c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/19
E3A Maths B MP 2008 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benjamin Monmege (ENS Cachan) ; il a été relu par Florian Metzger (ENS Cachan) et Guillaume Batog (ENS Cachan).
Le sujet comporte trois exercices indépendants.
• L’exercice 1 porte sur les séries de Fourier : il étudie un exemple de fonction développable en série de Fourier au sens de la convergence normale, mais ne relevant pas pour autant du théorème de Dirichlet. Il nécessite de bien connaître les théorèmes relatifs aux séries de Fourier mais aussi les convergences de séries de fonctions.
• L’exercice 2 propose de résoudre une équation aux dérivées partielles d’ordre 2.
On montre que les solutions ne s’annulant pas sont des fonctions de classeC2 à variables séparées. On étudie ensuite une conséquence de ce résultat sur les extrema locaux des solutions, puis on termine par l’étude d’un contre- exemple. Cet exercice utilise les notions au programme de première année sur les fonctions de deux variables.
• L’exercice 3 traite de géométrie dans l’espace euclidien de dimension 3 : il vise à déterminer l’ensemble des droites à distance 1 de deux droites parallèles distantes de 1. Le raisonnement est largement guidé, mais il faut savoir mani- puler à la fois les géométries vectorielle et affine pour réussir. Comme dans tout exercice de géométrie, il est utile de faire des dessins pour soutenir l’intuition et appuyer les démonstrations.
Il s’agit, au moins dans les exercices 2 et 3, d’un sujet étonnant puisqu’il aborde des thématiques sur lesquelles on s’attarde peu en deuxième année. Cependant, la seconde épreuve du concours E3A a pour but d’évaluer les candidats principa- lement sur des sujets qui ne sauraient faire l’objet d’un problème de quatre heures : il est donc important de ne négliger aucune partie du programme des deux années de préparation.
Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.
c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 2/19
Indications
Exercice I
1.a Montrer que l’intégrande deg(u)est une fonction intégrable sur[ 0 ; 1 [.
1.b Calculer, pourα∈] 0 ; 1 [, l’intégrale Z 1
α
√ 1
1−t2 dt.
1.c Pour obtenir la majoration, découper l’intégrale en deux parties selon les inter- valles [ 0 ;αu]et[αu; 1 [, puis majorer indépendamment chacun des termes.
2.a Écrire l’équation cartésienne du cercle de centreOet de rayonπ.
2.b Montrer quef n’est pas de classeC1 par morceaux.
3.b Utiliser l’expression deftrouvée à la question 2.a pour expliciter le coefficientan. 4.a Utiliser la relation de la question 3.b, ainsi que la majoration de la question 1.c.
4.b Le théorème de Parseval fournit une convergence en normek · k2. Combiner ce résultat avec la convergence uniforme (c’est-à-dire en normek · k∞) qu’implique la convergence normale démontrée précédemment.
Exercice II
1.a Pour démontrer le sens direct de l’équivalence, il s’agit de poser u(x, y) = 1
f(x, y)
∂f
∂x(x, y)
et de démontrer que cette fonction ne dépend pas de la variable y.
1.b Pour trouverϕà partir d’une solution de (E), exhiber une fonction a vérifiant les conditions de la question 1.a, considérer Aune de ses primitives, puis poser ϕ(x) =αeA(x)avecα∈R∗.
1.c Poserf(x, y) =g(x)h(y)/g(0)pour l’existence de la fonctionf.
2.a Il y a une erreur dans l’énoncé : les fonctions partielles considérées sont les fonc- tionsx7−→f(x, y0)et y7−→f(x0, y). Utiliser la définition d’un maximum local.
3.a Montrer queF(x, y) =g(xy)avecg:R−→Rune fonction de classeC2. 3.b Dériver la fonction composée de la question 3.a.
3.c Raisonner par l’absurde et utiliser les valeurs deF(x, x),F(x,−x)et F(−x, x).
Exercice III
1.a Utiliser le théorème de Pythagore.
1.b Montrer quep(D)est soit un singleton, soit une droite.
2.b Appliquer l’inégalité et le cas d’égalité de la question 1.a aux couples(H,H′)et (M,N), ainsi que le théorème de Pythagore dans le triangleOhp(N).
3.a Quelle est l’équation cartésienne de l’ensemble défini comme l’intersection du cylindre C avec le plan affine Π? Pour trouver l’équation des plans tangents, penser à utiliser le gradient pour trouver un vecteur normal.
3.b Distinguer deux cas : les droites parallèles à∆et les autres droites.
4.a Munir le planΠd’une base orthogonale dans laquelle les pointsOetO′ont pour coordonnées respectives(0,0)et (1,0).
4.b Dans le cas d’une droiteDnon parallèle à∆, utiliser les notations de la question 2 pour montrer que le projeté de D sur Π est une tangente commune aux deux cerclesΓetΓ′. Conclure grâce à la question précédente.
Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.
c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 3/19
Exercice I
1.a La fonctiongest une intégrale à paramètre. Fixonsu∈Ret montrons queg(u) est bien définie. Notonsh(t)l’intégrande, c’est-à-dire
h :
( [ 0 ; 1 [ −→ R
t 7−→ t
√1−t2 sin(tu)
La fonctiont7−→1−t2 ne s’annulant pas sur l’intervalle[ 0 ; 1 [, on peut déduire par composition, produit et inverse de fonctions continues que la fonctionhest continue sur[ 0 ; 1 [. Pour toutt∈[ 0 ; 1 [,|tsin(tu)|61. De plus,
√ 1
1−t2 = 1
p(1−t) (1 +t) ∼
t→1−
√ 1 2√
1−t
ainsi h(t) = O
t→1−
1
√1−t
La fonction t 7−→ 1/√
1−t est positive et intégrable sur l’intervalle [ 0 ; 1 [ car on peut se ramener à la fonction intégrable de référencex7−→1/√x, définie sur ] 0 ; 1 ], par changement de variablex= 1−t. D’après le théorème de comparaison pour les fonctions positives,hest intégrable sur l’intervalle[ 0 ; 1 [. Doncg(u)est bien définie.
La fonctiong est définie surR.
1.b Soitα∈] 0 ; 1 [. Calculons l’intégrale Z 1
α
√ t
1−t2 dt=
−√
1−t21
α=√ 1−α2
Ainsi, considérons αu=
r 1−1
u De ce fait, 0< αu<1 et
Z 1
αu
√ t
1−t2 dt=p
1−α2u= 1
√u 1.c Notons γ la fonction t 7−→ t/√
1−t2 définie sur [ 0 ; 1 [: elle est dérivable sur[ 0 ; 1 [ car c’est le quotient de deux fonctions dérivables sur[ 0 ; 1 [dont le déno- minateur ne s’annule pas sur[ 0 ; 1 [. Dérivonsγen utilisant la dérivée d’un quotient.
∀t∈[ 0 ; 1 [ γ′(t) =
√1−t2+t2/√ 1−t2
1−t2 = 1
(1−t2)3/2
Soit u > 1 fixé. Intégrons par parties l’intégrale de l’énoncé en intégrant la fonctiont7−→sin(tu)et en dérivant la fonctiont7−→t/√
1−t2: Z αu
0
√ t
1−t2 sin(tu) dt= t
√1−t2
−cos(tu) u
αu
0
+ Z αu
0
1 (1−t2)3/2
cos(tu) u dt
=−αucos(αuu) u√
1−αu2 + Z αu
0
1 (1−t2)3/2
cos(tu) u dt
or, αu
u√
1−αu2 = αu
u/√ u =
√u−1 u Z αu
0
√ t
1−t2 sin(tu) dt=−
√u−1
u cos(αuu) + Z αu
0
1 (1−t2)3/2
cos(tu) u dt
Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.
c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 4/19
En découpant l’intégrale g(u) en deux parties, par la relation de Chasles, et en utilisant l’inégalité triangulaire ainsi que la question précédente, on a pour toutu >1
|g(u)|6
Z αu
0
√ t
1−t2 sin(tu) dt
+
Z 1
αu
√ t
1−t2 sin(tu) dt
6
√u−1
u cos(αuu)
+
Z αu
0
1 (1−t2)3/2
cos(tu) u dt
+ 1
√u Le premier terme de la somme ci-dessus est majoré par 1
√u puisque
∀u >1
√u−1
u cos(αuu)
6
√u−1
u 6
√u u = 1
√u Le deuxième terme, en majorant|cos(tu)| par 1, vérifie :
Z αu
0
1 (1−t2)3/2
cos(tu) u dt
6 1 u
Z αu
0
1 (1−t2)3/2 dt
= 1 u
t
√1−t2 αu
0
= αu
u√ 1−αu2
=
√u−1 u
Z αu
0
1 (1−t2)3/2
cos(tu) u dt
6 1
√u
En résumé ∀u >1 |g(u)|6 3
√u
π
−π 0 x
f(x)
π 2.a Commençons par tracer le graphe de la y
fonction f (voir figure). Soit x ∈ ]−π;π].
Sur cet intervalle, le graphe de la fonctionf est le demi-cercle de centreO, de rayonπet d’ordonnées positives. Ainsi, le point M de
coordonnées(x, f(x)) fait partie de ce demi-cercle. En exploitant l’équation carté- sienne du cercle de centreOet de rayonπ, les coordonnées du pointMvérifient
x2+f(x)2=π2 f(x)>0 Ainsi, en extrayant la racine carrée, on trouve
∀x∈]−π;π] f(x) =√ π2−x2
2.b L’énoncé du théorème de Dirichlet est :
Soit v une fonction continue par morceaux, 2π-périodique. Si v est de classe C1 par morceaux sur R, alors la série de Fourier de v converge simplement surRet a pour somme
a0
2 +
+∞
P
n=1
ancos(nt) +bnsin(nt)
=v(t+) +v(t−) 2
où(an)n>0et(bn)n>1sont les coefficients de Fourier réels de la fonctionv.
Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.
