Corrigé fiche 6 Exercice 1
Variables
N , u : nombres réels Début
Affecter à n la valeur 1 Affecter à u la valeur 5
Pour n allant de 2 à 10
Affecter à u la valeur 2*u+3 Afficher u
Fin pour Fin
Exercice 2
1) 𝑢1 = 𝑢0+ 0 + 1 = 0 ; 𝑢2 = 𝑢1+ 1 + 1 = 2 ; 𝑢3 = 𝑢2+ 2 + 1 = 5 ; 𝑢4 = 𝑢3 + 3 + 1 = 9 ; 𝑢5 = 𝑢4+ 4 + 1 = 14
2) Elle n’est pas arithmétique car 5 – 2 = 3 et 2 – 0 = 2 . Elle n’est pas géométrique car 5/2 = 2,5 et 9/5 =1,8
3) 𝑣0 = 𝑢1− 𝑢0 = 1 ; 𝑣1 = 𝑢2 − 𝑢1 = 2 ; 𝑣2 = 𝑢3− 𝑢2 = 3 ; 𝑣3 = 𝑢4− 𝑢3 = 4
𝑣𝑛+1− 𝑣𝑛 = 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛+2− 𝑢𝑛+1− 𝑢𝑛+1+ 𝑢𝑛 = 𝑢𝑛+1+ 𝑛 + 1 + 1 − 2(𝑢𝑛+ 𝑛 + 1) + 𝑢𝑛
= 𝑢𝑛+1− 𝑛 − 𝑢𝑛 = 𝑢𝑛 + 𝑛 + 1 − 𝑛 − 𝑢𝑛 = 1 Donc la suite (𝑣𝑛) est arithmétique de raison 1
4) Par la formule on a : 𝑣𝑛 = 1 + 𝑛
𝑣0+ 𝑣1+ ⋯ + 𝑣𝑛−1 =𝑣0+ 𝑣𝑛−1
2 × 𝑛 =1 + 1 + 𝑛 − 1
2 × 𝑛 =𝑛(𝑛 + 1) 2 5) 𝑣0+ 𝑣1+ ⋯ + 𝑣𝑛−1 = 𝑢1− 𝑢0+ 𝑢2− 𝑢1+ ⋯ + 𝑢𝑛− 𝑢𝑛−1 = 𝑢𝑛 − 𝑢0 = 𝑢𝑛+ 1
𝑢𝑛+ 1 =𝑛(𝑛 + 1)
2 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑢𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1) 2 − 1
Exercice 3
1) lim
𝑛→+∞𝑢𝑛 = 0 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 2) lim
𝑛→+∞𝑢𝑛 = +∞ 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 3) 𝑢𝑛 = (−2)𝑛
Si n est pair , la limite sera positive et égale à +∞ et si n est impair la limite sera −∞ . cette suite n’a donc pas de limite et elle diverge .
4) 𝑢𝑛 = 5 (1 4)
𝑛
𝑛→+∞lim (1 4)
𝑛
= 0 𝑐𝑎𝑟 − 1 <1
4< 1 𝑑𝑜𝑛𝑐 lim
𝑛→+∞𝑢𝑛 = 0 𝑒𝑡 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
Corrigé fiche 6
Exercice type 1) On a :
𝑓′(𝑥) =1
2> 0 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑓 𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒 2) On a :
3) Il semble que la suite soit croissante et converge vers -0,7 4) Initialisation
𝑢1 = −4
3> −2 Donc 𝑢1 > 𝑢0
Hérédité : supposons que pour un rang n , on a : 𝑢𝑛+1> 𝑢𝑛 Puisque la fonction f est croissante alors 𝑓(𝑢𝑛+1) > 𝑓(𝑢𝑛) C'est-à-dire : 𝑢𝑛+2> 𝑢𝑛+1
Et donc la suite (𝑢𝑛) est croissante 5) On a :
𝑓 (−2 3) =1
2(−2 3) −1
3= −2 3
On sait que la fonction f est croissante donc : 𝑥 < −2
3⇔ 𝑓(𝑥) < 𝑓 (−2
3) ⇔ 𝑓(𝑥) < −2 3
6) Initialisation :
𝑢0 = −2 < −2 3
Hérédité
𝑠𝑢𝑝𝑝𝑜𝑠𝑜𝑛𝑠 ∶ 𝑢𝑛 < −2
3 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑛é
Corrigé fiche 6 Par la question 5) , on a alors :
𝑓(𝑢𝑛) < −2
3⇔ 𝑢𝑛+1 < −2 3 7) Puisque la suite est croissante majorée alors elle converge .
