 2mv −GMm r/
σ OA v
sont des constantes du mouvement. La conique ayant pour équation en coordonnées polaires :
1/r=(1+ecos(θ θ− 0) /p
l’énergie a pour expression :
(
2 1)
2 E GMm e
= p −
Si e < 1 (cas de l’ellipse) , l’énergie E est négative : si e > 1 (hyperbole), l’énergie est positive. Le cas e = 1 correspond à une énergie nulle : Le point A décrit une parabole, et arrive à l’infini avec une vitesse nulle.
Dans le cas d’une trajectoire elliptique, l’énergie se met sous la forme :
- / 2
E= GMm a
et est indépendante du petit axe de l’ellipse.
B. Diffusion de Rutherford (cas d’une force répulsive en 1/r2)
Une particule de masse m, de charge Z’e est diffusée par un noyau supposé fixe à
O F
F’
2c 2a
2b
Fig. 3 Ellipse de foyers F et F’.
l’origine des coordonnées. Soit Ze la charge du noyau. La particule mobile subit une diffusion d’angle θ. Avec les notations de la figure 4 :
(
/ 2)
' 2/ 4(
0 02)
tg θ =ZZ e πε mv b b porte le nom de « paramètre d’impact ».
Exercices
Ex.1. Masse de la terre, masse de l’atmosphère.
1° Connaissant le rayon terrestre : RT = 6,4.106 m, la constante de gravitation : G= 6,67.10-11 S.I. et la valeur de g au pôle : gp = 9,83 m.s-1, calculer la masse MT de la terre et sa masse volumique moyenne ρm.
2° Montrer que la masse de l’atmosphère, Matm, est celle d’une couche de mercure de rayon RT et d’épaisseur h0 = 76 cm ; connaissant RT (cf. 1°) et la masse volumique du mercure : ρ0 = 13,6.103 kg.m-3, en déduire la masse de l’atmosphère. Que vaut le rapport Matm/MT ?
1° Au pôle, le poids se confond avec l’attraction universelle. En considérant la terre comme une sphère :
2/
T p T
M =g R G soit : MT =6.1024kg
1
4 3
m MT 3 RT
ρ π
−
=
soit : ρm =5, 5.103kg m/ 3
2° Les couches « denses » de l’atmosphère ne s’étendent que sur quelques dizaines de kilomètres et on peut, en première approximation, négliger les variations de g. la relation fondamentale de la statique des fluide dp = ρg dz , donne ici, par intégration :
Fig. 4.
v0
θ
b
Z
eZ’
em
Diffusion par une charge fixe
Z
e.0 0 0
hHm
g
∫
ρ dz=P=h ρ goù ρ0 est la masse volumique du mercure et h0 la hauteur « normale » du baromètre à mercure (i.e. 76 cm). Compte tenu de l’approximation faite sur la
« hauteur limite » de l’atmosphère (hlim << RT), la masse de l’atmosphère est :
2 2
0 0
4 0hHm 4
atm T T
M = πR
∫
ρ dz= πR h ρA.N. Matm =5, 3.1018kg Matm/MT =4πGh0ρ0/g=0,89.10 −6
La masse de l’atmosphère est assez importante pour entraîner, par conservation du moment cinétique, des variations saisonnières de la durée du jour, variation dont l’amplitude est de l’ordre de 0,06 s.
