E3A Maths A MP 2006 — Corrigé

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E3A Maths A MP 2006 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (Chercheur à l’INRIA) ; il a été relu par Céline Chevalier (ENS Cachan) et Chloé Mullaert (ENS Cachan).

Dans ce problème, on fixe un nombrec >0 et l’on considère l’équation différen- tielle linéaire du premier ordre à coefficients constants

y^′+c y=f (1)

posée sur un intervalle I contenant 0. Plus précisément, pour différents types de conditions initiales y⁰, on s’intéresse à l’application ϕ qui, au second membre f, supposé continu surI et à valeurs réelles, associe la solution du problème de Cauchy correspondant à l’équation différentielle(1)pour la donnéey(0) =y0.

Ce problème est divisé en 6 parties ; dans les 5 premières, on imposey(0) = 0.

L’intervalle I est un segment dans la partie 2, R⁺ dans la partie 3. La partie 4 considère le cas où f est développable en série entière sur I = ]−R ; R [ pour un certainR>0. La partie 5 étudie l’applicationϕlorsque l’on impose des conditions de régularité supplémentaires aux fonctionsf. Enfin, la partie 6 s’intéresse à l’unique solution2π-périodique de(1)lorsque f est de plus2π-périodique. Dans chaque cas, on exploite la linéarité deϕet l’on montre sa continuité lorsque les espaces de départ et d’arrivée sont convenablement normés. On s’intéresse également à la bijectivité deϕet à la continuité deϕ⁻¹.

D’une longueur raisonnable pour une épreuve de 4 heures, ce sujet passe en re- vue beaucoup de points du programme d’analyse de deuxième année, notamment les équations différentielles linéaires, l’intégration des fonctions continues sur un segment et sur un intervalle non borné, ainsi que la continuité des applications linéaires entre espaces vectoriels normés. Le rapport du jury sur cette épreuve précise explicitement que « le problème fait appel à de nombreuses connaissances du cours d’analyse.

Il se veut progressif. Les premières parties sont très détaillées, ainsi que les premières questions des différentes parties suivantes. » Il constitue à coup sûr une excellente occasion de tester sa connaissance du cours.

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Indications

I.1 Penser au théorème de Cauchy pour les équations différentielles linéaires.

II.2 Se servir de la formule donnantϕ(f)démontrée en I.1.

II.5.b Utiliser le résultat de la question II.3 et raisonner comme en II.4.

III.1 Utiliser le résultat de la question I.1.

III.2 Justifier quefλ etϕ(fλ)sont continues sur R⁺ et utiliser le critère de domi- nation en⁺∞.

III.4 À l’aide du théorème de Fubini, établir que sif est intégrable surR⁺, il en est de même pourϕ(f)et

kϕ(f)k¹6 1 ckfk¹

III.5 Multiplier la relation g^′+cg =f par g^′ et utiliser le fait que g²′

= 2g^′g.

Ensuite, établir que pourf ∈ L²(R+), on aϕ(f)∈ L²(R+)et kϕ(f)k26 1

ckfk2

IV.1 Utiliser le résultat de la question I.1.

IV.2 Se servir de la relation ϕ(f)^′ +c ϕ(f) = f et des propriétés des fonctions développables en séries entières pour montrer par récurrence que

b⁰= 0 et ∀n>1 bn=

n

P

p=1

(−1)^p⁻¹(n−p)!

n! c^p⁻¹an−p

V.1.a Utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

V.2.a Utiliser le fait que

∃B>0 ∀f ∈ L²(R⁺) kϕ(f)k²6Bkfk² V.2.c Penser au résultat de la question V.2.a.

V.2.d Se servir de la relationϕ⁻¹(y) =y^′+c y.

VI.1 Déterminer quelles sont les solutions2π-périodiques dey^′+cy=f surR.

VI.2 Utiliser la relationϕ(g)^′+c ϕ(f) =f.

VI.3 Penser à la relation de Parseval. Utiliser le résultat de la question précédente pour montrer que

kϕ(f)k^F6max

1,1 c

kfk^E

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Partie I

I.1 Rappelons le théorème de Cauchy pour les équations différentielles linéaires d’ordre 1. SoitJ un intervalle de Ret t⁰ ∈J. Soit aet b deux fonctions continues surJà valeurs réelles et soity0∈R. Il existe une unique fonctiony dérivable surJ à valeurs réelles telle quey(t0) =y0et pour toutx∈J,

y^′(t) =a(t)y(t) +b(t)

Soit f ∈ C⁰(I) et c > 0. Ce théorème appliqué sur I, avec y0 = 0, la fonction a continue surIégale à−c et la fonctionb continue sur I égale àf assure que

Pour toutf ∈C⁰(I)etc >0, il existe une unique solu- tionysurIà l’équationy^′+c y=f vérifianty(0) = 0.

