Université de Boumerdès Année 2009-2010 Faculté des sciences
Dépt. de Physique
Mécanique rationnelle : TCT Synthèse Durée : 02h Juin 2010
→
y0
O O’
A’
B’
A B
S1
S2
→
x0
L
L
L L
S0
.
Exercice 1 :(07 pts)
L’élément principal d’un ‘’mixeur’’ est constitué par une tige homogène OO’ , de longueur 2L, de masse m (solide S0) sur laquelle sont soudées deux pales identiques (S1 et S2 ) surfaciques triangulaires homogènes de même masse M tel que représenté sur la figure ci contre.
1- Déterminer le volume obtenu en tournant les surfaces S1 et S2 autour de l’axe Ox0 ;
2- Déterminer la matrice d’inertie du solide S0 au point O dans R0 ;
3- Calculer la matrice d’inertie du solide S1 au point O dans R0 et en déduire celle de S2 au même point, en fonction de L et de M ;
4- Ecrire la matrice d’inertie du système au point O dans R0 .
5- Déterminer les coordonnées des centres d’inertie G1 et G2 des deux solides S1 et S2.
Exercice2 :(04 pts)
Soit le système formé de deux barres identiques, de même longueur L, articulées en point A, en mouvement plan. L’extrémité O est fixe tandis que l’extrémité B glisse le long de l’axe (O,x0).
Le système est repéré par le paramètreθ . 1) Calculer le vecteur vitesse du point B ; 2) Déterminer les coordonnées du centre instantané de rotation de la barre AB ;
a) géométriquement ; b) analytiquement.
→
x0
→
y0
A
O
L L
θ B
Exercice 03 : (09pts)
Une tige homogène (AB) de masse m et de longueur L est en mouvement par rapport à un repère fixe tel que sont extrémité A glisse de façon permanente le long de l’axe avec
. ) , , ,
( 0 0 0
0
→
→
→
z y x O R
→
z0
→
→
−− = z(t)z0 OA
Le repère 1( , 1, 1, 1)est défini par : ; avec
→
→
→
z y x O
R (x→0,x→1)=(y→0,y→1)=ψ
→
→0 ≡ z1 z
Le repère 2( , 2, 2, 2)lié à la tige, est défini par : ; avec
→
→
→
z y x O
R (x→1,x→2)=(z→1,z→2)=θ
→
→1 ≡ y2 y On choisira 1( , 1, 1, 1) comme repère de projection et relatif, on prendra
→
→
→
z y x O
R ψ• =cte.
1- Etablir les figures planes de rotation ;
2- Calculer la vitesse de rotation de la tige par rapport au repère fixe R0 ;
3- Calculer la vitesse et l’accélération du point A par rapport à R0 par dérivation ;
4- Calculer la vitesse et l’accélération du point B par rapport à R0 par la cinématique du solide ; 5- Calculer la vitesse et l’accélération du point G par rapport à R0 par composition de
mouvement ;
6- Déterminer le moment cinétique de la tige au point A ; 7- Déterminer le moment dynamique de la tige au point A ; 8- Calculer l’énergie cinétique de la tige par rapport à R0 .
On donne : avec :
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
= =
a a R
tige IA
0 0
0 0
0 0 0 ) /
( 2
3 mL2
a=
z(t)
→
x1
→
x0
G
→
→ 1 0,z z
A
O
B
→
y0
→
x1
ψ
θ
→
x2
θ
→
z2
L
Corrigé Synthèse Mécanique Rationnelle 2009/2010
Exercice 1 :(07 pts)
1) Volume engendré par la rotation des surfaces S1 et S2 en tournant autour de l’axe Ox0 :
1 2 3 3 3
3 2 3
1 3
1 L L L
V V
Vtot = cone + cone = π + π = π
2) Matrice d’inertie du solide S0 au point O dans R0 :
0.5
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
3 0 4
0
0 0
0
0 3 0
4 ) (
2 2
0
mL mL
S IO
0.5
3) Matrice d’inertie du solide S1 au point O dans R0 puis celle de S2 au même point : Nous avons :
OA OD AB
CD = ⇒CD=OD=x , car AB =OA=L D’autre part :
AB BF OA
EF = ⇒ EF =BF = L− y , car AB=OA= L dx
CD ds
dm=σ =σ . . ⇒
2
2
0
xdx L M
L σ
σ =
=
∫ 0.5
ou bien dm=σds=σ .EF.dy ⇒
( )
2
2
0
dx L y L M
L σ
σ − =
=
∫
L
→
y0
S0
O O’
A’
B’
A B
S1
S2
→
x0
L
L L
x dx
dy
y
D C
E F
Solide plan : z =0⇒ Izx =Izy =0
( )
6
2
0 2
2 L
M dy y L x dm x I
L
xx =
∫
s =∫
− == ; 220 2
2 L
M xdx x dm x I
L
yy =
∫
s =∫
σ =0.5 0.5
0.5
2 2
2
