I) Sujet
Les sommes de carrés :
On peut exprimer chaque entier comme la somme de quatre (et pas moins) carrés (Lagrange) et on peut caractériser ceux qui sont la somme de trois (Gauss) ou de deux (Fermat) carrés. On étudiera leurs preuves.
II) Somme de deux carrés
1) Rappels
1.1Définitions et notations concernant les anneaux
1) i ! "a # ib, a et b & '
2) On définit sur i la norme d’un nombre complexe : Na # ib ! a)# b) * 0
3) Soit A un ensemble non vide, muni de deux opérations appelées addition et multiplication et notées « + » et « . ».
On dit que (A, +, .) est un anneau si a) -L’addition est :
interne dans A : ,x, y & A, x # y & A
associative : ,x, y, z & A, x # y # z ! x # y # z commutative : ,x, y & A, x # y ! y # x
-Il existe un élément e & A qui vérifie : ,x & A, x # e ! x.
Remarque : si un tel élément e existe, il est unique, on l’appelle l’élément neutre pour l’élément neutre pour l’élément neutre pour l’élément neutre pour l’addition de A
l’addition de Al’addition de A
l’addition de A et on le note 0.
-tout élément de A admet un inverse pour l’additionun inverse pour l’additionun inverse pour l’addition : ,x & A, 4 xun inverse pour l’addition 5& A, x # x5! 0 Remarque : si un tel élément x5 existe, il est unique, on l’appelle l’inverse de xl’inverse de xl’inverse de xl’inverse de x, et on le note –x.
On dit que (A, +) groupe commutatif.
b) -La multiplication est :
interne dans A : ,x, y & A, x. y & A
associative : ,x, y, z & A, x. y. z ! x. y. z
distributive par rapport à l’addition : ,x, y, z & A, x. y # z ! x. y # x. z et y # z. x ! y. x # z. x
-Il existe un élément e & A qui vérifie : ,x & A, x. e ! e. x ! x.
Remarque : si un tel élément e existe, il est unique, on l’appelle l’élément neutre pour l’élément neutre pour l’élément neutre pour l’élément neutre pour la multiplication de A
la multiplication de Ala multiplication de A
la multiplication de A et on le note 1.
c Si en plus la multiplication est commutative, on dit que A est un anneau commutatif.
4) Soit A un anneau non nul.
On dit que A est un anneau intègre si , x, y & A, x. y ! 0 8 x ! 0 ou y ! 0
5) Soit A un anneau commutatif et x un élément de A, x est inversible pour la
multiplication s’il existe un élément x’ de A tel que x.x’ = 1. Dans ce cas un tel élément x’
est unique et appelé l’inverse de x. On note A9 l’ensemble des éléments inversible de A.
6) Un élément x de A un anneau intègre, est irréductible si a) x ∉ A9
b) ,a, b & A, (x ! ab 8a & A9ou b & A9
On dira que y & A– A9 est réductible s’il n’est pas irréductible. C'est-à-dire s’il existe c et d & A–A9 tels que y = cd.
7) Soit A un anneau, on dit qu’un nombre p ≠ 0 est un nombre premier dans A si p ∉ A9 et ,a, b & A, p divise ab 8 p divise a ou p divise b
8) Soit A un anneau commutatif intègre. On dit que A est euclidien s’il existe une fonction ϕ : A\{0} < ℕ vérifiant les conditions suivantes :
a) si b divise a, a > 0, alors ϕ(b) ≤ ϕ(a)
b) si b & A\{0}, alors pour tout a & A, ∃ q & A et r & A, tels que a = bq + r, avec r = 0 ou ϕ(r <ϕ(b
9) Soit A un anneau commutatif intègre.
On dit que A est factorielfactorielfactorielfactoriel si la propriété suivante est vérifiée :
tout a > 0 de A s’écrit a = upB… pD, n * 0, u & AE, pF irréductible de A pour i = 1, … , n, et, si l5on a deux décompositions analogues a = upB… pD= vqB… qG, n, m * 0, u, v & AE , pF, qH irréductibles de A, alors m = n et ∃ une permutation σ de "1, … , n' telle que
qF et pJ(F soient associés, pour i = 1, … , n.
10) Soit A un anneau intègre et a et b des éléments de A. On dit que a et b sont associés et on note a~b, s’il existe u & A9 tel que a = ub.
11) Soit (A, +, .) un anneau et I une partie de A. I est un idéal de A si : a) (I, +) est un sous-groupe de A,
b) ,a L A, ,x L I, a. x L I, on dit que I est une partie absorbante de A pour la multiplication.
Ce qui revient à dire : 0 L I, ,x, y L I, x + y L I et ,a L A, ,x L I, a. x L I.
12) Soit A un anneau et B une partie de A. L’idéal engendré par B est le plus petit (au sens de l’inclusion) idéal de A contenant B. On note (B) cet idéal. (B) est l’intersection des idéaux de A contenant B.
13) Soit A un anneau et I un idéal de A. I est un idéal principal, s’il est engendré par un élément de A, i.e. s’il existe a & A tel que I = (a).
14) Soit A un anneau non nul et I un idéal propre de A. I est un idéal maximal de A si dès qu’un idéal J contient I, alors J = I ou J = A.
