Relations binaires

Stanislas

Exercices

Relations binaires

Ensembles de nombres

Chapitre VI

MPSI 1 2015/2016

I - Relations d'équivalence

Exercice 1. (Germes,-)SoitE =F(R,R) l'ensemble des fonctions deRdansR. Deux fonctions f etg de E sont en relation, notéfRg, si

∃α >0 ; ∀x∈]−α, α[, f(x) =g(x).

Montrer queR est une relation d'équivalence.

Exercice 2. (,→)SoientE un ensemble etA∈P(E). Deux partiesB etC deE sont en relation, notéBRC, siB∆C ⊂A.

1. Montrer queR est une relation d'équivalence.

2. SoitB ∈P(E). Montrer que la classe de B est

{(B∩^cA)∪K, K ∈P(A)}.

II - Relations d'ordre

Exercice 3. (-)On dénit surR² la relation binaire 4par : pour tous ((p, q),(p⁰, q⁰))∈R²×R² on note (p, q)4(p⁰, q⁰)si (p6p⁰ etq 6q⁰).

1. Cette relation est-elle une relation d'ordre ? 2. S'agit-il d'une relation d'ordre total ?

Exercice 4. (-)SoitN^? muni de la relation divise|, c'est à dire pour tousa, b∈N^?,a|bs'il existe k∈N^? tel que b=ak.

1. Montrer que|est une relation d'ordre surN^?. Cet ordre est-il total ?

2. Soit A = {2,3,5,10,12,20}. Identier l'ensemble des majorants et l'ensemble des minorants de A.

Exercice 5.Soit X un ensemble non vide. PourA ⊂X, on dénit la fonction indicatrice 1Asur X par 1A(x) = 0 six6∈A et 1A(x) = 1 six∈A. On pose

Φ : (P(X),⊂) → (F(X,R),6) A 7→ 1A

Montrer queΦ est croissante.

III - Nombres entiers

Exercice 6. (Une formule de réciprocité, !) Soit u une suite réelle. Pour tout n ∈ N, on pose v_n=

n

P

k=0 n k

u_k etw_n=

n

P

k=0

(−1)^{n−k n}_k v_k.

1. Montrer que pour tousn∈N^? eti∈J0, n−1K, Pⁿ

k=i

(−1)^{n−k n}_{k k}

i

= 0.

2. En déduire quew=u.

Exercice 7. (!) Soit ϕ : N → N une fonction croissante surjective. Montrer que pour tout n∈N,ϕ(n)6n.

Stanislas A. Camanes

Exercices. Relations binaires

Ensembles de nombres MPSI 1

IV - Relations d'ordre - Réels Exercice 8. (-)Soit A =n

(−1)ⁿ_n+1ⁿ , n∈N^?

o. Déterminer inf(A) et sup(A). A possède-t-il un plus grand ou un plus petit élément ?

Exercice 9. (-)SoientA etB deux parties non vides et majorées deR.

1. Démontrer que, siA⊂B alorssupA6supB.

2. Déterminersup(A∪B) en fonction desupA etsupB.

3. On suppose queA∩B est non vide. Comparer sup(A∩B) avec supA etsupB.

Exercice 10. (-) Soit A un sous-ensemble non vide et majoré de l'ensemble des nombres réels.

On note −A = {−x, x∈ A}. Montrer que −A possède une borne inférieure et que inf(−A) =

−supA.

Exercice 11. (-)Soient A et B deux parties non vides et majorées de R. Montrer que A, B et A+B ={x+y ; (x, y)∈A×B} admettent des bornes supérieures. Déterminersup(A+B) en fonction desup(A)etsup(B).

Exercice 12.Montrer que tout ensemble non vide ni deR possède un plus grand élément.

Exercice 13. (Ordre lexicographique,♥, !)On munit l'ensemble E =R+×R+ de l'ordre lexi- cographique déni par

(x, y)(x⁰, y⁰) ⇔ x < x⁰ ou[x=x⁰ et y6y⁰].

1. Montrer que≺est une relation d'ordre surE.

2. Montrer que[0,1]×[0,1]est majorée pour ≺et identier son plus grand élément.

3.SiE= [0,1]×[0,1]est muni de l'ordre lexicographique, montrer que toute partie non vide de E admet une borne supérieure.

4. SiE= [0,1]×]0,1]est muni de l'ordre lexicographique, le résultat précédent subsiste-t-il ? Exercice 14.Montrer qu'il est impossible de dénir sur l'ensemble des nombres complexes un ordre total qui soit compatible avec la structure de corps, c'est-à-dire vériant pour tous x, y, z∈C, six6y alorsx+z6y+z et si x6y et06z,xz6yz.

V - Nombres réels

Exercice 15. (-)Démontrer que pour tous (x, y)∈R² etn∈N^?, 1. bxc+byc6bx+yc6bxc+byc+ 1. 2.

j_bnxc

n

k

=bxc. Exercice 16. (!)Montrer que pour toutn∈N^?,√

n+√ n+ 1

=√

4n+ 2 .

Exercice 17. (Endomorphismes deR, !) Soit ϕ : R → R un morphisme d'anneaux, i.e. pour tout(x, y)∈R²,

ϕ(1) = 1,

ϕ(x+y) =ϕ(x) +ϕ(y), ϕ(x·y) =ϕ(x)·ϕ(y).

1. Montrer queϕest injectif.

2. Montrer que l'image parϕd'un réel positif est un réel positif.

3. Montrer queϕest croissant.

4. Montrer queϕest l'identité sur R.

Stanislas A. Camanes