3 2 6
2 L ML
L M M I I
Izz = xx + yy = + = ;
4
2
0 0
M L dx x y xydm I
L y
xy =
∫
s =∫ ∫
σ =0.5
Donc :
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
3 0 2
0
2 0 4
4 0 6
) (
2 2
2
2 2
1
ML ML
ML
ML ML
S IO
0.5
Par raison de symétrie, la matrice d’inertie du solide S2 :
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
3 0 2
0
2 0 4
4 0 6
) (
2 2
2
2 2
2
ML ML
ML
ML ML
S IO
0.75
4) matrice d’inertie du système, au point O :
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+ +
= +
+
= Σ
3 4 3 0 2
0
2 0 0
0 3 0
4 6 ) ( ) ( ) ( ) (
2 2
2 2
2
2 1
0
mL ML
ML mL
ML S
I S I S I
IO O O O
0.25
0.5
5) Coordonnées des centres d’inertie G1 et G2 des deux solides S1 et S2 :
3 2 2 2
3 1 2
2 2
3 3
1 1
1
1
L . L
L . L ) S
( V V
S . x V
triangle cone cylindre tot
y / tot
G − = =
=
= π π
π π
π π
- 0.5
3 2 2
3 1 2
2 2
3
1 1
1
1
L . L
L . ) S
( V S
. y V
triangle cone tot
x / tot
G = = = =
π π π π
π
0.5
Donc
⎪⎩
⎪⎨
⎧
→ =
−
0 3
3 2
1 L/
/ L OG
Par raison de symétrie par rapport à l’axe Oy0 :
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
→ =
−
0 3 /
3 / 2
2 L
L
OG 0.5
Exercice 2 :(04 pts)
1) Vecteur vitesse du point B :
On a : ( )
dt OB VB d
→ →
= 0
0 avec
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
→ =
0 0 cos 2L θ OB
→
x0
→
y0
A
O
L L
θ B
I
ϕ
0.5 0.5 0.25
Donc : ( )
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛−
=
•
→
0 0
sin 2
0
θ θ L
VB 0.5
2) Centre instantané de rotation de la barre AB : a) géométriquement :
I : Centre instantané de rotation est donné par :
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
→ =
0 sin 2
cos 2 0
cos 2
cos 2 0
θ θ θ
θ θ
L L tg
L L BI
OB
OI 0.5
a) analytiquement :
On a : ( )
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟ =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
= Ω
⇒
−
= →
•
→
0 cos 2
; 0 0
0
I I
AB y
x L
IB
θ θ
θ π ϕ
0.5
0.5
( ) ( )
( )
⎩⎨
⎧
=
⇒ =
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
−
=
−
=
−
⎟⇒
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟∧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛−
⇒
∧ Ω
= •
•
•
•
•
→ →
→
I I
I I I
I AB
B
y L
y L
x L
y L
y x L
L IB
V
θ θ
θ θ
θ θ θ θ
θ θ
θ
sin 2
sin 2
0 0
cos 2 0
sin 2 0
cos 2 0
0 0
0 sin 2
0 0
0.25
0.5
Exercice 3 :(09 pts)
1) Les figures planes de rotation :
2) Vitesse de rotation de la tige par rapport au repère R0 :
→
x0
→
y0
→
x1
→
y1
→
x1
→
x2
→
z2
→
z1
ψ θ
ψ θ
→
→ 1 0,z
z → →
1 2,y y
0.25 0.25
1 1
1
0
0 0 0
0
0 1 1
2 0 2
R R R
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟ =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
= Ω + Ω
=
Ω •
•
•
•
→
→
→
ψ θ θ
ψ
0.25
3) Vitesse et accélération du point A par rapport à R0 ,par dérivation :
• Vitesse :
On a : OA ⇒
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
→ =
1 0,
0 0
R
z R
( )
1 0, 0
0 0
0
R R A
dt Z OA V d
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
= •
→ → 0.25
• Accélération :
( ) ( )
1 0, 0
0
0 0
0
R R A
A
dt Z V d
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
= ••
→ →
γ 0.25
4) Vitesse et l’accélération du point B par rapport à R0 par la cinématique du solide :
• Vitesse : On a :
1 2
sin 0 cos
0 0
R
R L
L L
AB ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟ =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
→ =
θ θ
0.25
( ) ( )
1 1 1
1 cos
cos sin sin
0 cos 0
0 0
0 2 0 0
R R
R R
A B
L Z
L L L
L Z
AB V
V
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
⎟ =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟ ∧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
∧ Ω +
=
•
•
•
•
•
•
•
→ →
→
→
θ θ
θ ψ
θ θ θ
θ ψ
θ 0.25
• Accélération :
* ( ) ( ) ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛Ω ∧
∧ Ω + Ω ∧
+
= → → → →
→ →
→
AB dt AB
d
A B
0 2 0 2 0
2 0 0
0 γ
γ
0.25
0.25
*
1 1
1 1
0 0
0 0 0
0
0 2 0 1 0 2 1 0 2 0
R R R
R
dt d dt d
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟ =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟ ∧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
= Ω
∧ Ω Ω +
Ω = ••
•
•
•
•
•
•
→ •
→ →
→
θ θ ψ ψ
θ ψ
θ
1 1
1
cos sin sin sin
0 cos 0
0 2 0
R R
R
L L L L
L dt AB
d
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
⎟ =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
∧
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
= Ω ∧
⇒
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
→
→
θ θ
θ θ ψ
θ θ θ
θ θ
θ ψ
*
1 1 1
1 sin
sin cos
sin 0 0 cos
0
2 2 2
0 2 0
2
R R
R
R L
L L
L L AB
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ +
−
⎥ =
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟ ∧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟ ∧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟ =
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛Ω ∧
∧ Ω
•
•
•
•
•
•
•
•
•
→ →
→
θ θ
θ θ ψ
θ θ
ψ
θ θ ψ
θ ψ
θ
D’où :
5) Vitesse et accélération du point G par rapport à R
( )
1 1
1
1 cos sin
sin 2
sin cos
sin sin
cos
cos sin sin 0
0
2 2
2
2 2 2
0
R R
R R
B
L L
Z
L
L L
L L L
L L L
Z
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
− +
−
⎟⎟ −
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ +
−
=
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ +
− +
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
⎟ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
→
θ θ θ θ
θ θ ψ
θ θ θ θ
ψ
θ θ
θ θ ψ
θ θ
ψ
θ θ
θ θ ψ
θ θ γ
0 , par composition de mouvement :
0.75
-La vitesse absolue de G est donnée par la relation de composition des vitesses :
) ; ( ) ( )
( 1 10
0 G V G V G
V
→
→
→ = +
1
2sin 0 2cos
R
Z L L OG
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+
→ =
θ θ
0.25
0.5
* Vitesse relative :
1 1
1 cos
2 0 2 sin 2sin
0 2cos 0 .
0 )
(
1 1
1 1
1
R R
R
Z L L L
L dt d dt Z
AG d dt
OA d dt
OG G d
V
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
= +
=
= • •
•
•
→
→
→ →
θ θ
θ θ θ
θ
0.25
* Vitesse d’entraînement :
1 1
1 0
2 0
2 0 2 0
0
0 1 0
0 1
R R
R
Lcos Lsin
Z Lcos OG
) O ( V ) G ( V
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
∧ +
= •
•
→ →
→
→ ψ θ
θ θ ψ
Ω
0.5
1 1
1 2
2 2 0
2 0
2 0
0 2
R R
R L cos
Z Lcos L sin Lcos
L cos Z
L sin )
G ( V
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
=
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛ +
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
=
•
•
•
•
•
•
•
•
→
θ θ
θ ψ
θ θ θ
ψ θ
θ θ
θ 0.25
-L’accélération absolue de G est donnée par la relation de composition des vitesses : )
( ) ( ) ( )
( 1 10
0 G G G C G
→ →
→
→ =γ +γ +γ
γ
* Accélération relative :
1
2 sin 2 cos
0 2 cos 2 sin
) ) (
(
2 2
1 1 1
R
L Z L
L L
dt G V G d
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
− +
−
−
=
=
•
•
•
•
•
•
•
•
→ →
θ θ θ θ
θ θ θ θ γ
* Accélération de Coriolis :
1 1
1
0 sin 0 2 cos
0 2 sin 0
0 2 ) ( 2
)
( 10 1
R R
R
C L
Z L L G
V
G ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
⎟ ∧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
∧ Ω
= • •
•
•
•
•
→
→ →
θ θ ψ θ
θ θ θ ψ
γ
0.5 0.5
* Accélération d’entraînement : ( ) ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛Ω ∧
∧ Ω + Ω ∧
+
= → → → →
→ →
→
OG dt OG
G O d 10 10
0 1 0 0 0
1( ) γ
γ
1 1 1
1
0 0 2 cos 2sin
0 2cos 0
0 0
0
2
0 1 0 1
R R R
R
L Z L
L OG
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛−
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟ ∧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟ ∧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟=