1.2Propriétés concernant les nombres premiers, inversibles, irréductibles et N
En posant z !a # ib, on a zO ! a P ib les propriétés suivantes : Propriétés :
1) Nz ! zzO
2) Nzz5 ! NzNz5
3) z inversible dans i Q Nz ! 1
preuves :
1) zzO ! a)# b)
2) zz5! a # iba5# ib5 ! aa5P bb5# iab5# ba5 Nzz5 ! aa5P bb5)# ab5# ba5)
! a)a5)# b)b5)P 2aa5bb5# a)b5)# b)a5)# 2aaSbbS ! a)# b)a5)# b5)
! NzNz5
3) z inversible dans i Q 4z5tel que zz5! 1 8 4z5 tel que Nzz5 ! 1 Q 4z5 tel que NzNz5 ! 1
Q Nzest inversible Réciproquement, si Nzest inversibleQ4z5 tel que NzNz5 ! 1
8 Nz ! 1 car N est une norme sur i 8 a)# b)! 1, z ! a # ib
8 Ta)! 1
b)! 0U ou Ta)! 0
b) ! 1U ,z ! a # ib 8 z ! 1
8 z est inversible dans i z5! 1
Remarques :
4) soit p un nombre premier de =, on a p et –p qui sont deux nombres premiers de . 5) i est un anneau commutatif intègre
Propriété 6:
Soient p un nombre premier de = et z ⋲ i , si p divise z alors p divise zO
Preuve :
Si p divise z alors 4u ⋲ [i] tel que z = pu 84u ⋲ [i] tel que zO= puO car p ⋲ et donc p = pO
Propriété 7:
Soit p un nombre premier dans [i] alors p divise x Q p divise Nx
Preuve : Si p divise x 8 p divise xO d’après la propriété 6 8p divise xxO ! Nx d’après la propriété 1
Réciproquement, si p divise N(x) = xxO 8p divise x
p divise xOou car p est nombre premier dans [i]
8 p divise x d’après la propriété 6 car xOO ! x
Propriété 8:
Soit p un nombre premier de =, p réductible dans [i] Q p est égal à la norme d’un élément irréductible de [i]
Preuve :
Si p = N(u) = uuO, où u est un irréductible donc un élément non inversible 8 p réductible car u et uO non inversibles
Réciproquement, si p est réductible dans [i] alors 4 u et v non inversibles dans [i] tels que p = uv.
Or on a p)! Np ! Nuv ! NuNv (cf. propriété 2)
Donc comme p est un nombre premier de = , on obtient p = N(u) = N(v) = vOv d’où u = vO.
propriété 9:
si N(u) = q, q premier dans = alors u est irréductible.
Preuve : En effet, par l’absurde, u ! uBu) où uB et u) sont des éléments non inversibles
8 q ! NuBNu)
8 1 TNuB ! q
Nu) ! 1U ou 2TNuB ! 1
Nu) ! qU car q premier dans ℕ
8 pour 1 u) inversible et pour 2 uB inversible, contradiction, d’où le résultat.
Remarques15:Les éléments p premiers dans ℕ irréductibles de ℤ[i] sont les p premiers qui ne sont pas égaux à la norme d’aucun irréductible de ℤ[i]. Donc les p premiers de ℕ réductibles de ℤ[i] sont ceux qui s’écrivent sous la forme p ! a)# b), a et b ⋲ ℕ.
Propriété 11 Propriété 11Propriété 11
Propriété 11 : Soit A un anneau euclidien, alors A est principal.
Preuve : Soit A, ϕ un anneau euclidien.
D’après la définition d’un anneau euclidien, on sait que A est intègre.
Soit I un idéal non nul de A, on considère l’ensemble E ! "Z[[ ⋲ I P "0'', E étant une partie non vide de ℕ.
Soit m ! min E et α L I P "0' tel que ϕα ! m.
On va montrer que I ! α.
I étant un idéal et α ⋲ I, α⊂I.
Soit a ⋲ I, A, ϕ étant euclidien, ∃ q, r ⋲ A tels que a ! αq#r, avec r ! 0 ou ϕr < ϕα.
Comme a, α ⋲ I et I est un idéal, r ⋲ I.
De la minimalité de ϕα, on déduit que r ! 0 et donc que a ⋲ α.
Par conséquent on a bien montré par double inclusion que I ! α.
Propriété 12 Propriété 12Propriété 12
Propriété 12 : Un élément п de A un anneau intègre.
п est irréductible si est seulement si l’idéal п est maximal parmi les idéaux principaux de A, i.e. si un idéal principal a contient п, alors a ! п ou a ! A.
En particulier, si A est principal, alors les propositions suivantes sont équivalentes : a п est irréductible
b п est maximal
c A/п est un corps
Preuve : On suppose que п est un irréductible de A.
Soit a ⋲ A tel que (п) ⊂ (a), donc a divise п.
п étant réductible,a~1 ou a~п, donc (a) = A ou (a) = (п).
On suppose que (п) est maximal parmi les idéaux principaux de A.
Soit a un diviseur de п, alors (п) ⊂ (a). Donc (a) = (п) ou (a) = A.
On déduit que a~1 ou a~п, et donc que п est irréductible.
Propriété PropriétéPropriété
Propriété 11113333 : Si p est premier, alors p est irréductible.
La réciproque est fausse en général.
Si A est un anneau principal, il y a équivalence entre les éléments premiers et les irréductibles.
Preuve : Soit p un élément premier de A.
Soit a, b ⋲ A tels que p = ab, donc p divise ab. p étant premier, p divise a ou b.
On suppose que p divise a, donc il existe a’ ⋲ A tel que a = pa’ et donc p = pa’b.
A étant intègre, on en déduit que b ⋲ A9. De même si p divise b, on déduit que a ⋲ A9. Par conséquent, p est irréductible.
On suppose que A est principal.
Montrons que si p est irréductible, p est premier (on utilise la propriété 12).
Soit p un élément irréductible, alors (p) est maximal parmi les idéaux principaux de A.
Or A est principal, donc (p) est maximal.
Par conséquent, A/(p) est un corps, donc un anneau intègre et donc p est premier.
Propriété PropriétéPropriété
Propriété 11114444 : Soit A un anneau principal, alors A est factoriel.
Preuve :
Existence d’une factorisation : On suppose qu’il existe un élément non nul a0 de A qui n’admet pas de factorisation en
irréductibles. En particulier, a0 n’est pas inversible et n’est pas irréductible.
Alors, il existe un élément a1 qui n’admet pas de factorisation en irréductibles tel que (a0) ⊊ (a1).
En effet, comme a0 n’est pas inversible et n’est pas irréductible, il existe des éléments d1 et d2 de A non inversibles tels que a0 = d1 d2. Comme a0 n’admet pas de factorisation en irréductibles, d1
ou d2 n’admet pas de factorisation.
En répétant ce procédé, on construit une suite d’idéaux strictement croissante : (ag) ⊊ (aB) ⊊ h ⊊ (aD) ⊊ (aDiB) ⊊ h
Soit I ! j (Dkg aD, alors I est un idéal.
