Relations binaires : Exercices
1
DansRon pose: xRy⇐⇒cos(x) =cos(y).
Etablir queRest une relation d’´equivalence.
Quelles sont les classes d’´equivalence ?
2
On munitR2 de l’ordre d´efini par:
(x;y)R(x0;y0)⇐⇒(x≤x0) et (y≤y0)
V´erifier que Rn’est pas une relation d’ordre total.
On noteA={(x;y)/ x2+y2≤1}.
Aadmet-il un maximum, un minimum ?
Aadmet-il une borne sup´erieure, une borne inf´erieure ? Quels sont les ´el´ements maximaux de A?
3
SoitE un ensemble totalement ordonn´e par les deux relations binaires Ret S telles que:
∀(x;y)∈E2, xRy=⇒xSy Etablir alors: R=S
4
Soit Rune relation binaire sur un ensemble non vide E, suppos´ee r´eflexive et transitive.
On d´efinit dans Eune nouvelle relation binaireS par:
xSy⇐⇒xRy etyRx
Etablir queS est une relation d’´equivalence.
On d´efinit, dans E/S, une relation binaireR0 par:
xR˙ 0y˙ ⇐⇒ ∀(α;β)∈x˙ ×y, αRβ˙
Montrer queR0 est une relation d’ordre surE/S.
5
DansR, on consid`ere la relation binaire d´efinie par:
xRy⇐⇒xest solution de l’´equationX2−2Xy+y2= 0
1
Montrer queRest une relation d’´equivalence pour laquelle on d´eterminera ˙x.
6
Soit E un ensemble ordonn´e par ≤(non d’ordre total n´ecessairement) tel que E admette un plus grand ´el´ement et que toute partie non vide deE admette une borne inf´erieure. Montrer que toute partie non vide deE admet alors une borne sup´erieure.
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