La positivité decn’est pas utilisée dans cette question.

Soitf ∈C⁰(I)et c >0. Notonsy la solution sur I de l’équation

y^′+c y=f (1)

vérifianty(0) = 0. Dans le but de se ramener à un calcul de primitive par la méthode de variation de la constante, définissons la fonction

z:

(I −→R x7−→e^cxy(x)

Commey est dérivable sur I, il en est de même dez. Soitx∈I, z^′(x) =ce^cxy(x) + e^cxy^′(x)

=ce^cxy(x) + e^cx −c y(x) +f(x) z^′(x) = e^cxf(x)

caryest solution de l’équation (1)sur I. Par intégration, il vient z(x) =z(0) +

Z x

0

z^′(t) dt=y(0) + Z x

0

e^ctf(t) dt

Puisquey(0) = 0, ceci s’écrit encore

z(x) = e^cxy(x) = Z x

0

e^ctf(t) dt

Finalement, ∀x∈I ϕ(f)(x) =y(x) = e⁻^cx Z x

0

e^ctf(t) dt

On retrouve ainsi l’unicité de la solution du problème de Cauchy y^′+c y=f

y(0) = 0

sur l’intervalle I. Par ailleurs, pour démontrer l’existence d’une solution à ce problème de Cauchy, il suffit de montrer que la fonctionϕ(f)définie par l’expression précédente est bien dérivable sur I et vérifie l’équation(1)sur I.

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© Éditions H^&K Publié dans lesAnnales des Concours 4/20 On peut se passer du calcul explicite qui permet d’obtenir la formule encadrée ci-dessus en utilisant l’unicité de la solution du problème de Cauchy et en vérifiant simplement que la fonction proposée par l’énoncé est bien solution de ce problème de Cauchy.

Remarquons ici que la question est en deux temps et que chacun d’eux peut être une source d’erreur ou d’imprécision, ce qui n’est jamais vraiment souhaitable dans une première question. Voici l’avertissement du jury : « Les élèves ne reconnaissent pas explicitement le type linéaire de l’équation diffé- rentielle et en conséquence ne justifient pas toujours l’utilisation du théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire et n’en rappellent pas les hypothèses. Ceux qui résolvent l’équation oublient souvent de vérifier l’unicité avec la condition initiale. »

Enfin, le jury rappelle quelques conseils généraux à l’occasion de cette épreuve : « Nous conseillons aux futurs candidats de bien connaître les théorèmes-clés du programme ; quand un théorème est évoqué, il doit être énoncé et nécessite de vérifier toutes les hypothèses nécessaires à son application. »

I.2 Commey =ϕ(f)est solution de l’équation (1)sur I, il vient ϕ^′(f) =−c ϕ(f) +f

Puisque ϕ(f) et f sont continues sur I, il vient par combinaison linéaire que ϕ^′(f) est continue sur I. Par conséquent,

ϕ(f)est de classeC¹ sur I.

Soit(f¹, f²)∈C⁰(I)² et λ∈R. Posonsy¹=ϕ(f¹)ety²=ϕ(f²). Alors, sur I, y1^′ +c y¹=f¹ et y2^′ +c y²=f²

En particulier, λ(y2^′ +c y²) =λf² Ceci s’écrit encore (λy2)^′+c(λy2) =λf2

Par suite, on a également, par addition

y1^′ + (λy²)^′+c y¹+c(λy²) =f¹+λf²

c’est-à-dire (y¹+λy²)^′+c(y¹+λy²) =f¹+λf²

Puisque(y¹+λy²)(0) =y¹(0) +λy²(0) = 0, l’unicité de la solution du problème de Cauchy démontrée en I.1 assure que

ϕ(f¹+λf²) =y¹+λy²=ϕ(f¹) +λϕ(f²)

C’est-à-dire que L’applicationϕest linéaire surC⁰(I).

Puisqueϕ(C⁰(I))⊂C⁰(I)etϕest linéaire,ϕest un endomorphisme deC⁰(I).

Le reste du problème est consacré à l’étude de la continuité de ϕrestreinte à certains sous-espaces deC⁰(I)munis d’une norme.