A étant principal, il existe a ⋲ A tel que I = (a). I étant la réunion des idéaux (aD)Dkg , il existe un entier n* 0, tel que (aD) = (a) et donc pour tout i * n, (aF) = (a), ce qui contredit le fait que la suite d’idéaux (aF)Fkg est strictement croissante.
Unicité de la factorisation : Supposons qu’on a : upB… pD= vqB… qG, où u, v ⋲ A9, n * 0, m * 0, pB, … , pD, qB, … , qG des éléments irréductibles.
Montrons que n = m et que chaque pi est associé à un qFm. On suppose que n < m.
Soit i = 1,…, n, pi divise qB… qG.
Comme pi est irréductible, il est premier (propriété 13).
Donc il existe ij = 1,…, m tel que pi divise qFm et comme pi et qFm sont irréductibles, ils sont
associés.
Ainsi, il existe qB5, … , qGoD5 parmi qB, … , qG tels que qB5 … q5GoD est inversible, ce qui est absurde.
Donc n = m et chaque pi est associé à un qFm.
Remarque15 : on a démontré qu’un anneau euclidien est principal et qu’un anneau principal est factoriel et donc on a démontré qu’un anneau euclidien est factoriel.
Propriété 16 Propriété 16Propriété 16
Propriété 16 : ℤ[i] est un anneau euclidien.
Preuve :
ℤ[i] = "a # ib, a et b ⋲ ℤ'
ℤ[i] est un anneau intègre (ℤ[i] ⊂ ℂ et tout sous-anneau d’un anneau intègre est intègre) On considère l’application N: ℤ[i] < =
z = a # ib s |z|)= a)# b)
Montrons que ℤ[i] est un anneau euclidien.
Soient x ⋲ ℤ[i], y ⋲ ℤ[i]P"0'.
Montrons qu’il existe q, r, ⋲ ℤ[i] tel que x = yq#r, avec r = 0 ou N(r) < N(y).
On pose vu= α # iβ, α, β L x.
Soient a, b ⋲ ℤ les entiers les plus proches de α et de β respectivement, alors |α P a| yB) et |β P b| yB). On pose q = a # ib ⋲ ℤ[i] et r = x P yq, r L ℤ[i].
N(r) = |r|)= |y|)zx y P qz
)= |y|)|(α P a) # i(β P b)|)= |y|)((α P a))# (β P b)))
N(r y |y|){B|#B|} ? |y|)! Ny.
Remarques :
17) Dans i on a l’équivalence entre les éléments irréductibles et premiers.
(Cela vient du fait que i est euclidien donc principal, voir la propriété 13)
18) A est un anneau factoriel si et seulement si il y a existence d’une décomposition en irréductibles et les irréductibles sont des nombres premiers
19) { p }9! "aO & p tel que pgcd(a, p) ! 1'
De plus si p est un nombre premier dans ℕ, on a : { p }9! "1, 2, … , p P 1OOOOOOO'
Propriété 20 : Si n premier, alors est un corpsn
Preuve : Par l’absurde, on suppose que n n’est pas un nombre premier, alors n s’écrit n = ab avec a > 1 et b >1. On a aObO ! 0O. Montrons que a n’est pas inversible. Cela contredira le fait que n 9! n P "0' (voir la
remarque 19).
Par l’absurde, supposons qu’il existe aOoBL n tel que aOaOoB! 1O, alors aOoBaObO ! aOoB0O ! 0O. Donc on obtient que bO ! 0O, ce qui est absurde puisque 1< b < n.
Définition 21 : Deux entiers a et b sont dits premiers entre eux si pgcd(a, b) = 1.
Cela équivaut à dire que l’idéal engendré par a et b est tout entier : pgcd(a, b) ! 1 Q a # b ! .
Théorème de Bezout : Deux entiers a et b sont premier entre eux si, et seulement si, il existe deux entiers x et y tels que ax +bx = 1.
Preuve : En effet, si a # b ! ,alors 1 ⋲ montre qu’il existe deux entiers x et y tels que ax # bx ! 1.
Réciproquement, s’il existe de tels entiers x et y, alors 1 & a # b et cet idéal, qui contient 1, coïncide avec ℤ.
Théorème de Wilson : Soit p un nombre premier de ℕ, alors p P 1! P1p .
Preuve : Soit p un nombre premier de ℕ, on a ℤ qui est un corpspℤ d’après la propriété 14 etdonc tout
facteur k de p P 1OOOOOOOOOO! ! 1O.2O…p P 1OOOOOOOOOO a aussi son inverse dans p P 1OOOOOOOOOO!. De plus les facteurs xO égaux à leurs inverses vérifient T xO)! 1O
x ⋲ "1, … , p P 1'U Q Tx P 1OOOOOOOOOx # 1OOOOOOOOO ! 0O
x ⋲ "1, … , p P 1'U Q T xO ! 1O ou P1OOOO
x ⋲ "1, … , p P 1'U Q xO ! 1O ou xO ! P1OOOO ! p P 1OOOOOOO
D’où on obtient après simplification (i.e. après l’élimination des facteurs k ayant un inverse différent d’eux même) p P 1OOOOOOO! ! 1Op P 1OOOOOOO ! P1OOOO P1p .
Théorème de Gauss : Soient a, b et c des entiers tels que a divise ab et pgcd(a, b) = 1, alors a divise c.
Preuve : Soient a, b et c des entiers, pgcd(a, b) = 18 4α et β ⋲ ℤ tels que αa # βb ! 1 d5après Bezout 8 4α et β ⋲ ℤ tels que αac # βbc ! c
Si a divise bc 8 4k ⋲ ℤ tel que bc ! ka 8 aαc # βk ! c 8 a divise c.
Petit théorème de Fermat : Soit p un nombre premier dans ℕ, alors ,x ⋲ ℤE x xp . Dit autrement, soit p un nombre premier dans ℕ, alors ,x ⋲ ℤE xoB 1p .
Preuve :
Cela est vérifié pour p = 2, car x 0 ou 1 p 8x) 02 x2 si x 0p x) 12 x2 si x 1p ou
Regardons pour p ≠ 2 :
On remarque que C!!o!! ! p!o!oB!
Comme k! p P k! C! pp P 1!.
