Relations binaires Feuille 4
Exercice4.1
On définit surRla relation binaireRpar :xRy⇔cos2x+ sin2y= 1.
• Montrer que queRest une relation d’équivalence.
• Déterminer la classe d’équivalence dex∈R.
Exercice4.2
On considère la relation//surZ×N∗définie par :
∀(a, b), (c, d)∈Z×N∗(a, b)//(c, d)⇔(ad−bc= 0) Démontrer que//est une relation d’équivalence.
Exercice4.3
Soit(E. ≤)un ensemble ordonné.
Pour toutx, y∈E, on convient queex C y ⇔(x≤y)∨(y≤x). Ainsix C ysi et seulement sixetysont comparables.
La relation binaireCest-elle réflexive, est-elle symétrique, est-elle transitive?
Exercice4.4
On considère la relationsurNdéfinie par :
∀n, m∈N2, (nm)⇔ ∃p∈N, m=np. Vérifier queune relation d’ordre. Est-ce un ordre total?
Exercice4.5
Rest une relation binaire sur un ensembleE. On suppose queRest réflexive et transitive (on dit queRest un préordre).
1. On définit la relation binaireSpar :∀x, y∈E, x S y⇔(x R y)∧(y R x). Montrer queS est une relation d’équivalence.
2. Pour toutx, y∈E/S on posex R y ⇔x R y.
Montrer qneRest correctement définie et que c’est une relation d’ordre.
3. Montrer que la relationRde divisibilité est un préordre surZ.
Quelles sont les classes d’équivalence de la relationSassociée?
La relation d’ordre associé est-elle totale?
Exercice4.6
Soit(E, ≤)un ensemble ordonné.
Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
• Toute partie non vide deEpossède un minimum.
• «≤» est un ordre total et il n’existe aucune suite(xn)n∈NdeEstrictement décroissante.
On dit dans ce cas que «≤» est un bon ordre surE.
Exercice4.7
Soit(E, )un ensemble ordonné. On dit queEest bien ordonné lorsque toute partie non vide deEadmet un plus petit élément.
Quentin De Muynck Sous licencecbea
FEUILLE IV - RELATIONS BINAIRES
1. (a) Démontrer qu’un ensemble bien ordonné est totalement ordonné.
La réciproque est-elle vraie?
(b) Démontrer qu’un ensemble fini et totalement ordonné est bien ordonné.
2. Démontrer que si(E, )et(E. )sont bien ordonnés, alorsEest un ensemble fini.
3. On dit qu’un elémentxdeEadmet un successeurssdansElorsque x≺set∀a∈E, (x≺a)⇒(sa) où≺désigne 1’ordre strict associé à.
(a) Démontrer qne si un élementxdeEadmet un successeur, alors celui-ci est unique. On le note succ(x). (b) Dans le cas oùEest bien ordonné, démontrer que, pour tout élémentxdeE, on a l’alternative suivante : ou bienxest un élément maximal (c’est-à-dire qu’il n’existe pas d’élément plus grand quexdansE) ou bienxadmet un successeur.
Exercice4.8
SoitI un ensemble ordonné et(Ei)i∈Iune famille d’ensembles ordonnés.
Toutes les relations d’ordre utilisées seront notées «≤»
On poseE={(i, x)/ i∈I etx∈Ei}et on le munit de l’ordre suivant : (i, x)≤(j, y)⇔(i < j ou (i=jetx≤y)) Vérifier que c’est bien un ordre surE.
On dit qu’un ensemble(F, ≤)est bien ordonné lorsque toute partie non vide deF possède un minimum. Montrer que siI et lesEi sont tous bien ordonnés, alorsEest aussi bien ordonné.
Exercice4.9
Soit(E,≤)un ensemble ordonné. On dit qu’une partieXdeEest libre si ses élements sont 2 à 2 non compa- rables.
On noteL(E)l’ensemble des parties libres deE. On définit surL(E)la relationRpar : X R Y ⇔(∀x∈X, ∃y∈Y, x≤y).
1. Montrer queRest une relation d’ordre.
2. Montrer que la fonctionIdL(E)est croissante de(L(E), ⊂)dans(L(E), R). 3. Sa réciproque est-elle croissante?
Exercice4.10
Si (un)n∈N et (vn) sont deux suites de réels, on conyient que (un) R (vn) si et seulement si, pour tout n ∈ N,∃p, q≥n, (up ≤vn)∧(vq ≤un).
1. Rest-elle une relation d’ordre? Est-elle une relation d’équivalence?
2. Notonscune suite constante. Déterminer les suitesntelles queu R c.
Exercice4.11
SoientR1 et R2 deux relations d’équivalence définies sur un ensembleE. On définit surEla relation binaire R2◦R1par :
∀(x, z)∈E2, x(R2◦R1)z⇔ ∃y∈E(xR1y)et(yR2z).
Montrez queR2◦R1est une relation d’équivalence si et seulement siR2◦R1 =R1◦R2
Exercice4.12
SoitE un ensemble fini etOE 1’ensemble des ordres sur E. Si≤1 et≤2 sont deux ordres surE, on dit que≤1 implique≤2 si pour tout(x, y)∈E2, x≤1y ⇒x≤2 y.
1. Montrer que cela définit une relation d’ordre surOE.
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FEUILLE IV - RELATIONS BINAIRES
2. Montrer queOE admet un minimum pour cette relation.
3. Quels sont les éléments maximaux deOE?
Exercice4.13
Soit(E, ≤)un ensemble ordonné fini. On appelle chaîne deEtout sous-ensemble deEtotalement ordonné, et cochaîne deEtout sous-ensemble deEformé d’éléments deux à deux incomparables.
Montrer que la longueur maximale d’une chaîne deE est égale au minimum du nombre de parties d’une partition deE dont toutes les parties sont des cochaînes deE.
Exercice4.14
Lemme de Spilrajn-Marczewski :
Soit(E,≤)un ensemble ordonné fini de cardinaln. Montrer qu’il existe une bijection croissanteϕdeEdansJ1 ; nK.
En déduire qu’on peut munirE d’un ordre total≤0 tel que pour tout(x, y) ∈E2, x≤ y ⇒x ≤0 y. Un tel ordre est appelé extension linéaire de(E,≤).
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