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛Ω ∧
∧ Ω
•
•
•
→ →
→ ψ θ
θ θ ψ
ψ
Soit :
1
0 0 2 cos )
(
2
0 1
R
L G
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛−
=
•
→ ψ θ
γ
0.5
D’où :
1
1 1
1
2 sin 2 cos
sin 2 cos 2 sin
0 0 2 cos 0
sin 0 2 sin
2 cos 0
2 cos 2 sin
) (
2 2 2
2
2 2
0
R
R R
R
L Z L
L L L
L L
L Z L
L L
G
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
− +
−
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ +
−
−
=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛−
⎟ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
− +
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
− +
−
−
=
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
→
θ θ θ θ
θ θ ψ
θ θ
ψ θ
θ
θ ψ θ
θ ψ θ
θ θ θ
θ θ θ θ γ
0.5
6) Moment cinétique de la tige au point A :
On a :
2
1 cos
0 sin
0 2
R
R ⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟ =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
Ω •
•
•
•
→ •
θ ψ
θ θ ψ ψ
θ
1
1 1
2 1
1 2 1
2
2
2 0
0 2 0
2
0 2
0
0 2 0 0
0 0
2 0 2 0
0
0 0
0 0 0
R
R R
R R
R R R
R A
) ( A
cos a
cos LZ m a
sin a
cos LZ m cos
a a
sin a cos
LZ m cos
a a
sin Z L Lcos m cos
sin
a a )
A ( V AG m I
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
− +
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
∧
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ +
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟ −
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
∧ +
=
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
→ →
→
→
θ ψ
θ θ
θ ψ
θ θ
ψ θ
θ ψ θ
θ ψ
θ
θ θ θ
ψ θ
θ ψ Ω
σ
0.25
0.5
7) Moment dynamique de la tige au point A :
( ) ( ) ( )
1
1 1
1 1
1
2 2
2 2 2 0
0 0 2
0
2
2 2
2 2
0 0
0 0 1 0 1 0
0 0
0
R
R R
R R
R
) ( A A
A A
sin cos a
sin a cos LZ m a
a cos a
L cos Z
Lcos L sin
Z m cos
a
cos LZ m a
sin a
sin cos a
sin LZ
m cos LZ m a
cos a
) G ( V ) A ( V dt m
) d G ( V ) A ( V dt m
d
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
+
−
=
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
⎟ ∧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ +
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
⎟ ∧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ +
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
−
−
=
∧ +
∧ +
=
∧ +
=
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
→
→
→
→ →
→
→ →
→ 0
θ θ θ ψ
θ ψ θ θ
θ ψ θ θ ψ
θ θ
θ ψ
θ θ
θ ψ
θ θ
θ ψ ψ
θ θ θ ψ
θ θ θ
θ
θ θ ψ
σ σ Ω
δ σ
0.25
0.5
8) Energie cinétique de la tige par rapport à R0 ;
0.25
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ Ω
⎟⎟ +
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝ + ⎛ Ω Ω
= → → → → 0→ →02
2 0 0
2 0
2 )
0
( ( ) , ( ),
2 1 2
1 I m V A m AGV A
E A
t C
* ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ +
=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟ −
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ −
= Ω
Ω • •
•
•
•
•
•
→ •
→ θ ψ θ
θ ψ
θ θ ψ θ
ψ θ θ
ψ 2 2 2
0 2 0
2 cos
2 1 cos
sin
0 0
0 0
0 0 0 cos
2 sin 1 2
1
2 2
a a
a I
R R
A t
*
2 2 0
2 ) 1 2 (
1 → •
⎟⎟ =
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛V A mZ
m
* θ θ
ψ θ θ
θ
2 cos 0
0 0 2sin
0 2cos ,
) ( ,
1 1 1
0 2
0 • •
•
•
•
→
→ →
⎥=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟ ∧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
•
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟=
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ Ω LZ
m L Z
L m A
V AG m
R R R
D’où : θ ψ θ θcosθ 0.5
2 2
cos 1 2
1 2 2 2 2
) 0
( • • • • •
+
⎟⎟+
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ +
= LZ
m Z m a
EC