Pour Tk > 0k > pU on a T p ne divisant pas k!p ne divisant pas p P k!U, car p premier avec tous les entiers k tels que 0 < k < p.
Donc d’après le théorème de Gauss p divise C. Par récurrence sur x⋲ =E, montrons que x xp . Pour x = 1 et p ≠ 2, on a 1! 1 1p .
Supposons que x xp , on a x # 1! x# ∑oBBC x# 1 x# 0 # 1p x # 1p D’où on a bien , x ⋲ =E x xp
Reste à montrer que pour x ⋲ oE:
Si x ⋲ oE, on a Px! P1x Pxp Pxp car p est impair Donc ,x ⋲ E, x xp .
2) somme de deux carrés
Théorème de Fermat :
Tout nombre premier p 14 est somme de deux carrés (i.e. est de la forme p ! a)# b), a, b ⋲ ℕ)
preuve : Remarque : p ! 2 ! 1)# 1), il s’écrit bien sous le forme de deux carrés.
Pour les autres nombres premiers p, qui sont impairs, on a p 14 ou p 34 .
Si p 34 , p n’est pas une somme de deux carrés.
En effet, , a ⋲ ! "0O, 1O, 2O, 3O'4 , a2 = 0O ou 1O. Donc a)# b)! 0O ou 1O ou 2O > 3O .
Reste à voir ce qui se passe pour p 14 . Pour p 14 on a P1OOOO ! {OOOOOOOOOoB) } ! ).
Explications : Comme p est un entier naturel impair, on a oB
) qui est un entier naturel.
On a aussi ! "0O, 1O, … , p P 1p OOOOOOO' ! P {OOOOOOO ,…,P1O,0O,1O,…,{oB) } OOOOOOOoB) } car p P 1 ! 2oB) # 1. Donc P1OOOO ! p P 1!OOOOOOOOOO ! {OOOOOOOOOOOOoB) } !)
P1 . Or p 14 Q 4h ⋲ = tel que p ! 1 # 4h 8 4h ⋲ = tel que oB) ! 2h 8 P1OOOO ! {OOOOOOOOOoB) } ! ) Posons α ! {oBOOOO}!) on a donc α) P1OOOO 8 α)# 1 ! βp , α, β ⋲ =. D’où p divise α)# 1 ! 1 # αi1 P αi. Or [i] est euclidien donc factoriel pour Nz ! zzO ! a)# b), où z ! a # ib.
Donc p est premier dans ℤ[i] Q p est irréductible dans ℤ[i].
Si p était premier dans ℤ[i] on aurait p divise 1 # αi ou 1 P αi. Donc p divise 1 # αi et 1 P αi d’après la propriété 6 8 p divise 1 # αi # 1 P αi ! 2,
contradiction puisque p est un nombre impair.
D’où p est réductible dans [i] et p ! uv 8 Np ! p) ! NuNv 8 Nu ! Nv ! p car Nu et Nv ⋲ =
8 Nu ! uuO ! p, et avec u ! a # ib, a et b ⋲ on a p ! a)# b)! |a|)# |b|). Donc p est une somme de deux carrés.
Remarque1 : Si P1 est un carré dans
p c.-à-d. α) P1p , alors p 14 . En effet α) P1p 8 1p αoB α) P1 p où la première congruence est
expliquée par le petit théorème de Fermat.
Donc oB) est pair 8 4h⋲ tel que oB) ! 2h 8 p ! 4h # 1.
D’où P1 est un carré dans ℤ pℤ Q p 14 . Théorème
ThéorèmeThéorème
Théorème 1111::::
Soient n un entier naturel non nul et n ! ∏ p sa décomposition en facteurs premiers. Pour que n soit somme de deux carrés, il faut et il suffit que, pour tout p 34 , l’exposant α soit pair.
Preuve : On va d’abord montrer que le produit de deux facteurs premiers qui s’écrivent sous la forme
d’une somme de deux carrés s’écrit sous la forme d’une somme de deux carrés.
On a Na # ib ! a)# b) posons S ! "a)# b), a # ib ⋲ ℤi '.
Soient a)# b) et aS)# bS)⋲ S, a)# b)a5)# b5) ! Nzz5 ! NzNz5 où z ! a # ib
et z5! a5# ibS.
On a zz5 ! aa5P bb5 # iab5# ba5 ⋲ ℤi .
Donc S stable pour la multiplication, de plus 2 ! 1)# 1)& S et ,x & ,x) ! x)# 0) donc x)& S.
Maintenant on peut s’occuper des entiers :
Soient n un entier naturel non nul et n ! ∏ p sa décomposition en facteurs premiers.
On va montrer que pour tout p 34 si l’exposant α est pair alors n est une somme de deux
carrés.
Soient n⋲ℕ* et sa décomposition en facteurs premiers :
n ! 2∏ pF∏ q)H m où pF 14 donc d5après le théorème de Fermat pF! aF)# bF)
qH 34 P14 U .
Donc n ⋲ S car 2, les pF et les qH)⋲ S.
Réciproquement, montrons que si n est une somme de deux carrés alors pour tout p 34 si l’exposant α est pair.
Soient n ! a)# b) ⋲ S et la décomposition de n en produit de facteurs premiers : n ! 2∏ pF∏ qHm où pF 14 donc d5après le théorème de Fermat pF! aF)# bF)
qH 34 P14 U .
Il faut montrer que n ⋲ S 8 γH pair.
Posons d ! pgcda, b, n est divisible par d)D ! { [})# {¡ }) ! a5)# b5) ! nB,
avec pgcda5, b5 ! 1.
nB ⋲ ℕ soit sa décomposition en produit de facteurs premier nB ! 2¢∏ pF¢∏ qHm¢ ! a5)# b5). On a γH5 qui est pair .
Par l’absurde, supposons que γH5 est impair, il est au moins égal à un. Donc il y a au moins un qH . Celui-ci divise nB!D ! a5)# b5). On remarque que qH ne peut pas diviser a5) et donc a5
sans diviser b5) et donc b5 suposons que qH divise a5) et donc a5 , b5) ! nBP a5)
et comme qH divise nB, on a que qH divise b5) et donc b5. Si qH divise a5) et donc a5 il divise b5) et donc b5 et alors il divise le pgcda5, b5 ! 1 et d’où on
obtient qH ! 1. Ce qui est absurde puisque qH est un nombre premier ! Donc qH ne divise ni a5, ni b58pgcda5, qH ! pgcdb5, qH ! 1.
