R ,,, ZYXC ,,, ZYXC

Université de Boumerdès-Faculté des sciences-Département de physique Recueil d’examens de Mécanique rationnelle de 1999 à 2009 :A.KADI ; A.HADI

Synthèse de Mécanique Rationnelle : durée : 02h : 25 Juin 2007 Important :

il ne sera distribuéqu’un exemplaire par étudiant

Nom : Prénoms : Matricule : Groupe :

Géométrie des masses : On considère un solide surfacique, homogène, ayant une symétrie de révolution, de masse M, en forme de demi cylindre, de rayon R , et de longueurL=4R (figure 1) . Déterminer :

1) Le centre de masse G du solide par rapport au repère

( ^{C , X , Y , Z} )

, où C est le centre géométrique du cylindre entier;

………

………

………

………

………

XG = YG = ZG =

2) La matrice d’inertie au point C, par rapport au repère

( ^{C , X , Y , Z} )

, en fonction de M et de R.

………

………

………

………

………

………

………

………

……….

( )

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

. .

.

. .

.

. .

.

, ,

,X Y Z

I C

Z

Y

R

X

C

Figure 1 L=4R

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Statique : En un point A du plan médian du demi cylindre, on fixe un corps solide de masse m, qu’on assimile à un point matériel. Le système est posé sur un sol horizontal lisse, et est en équilibre statique, dans la position représentée dans la figure 2.

Déterminer à l’équilibre statique:

1) la réaction N du sol au point I ;

………

………

………

………

………

N =

2) la valeur de

α

, en fonction de M , m et R, pour laquelle le demi cylindre est en équilibre statique.

……….

………

………

………

………

………

………

………

………

α

=

X

→

g

Y

G

Figure 2

A C

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Cinématique : Maintenant la masse m peut glisser sans frottement, sur la surface intérieure du demi cylindre, qui lui même roule sans glisser sur le sol. Le point C (centre géométrique du cylindre) est repéré par :

(

OC=RX0 +y(t)Y0

)

.

(

^{0 0 0}

)

0:O,X ,Y,Z

R est le repère fixe et de projection , R₁:(C,X₁,Y₁,Z₁) est le repère lié au demi cylindre, qu’on choisira comme repère relatif.

1) Montrer que la condition de roulement sans glissement au point I s’écrit :

•

• =−Rθ y ;

………

………

………

………

………

………

………

………

2) Calculer :

a) la vitesse relative V¹

(

P

)

→

de m ;

………

………

………

………

………...

...

...

...

→ =

)

1

(

P V

b) la vitesse d’entraînement V₁⁰

(

P

)

→

de m ;

………

………

………

………

………

………

………

………

………

→ =

)

0

(

1 P

V

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c) la vitesse absolue V⁰

(

p

)

→

de m ;

………

………

………

………

→ =

)

0

(

P V

3) Déterminer :

a) l‘accélération absolue ⁰

(

P

)

γ

→ de m, par dérivation,

………

………

………

………

→ =

)

0

( γ

P

b) l’équation de mouvement de m, en appliquant la deuxième loi de Newton ( F m ⁰

(

P

)

i i

→ →

∑

=

^γ

), à la masse m.

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Figure 3

X

0

C Y

₀

I

O

Y

1

X

1 X0

→

Y O

y(t)