Donc d’après Bezout 4α et β ⋲ tels que αaS # βqH! 1
8 4α et β ⋲ tels que bS ! αaSbS # βbqH8 4α et β ⋲ tels que bS αaSbS£qH¤ 8 0£qH¤ nB! aS)# bS) aS)1 # α)b5)£qH¤.
Or qH ne divise pas a5)8 1 # α)b5) 0£qH¤ 8 P1 αbS)£qH¤ 8 qH 14 d5après la remarque 1 Contradiction puisque qH 34 P14 .
III) Somme de quatre carrés
1) Rappels
Propriété 1 Propriété 1Propriété 1
Propriété 1 :
H= T¦α Pβ
βO α § tels que α, β L r¨ est un sous anneau de M)r.
Preuve : On montre que H est un sous groupe additif de M)r :
{0 00 0} L H
Soient ¦α Pβ
βO α § , {c Pd
dO cO } L H,
¦α Pβ
βO α § # {c Pd
dO cO } ! ¦α # c Pβ P d
βO # dO α # cO § ! ¦α # c Pβ # d β # d
OOOOOOO α # cOOOOOOO § L H Soit ¦α Pβ
βO α § L H,
P ¦α Pβ
βO α § ! ¦Pα #β
PβO Pα§ ! ¦Pα #β
PβOOOO PαOOOO§ L H On montre que H est stable par produit : Soient ¦α Pβ
βO α § , {c Pd dO cO } L H,
¦α Pβ
βO α § . {c Pd
dO cO } ! ©αc P βdO Pαd P βcO
βOc # αdO PβOd # αcOª! ©αc P βdO Pαd # βcO αd # βcO
OOOOOOOOOO αc P βdOOOOOOOOOOO ª L H {1 00 1} l5élément neutre pour le produit dans M)r, appartient à H.
Définition 2 Définition 2Définition 2
Définition 2 : Les éléments de H sont appelés quaterquaterquaterquaternionsnionsnions. nions
Notation NotationNotation
Notation 3333: 1 ! {1 00 1} , I ! {i 0
0 Pi} , J ! { 0 1
P1 0} , K ! {0 i i 0} L H
Propriété 4 Propriété 4 Propriété 4
Propriété 4 : a) I)! J)! K)! P1 b) IJ ! PJI ! K
c) JK ! PKJ !I d) KI ! PIK ! J
Remarque 5 : Tout élément de H s’écrit sous la forme d1 #bI #cJ # dK,avec a, b, c, d L .
En effet, soit ¦α Pβ
βO α § L H. Si on note a ! Reα), b ! Imα), c ! PReβ), d ! PImβ), alors ¦α Pβ
βO α § ! { a # ib c # id
Pc # id a P ib} ! a {1 0
0 1} # b {i 0
0 Pi} # c { 0 1
P1 0} # d {0 i
i 0}
¦α Pβ
βO α § ! a1 # bI # cJ # dK . De plus cette écriture est unique.
Définition 6 Définition 6Définition 6
Définition 6 : Le conjugué d’un quaternion
Le conjugué d’un quaternionLe conjugué d’un quaternion
Le conjugué d’un quaternion z ! a1 # bI # cJ # dK est défini par zO ! a1 # bI # cJ # dK Remarque 7 : la norme de z est Nz) ! zzO.
Propriété 8 Propriété 8Propriété 8
Propriété 8 : 1) ,z, z5 L H, zzSOOOO ! zSzO 2) si z ! a1 # bI # cJ # dK L H, Nz) ! a)# b)# c)# d))1 3),z, z5 L H, Nzz5) ! Nz)Nz5)
Preuve :
1) Soient z ! a1 # bI # cJ # dK, z5! e1 # fI # gJ # hK L H
zz5! a1 # bI # cJ # dK)e1 # fI # gJ # hK) ! ae1 # afI # agJ # ahK # beI # bfI)# bgIJ # bhIK # ceJ # cfJI # cgJ)# chJK #
deK # dfKI # dgKJ # dhK) ! ae1 # afI # agJ # ahK # beI P bf1 # bgK P bhJ # ceJ P cfK P cg1 # chI # deK #
dfJ P dgI P dh1 ! ae P bf P cg P dh)1 # af # be # ch P dg)I # ag P bh # df # ce)J # ah # bg P
cf # de)K Donc zzSOOOO ! ae P bf P cg P dh)1 # dg P af P be P ch)I # bh P ag P df P ce)J #
cf P ah P bg P de)K
Or zSzO ! e1 PfI P gJ P hKa1 P bI P cJ P dK !ea1 PebI PecJ P edK PfaI # ®bI)# fcIJ # fdIK P gaJ # gbJI # gcJ)# gdJK P
hdK # hbKI # hcKJ # hdK) !ea1 PebI PecJ P edK PfaI P ®b1 # fcK P fdJ P gaJ P gbK P gc1 # gdI P haK #
hbJ # hcI P hd1 ! ae P ®b Pgc P hd1 # gd P eb P fa # hcI # hb P ec¯ P gaJ # fc P ed P
gb P haK Donc ,z, z5L H, zzSOOOO ! zSzO
2) Soit z ! a1 # bI # cJ # dK L H NzO) ! a1 # bI # cJ # dK)a1 P bI P cJ P dK) ! a)1 P abI P acJ P adK # baI P b)I)P bcIJ P bdIK # caJ P cbJI P c)J)P cdJK #
daK P dbKI P dcKJ P d)K) ! a)1 # b)1 P bcIJ P bjIK # bcIJ # c)1 P cdJK # bdIJ # dcJK # d)
! a)# b)# c)# d))1
3) Soient z, z’⋲ H Nzz5) ! zz5zzOOOO ! zz5 5zzO par 1)5 ! zNz5)zO ! zzONz5) ! Nz)Nz5)
Définition DéfinitionDéfinition
Définition 9999:
On note A ! 1 # I # J # K # {Bi±i²i³) }. Les éléments de A sont appelés quaternions quaternions quaternions quaternions d’Hurwitz
d’Hurwitzd’Hurwitz d’Hurwitz.
Remarque 10 : A est un sous anneau de H Propriété 11
Propriété 11Propriété 11
Propriété 11 : Si z ⋲ A, alors Nz) ⋲ ℕ.1.
Preuve : Soit z ⋲ A. Alors 4a, b, c, d, e L tels que z ! a1 # bI # cJ # dK # e {Bi±i²i³) } Q z ! ¦a1 # bI # cJ # dK # e {Bi±i²i³) }§
8 Nz) ! ¦{a #µ)})# {b #µ)})# {c #µ)})# {d #µ)})§ 1 d5après propriété 8 2) ! {a)# ae #µ|# b)# be #µ|# c)# ce #µ|# d)# de #µ|} 1 ! a)# ae # b)# be # c)# ce # d)# de # e))1 L ℕ1
Lemme 12 Lemme 12Lemme 12
Lemme 12 : Dans A, un élément est inversible si et seulement si sa norme vaut 1.
Preuve : Si α ⋲ A est inversible, alors ∃ α’ ⋲ A tel que αα’ = α’α = 1.
Ainsi 1= N(1) = N(αα’) = N(α) N(α’).
Et comme N(α), N(α’) ⋲ ℕ1 (car α, α’ ⋲ A), on a nécessairement, N(α) = N(α’) = 1.
Réciproquement, si N(α) = 1, alors αα = αα = 1.
Or α ⋲ A 8 ∃a, b, c, d, e L tels que α = a1 # bI # cJ # dK # e {Bi±i²i³) }
8 α = {a #µ)} 1 P {b #µ)} I P {c #µ)} J P {d #)µ} K = (a # e)1 P bI P cJ P dK P e {Bi±i²i³) } ⋲ A
α ⋲ A et αα = 1 8 α est inversible.
Lemme 13 Lemme 13Lemme 13
Lemme 13:
Si α =uBiu±iu) ¶²iu·³L A avec xB, x), x¸, x|L impairs, alors ∃ε L A de la forme ºBº±º²º³) tel que εα L 1 # I # J # K et N(α) = N(εα).
Preuve :
xB, x), x¸, x| impairs 8 xB, x), x¸, x| 1ou34
On pose xB = 4yB# εB, x)= 4y)# ε), x¸= 4y¸# ε¸, x| = 4y|# ε|, avec yB, y), y_3, y|L et ,i = ¼1,4½, TεF= P1 si xF= 14
εF= 1 si xF= 34 U.
On pose ε =¾Bo¾±o¾) ¶²o¾·³. N(ε) = {B|#B|#B|#B|} 1 = 1 Donc N(αε) = N(α)N(ε) = N(α).
αε = 4 {vBiv±iv) ¶²iv·³} ε # {¾Bo¾±o¾) ¶²o¾·³} ε
= 4 {vBiv±iv) ¶²iv·³} ε # N(ε) = (yB1 # y)I # y¸J # y|K)(2ε) # 1
= (yB1 # y)I # y¸J # y|K)(εB1 P ε)I P ε¸J P ε|K) # 1 L 1 # I # J # K .
Propriété 14 Propriété 14Propriété 14
Propriété 14 : A est euclidien à gauche.
Preuve :
Soit α ⋲ A, β ⋲ A\{0}. Notons αβoB= x1 # yI # zJ # tK L H.
∃m L tel que Àx PG)À yB|
{on prend m L 2x PB), 2x #B) , cet intervalle contient bien un entier} . On choisit m, n, h, l, entiers de même parité tel que Ày PD)À , Àz PÁ)À , Àt P)ÂÀ yB)
si on prend n L 2y P 1,2y # 1 , on a bien Ày PD)À yB).
On a n # 1 ou n P 1 qui appartient aussi à cet intervalle et donc véri®ie l5inégalité,
ce qui explique que l5on peut choisir la parité. De même pour l et h.) On pose q !GBiD±iÁ²i³
) .
Comme m, n, h, l sont de même parité, q L A.
On obtient alors N(αβoBP q) ! {x PG)})# {y PD)})# {z PÁ)})# {t P)Â})yBÃB #B|#B|#B|? 1.
Ainsi N(α P qβ) ! N(αβoBP q)N(β) ? Ä(β), et donc on a A qui est euclidien (à gauche).
Remarque 15 : Conséquence de la propriété 14, A est principal (à gauche).
2)somme de quatre carrés
Théorème de Lagrange:
Tout entier naturel est la somme de quatre carrés.
Preuve 1 : Remarquons tout d’abord que le produit de deux entiers naturels qui s’écrivent comme la
somme de quatre carrés donne un entier naturel qui s’écrit aussi comme la somme de quatre carrés. En effet, (xB)# x)) # x¸)# x|))(yB)# y))# y¸)# y|)) ! zB)# z))# z¸)# z|) , où
zB! xByB# x)y)# x¸y¸# x|y|, z)! xBy)P x)yBP x¸y|# x|y¸, z¸! xBy¸P x¸yB# x)y|P x|y), z|! xBy|P x|yBP x)y¸# x¸y).
Ainsi, comme tout entier naturel admet une décomposition en produit de facteurs premiers, pour démontrer le théorème il suffit de prouver que tout nombre premier s’écrit comme la
somme de quatre carrés.
Pour 2, c’est le cas : 2 ! 1)# 1)# 0)# 0).
Montrons-le alors pour tout nombre premier impair.
Soient p un nombre premier impair et Å ! "h & =EÆhp s5écrit comme la somme de quatre carrés'. Notre but est de montrer que Å est non vide, et possède donc un plus petit élément et que ce plus petit élément est 1, car alors on a que p s’écrit comme la somme de quatre carrés.
Pour montrer que Å > Ç, posons A ! a)Àa ! 0, 1, … ,oB) , B ! "Pb)P 1Æb ! 0, 1, … ,oB) '.
A et B représentent chacun (p+1)/2 classes distinctes de congruence modulo p.
En effet, a) a5)p Q (a P a5)(a + a5) 0p
Q p divise a P a5ou p divise a + a5(car p est premier)
8 a ! a5ou |a P aS| * p.
Si en plus, a et a’ & 0, … ,(oB)) , alors a=a’.
Donc a, b & A, a > b 8 a È bp . De même avec B, car – b)P 1 Pb5)P 1p Q b) b5)p , et on est ramené au cas précédent.
Par conséquent, ∃ a, b & {0, 1, …, (p⎯1)/2} tels que a) Pb)P 1p , car sinon A⋃B représente
iB
) +iB) ! p + 1 classes distinctes de congruence modulo p, ce qui est absurde car card { p } ! p.
Donc ∃ a, b & {0, 1, …, (p⎯1)/2} tels que a)+ b)+ 1 0p . Donc ∃ n & ℕ* tel que np ! a)+ b)+ 1 ! a)+ b)+ 1)+ 0). Donc n & Å, et Å>∅.
Å est un sous-ensemble de ℕ*, non vide, il possède donc un plus petit élément. Notons-le m.
Alors mp s’écrit : mp ! xB)+ x))+ x¸)+ x|), et 1 y m y n.
D’autre part, p y np ! a)+ b)+ 1 y 2 {oB) })+ 1 y 2 {)})+ 1 !)+ 1 ? p)8 1 y n ? p, en simplifiant par p.
Donc 1 y m y n ? p.
Montrons par l’absurde que m!1.
m > 1 8 1 ? m ? p.
On choisit yF& PG),G) tel que yF xFm pour i ! 1, 2, 3, 4.
L’intervalle étant de longueur m, semi-ouvert, il contient m entiers, et donc le choix de yF est toujours possible. De plus, ce choix est unique.
Alors yB)+ y))+ y¸)+ y|) xB)+ x))+ x¸)+ x|)m xB)+ x))+ x¸)+ x|)! mp 0m U 8 yB)+ y))+ y¸)+ y|) 0m .
Donc ∃ r & ℕ tel que yB)+ y))+ y¸)+ y|)! rm.
Si r ! 0, alors ,i & {1, 2, 3, 4}, yF ! 0, et donc xF 0m 8 m divise xB, x), x¸, x|
8 m)divise xB), x)), x¸), x|)
8 m)divise xB)+ x))+ x¸)+ x|)! mp
8 m divise p 8 m ! 1 ou p car p est premier.
Contradiction avec 1 < m < p. Donc r ≥ 1.
D’autre part, rm ! yB)# y))# y¸)# y|) y 4 {G)})! m), car yB, y), y¸, y| ⋲ PG),G) avec égalité si et seulement si yF)! {G)}),i ! 1, 2, 3, 4
Q yF!G) , i ! 1, 2, 3, 4.
Ainsi, r y m et r ! m Q yF!G) ,i ! 1, 2, 3, 4.
Si yF!G) ,i !1,2, 3, 4,alors xFG)m , i ! 1, 2, 3, 4 8 xF)m)
4 m) , i ! 1, 2, 3, 4 8 mp ! xB)# x))# x¸)# x|) 4 9m)
4 m) 8 mp 0m) 8 m) divise mp 8 m divise p 8 m ! 1 ou p car p est premier.
Contradiction avec 1 ?m ? p. Donc r ? m.
On a alors 1 yr ? m.
m)rp ! mrmp ! yB)# y))# y¸)# y|)xB)# x))# x¸)# x|)) ! zB)# z))# z¸)# z|),
où zB! xByB# x)y)# x¸y¸# x|y|, z)! xBy)P x)yBP x¸y|# x|y¸, z¸! xBy¸P x¸yB# x)y|P x|y), z|! xBy¸P x¸yB# x)y|P x|y).
Alors zB ! xByB# x)y)# x¸y¸# x|y| xB)# x))# x¸)# x|)m 8 zB 0m ,
z)! xBy)P x)yBP x¸y|# x|y¸ xBx)P x)xBP x¸x|# x|x¸m 8 z) 0m ,
z¸! xBy¸P x¸yB# x)y|P x|y) xBx¸P x¸xB# x)x|P x|x)m 8 z¸ 0m ,
z|! xBy¸P x¸yB# x)y|P x|y) xBx¸P x¸xB# x)x|P x|x)m 8 z| 0m .
Donc m divise zB, z), z¸, z|. On pose ,i=1, 2, 3, 4, wF!ËG & =. Alors m)rp ! zB)# z))# z¸)# z|)! m)wB)# m)w))# m)w¸)# m)w|)
! m)wB)# w))# w¸)# w|).
Donc rp ! wB)# w))# w¸)# w|). Ainsi r ⋲Å. Par minimalité de m, m ≤ r.
Mais on a vu que 1≤r<m. Contradiction.
En conclusion, m=1, et donc p s’écrit comme la somme de quatre carrés.
Preuve 2 : Il suffit de montrer que quelque soit le nombre premier p, p1 est la norme d’un quaternion
d’Hurwitz.
En effet, si n ⋲ ℕ*, n > 1 pour 1 ! 1)# 0)# 0)# 0), le théorème est véri®ié, on écrit sa décomposition en produit de facteurs premiers :n ! pB… p, avec les pF premiers, les αFL ℕE, k ⋲ ℕ*.
,i L "1, … k', pF1 ! NzF, avec zFL A.
La norme étant multiplicative, on a n1 ! pB… p1 ! NzB… Nz ! NzB… z, avec zB… z L A.
Donc 4z5L Atel que n1 ! Nz5. Si z5: 1 # I # J # K, comme z ⋲ A, on a z5!uBiu±iu) ¶²iu·³, avec xB, x), x¸, x|⋲ impairs.
Donc d’après le lemme 1.13, 4z" L 1 # I # J # K, tel que NzS ! Nz".
Donc n1 ! Nz", avec z" L 1 # I # J # K.
Posons z" ! a1 # bI # cJ # dK, a, b, c, d L . Alors Nz" ! a)# b)# c)# d)1.
Donc n ! a)# b)# c)# d), avec a, b, c, d L , et ainsi n est la somme de quatre carrés.
Par conséquent, montrons que pour tout p premier, p1 est la norme d’un quaternion d’Hurwitz.
En fait , comme 2.1 ! 1)# 1)1 ! N1 # I, avec 1 # I L A, il suf®it de le montrer pour tout
nombre premier impair.
Soit p un nombre premier impair. Il y a iB) carrés dans .
En effet, a) b)p Q a # ba P b 0p Q a # b 0p ou a P b 0p
Q a bp ou a Pbp aO ! bO ou P bO Donc les carrés distincts dans p sont A ! 0OOO,1) OOO,…,{) OOOOOOOOOoB) })
Í, il y en a iB) . De même, B ! ÎP1 P aOOOOOOOOOOO,a L Ï ! P1 P 0) OOOOOOOOOOO,P1 P 1) OOOOOOOOOOO,…,P1 P {) OOOOOOOOOOOOOOOOoB) })
Í, son cardinal est iB) . Comme le cardinal de p est p, il y a forcément un élément commun à A et B.
Donc il existe a, b ⋲ tels que aOOO ! Pb) OOOOOOOOOOO,c.Pà P d.a)P 1 )# b)# 1 ⋲ p.
Donc a)# b)# 11 ⋲ p1 ] pA.
a)# b)# 11 ! 1 # aI # bJ1 P aI P bJ
8 1 # aI # bJ)1 P aI P bJ) ⋲ pA.
Considérons alors l’idéal à gauche W engendré par p1 et 1 # aI # bJ.
Comme A est principal à gauche, il existe β ⋲ A tel que W=Aβ.
p1 ⋲ W = Aβ 8 il existe α ⋲ A tel que p1 = αβ.
Montrons que α et β ne sont pas inversibles.
Par l’absurde : Supposons que l’un des deux est inversible :
1) supposons que α est inversible, on a β = αoBp1) 8 W = p1).
1 # aI # bJ ⋲ W 8 4q L A tel que 1 # aI # bJ = qp1) 8 4x, y, z, t L tel que 1 # aI # bJ = {uBiv±i˲iѳ
) } p1
8u) = 1 8 px = 2.
Contradiction, puisque p>2.
2) Si β est inversible, on a W = A, donc 1 L W.
W étant engendré par p1 et 1 # aI # bJ, 4q, q5 L Atels que 1 = q1 # aI # bJ) # q5p1) 8 en multipliant à droite par 1 # aI # bJ) 1 # aI # bJ = q1 # a)# b))1 # q5p1) = q # q5)p1) = q"p1), où q" L A De même que précédemment, ceci implique qu’il existe x ⋲ tel que px = 2. Ce qui est absurde.
On en conclut donc que p)1 = Np) = Nαβ) = Nα)Nβ), avec Nα), Nβ) > 1, car α, β ne sont pas inversibles.
Donc Nα) = Nβ) = p1 et p1 est la norme d’un élément de A.
IV) Somme de trois carrés
1) Formes quadratiques
Ici, on ne considère que des matrices à coefficients entiers.
Définitions:
1) A chaque matrice A=aFHBÒF,HÒD ⋲ MD symétrique, on associe la forme quadratique FÓ: T D<
xB, x), … , xD Ô ∑D aFHxFxH
F,HB U . Si on note x=ÕxB
xÖD× , alors FÓxB, … , xD ! xØAx.
Le discriminant de FÓ est le déterminant de A.
2) Deux formes quadratiques FÓ et FÙ: D< sont équivalentes si les matrices associées A et B sont équivalentes, c'est-à-dire si 4 U ⋲SLD tel que A ! UØBU, où SLD ! "C ⋲ MD, detC ! 1'.
Remarque3 : Notons qu’alors FÓ et FÙ ont même discriminant. En effet, det(A)=det(UØ)det(B)det(U)=detU)det(B)=det(B).
Définition 4 : On dit que la forme quadratique FÓ: D< représente l’entier N si 4 xB, x), … , xD ⋲ tels que FÓxB, x), … , xD ! N.
Propriété 5:
Deux formes équivalentes représentent les mêmes entiers : Si A, B ⋲ MD symétriques, U ⋲SLD telles que A ! UØBU, alors si x=ÕxB
xÖD
×, FÓxB, … , xD ! xØAx ! xØUØBUx ! UxØBUx ! FÙUxØ.
Définition 6 : La forme quadratique FÓ: D< est définie positive si
FÓxB, … , xD Ú 0 ,xB, … , xD ⋲ tels que xB, … , xD > 0, … ,0.
Propriété 7 :
Si FÙ est équivalente à FÓ, alors FÙest aussi dé®inie positive en effet, si B=UØAU, avec U ⋲SLD et si xB, … , xD ⋲ D\"0, … ,0',
alors FÙxB, … , xD ! FÓÛÜU ÕxB
xÖD×Ý
Ø
Þ Ú 0 car FÓ dé®inie positive et U ÕxB
xÖD× > Õ0
0Ö×
U ⋲SLD ] GLDet ÕxB
xÖD× > Õ0 0Ö× .
Définitions DéfinitionsDéfinitions Définitions ::::
8) 8)8)
8) Si A & M)() symétrique, FÓ est une ßàáâã äåæçáæèéäåã êéëæéáã.
99 Si A ⋲ M99 ¸ symétrique, FÓ est une ßàáâã äåæçáæèéäåã èãáëæéáã.
Lemme 10 : Toute forme quadratique binaire définie positive de discriminant d est équivalente à une forme
quadratique définie positive FÓ: T ) <
xB, x) ÔaBxB)#2aBa)xBx)# a)x))U telle que 2|aB)| y aBBy√¸) √d.
Preuve :
Soit FÙ: T ) <
xB, x)) Ô bBxB)#2bBb)xBx)# b)x))U forme quadratique définie positive de discriminant d, et soit B=¦bBB bB)
bB) b))§sa matrice associée.
Soit aBB le plus petit entier Ú 0 représenté par FÙ.
Alors 4 rB, r)⋲ tels que FÙrB, r) ! aBB. Soit h ! pgcdrB, r).
aBBÚ0 8 FÙrB, r) Ú 0 8 rB, r) > 0,0 car FÙ dé®inie positive 8 {rB
h ,r)
h } > 0,0 8 FÙrB
h ,r)
h Ú 0 car FÙ dé®inie positive .
Donc par minimalité de aBB, aBBy FÙ{íÁ,íÁ}.
Or FÙ{íÁ,íÁ} !ÁBFÙrB, r) 