EXAMEN – 1

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EXAMEN – 1

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SEMESTRE

S7FR – MATHEMATIQUES 5 PERIODES 30/01/2012 8H30-11H30

EPREUVE AVEC CALCULATRICE

PROFESSEUR : M. LOHNER

NOM : Prénom :

/ 70

Commentaire éventuel Signature

DUREE DE L’EXAMEN

• 3 heures soit 180 minutes MATERIEL AUTORISE

• L’utilisation de la calculatrice TI nspire est autorisée. Elle devra être mise en mode PRESS TO TEST.

REMARQUES

• Le sujet comporte, y compris cette page de garde, 4 pages.

• Le total des points attribués est égal à 70.

• Toutes les questions sont obligatoires.

• Lorsqu’il n’est pas précisé que le détail des calculs est demandé, vous pouvez faire les calculs à la calculatrice mais vous veillerez à toujours bien préciser votre démarche et à bien indiquer sur la copie quels calculs ont été effectués.

• Lors de la correction, il sera tenu compte du soin et de la qualité de la rédaction.

• Vous veillerez à utiliser des feuilles d’examen différentes pour chaque question et à rendre le sujet à la fin de l’épreuve.

Restez calme et concentré.

Bon travail et bonne réussite.

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Question 1 : Analyse (20 points)

2 points

3 points

4 points

5 points

3 points

On considère les fonctions f et g définies par : f(x)=(x!2)²e^x!2!!!!!et!!!g(x)= 4

e^2!x

Soient F et G leurs représentations graphiques dans un même repère orthonormé du plan.

i) Les courbes F et G admettent-elles des asymptotes ? Si oui donner leurs équations.

ii) Déterminer les valeurs exactes des coordonnées des points correspondant aux extrema de f et préciser la nature de ces extrema.

iii) Etudier la concavité de f. On précisera les valeurs exactes des coordonnées des points d’inflexion éventuels.

iv) Etudier les positions relatives des courbes F et G puis esquisser F et G.

v) Calculer l’aire de la portion de plan fermée délimitée par les courbes F et G (Pour cette question le détail des calculs est exigé).

vi) Calculer la plus grande différence entre f(x) et g(x) dans l’intervalle défini par les points d’intersection des courbes F et G.

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Question 2 : Géométrie (20 points)

2 points

3 points

4 points

2 points

4 points

2 points

3 points

L’espace est rapporté à un repère orthonormal (O; ^⎯i ; ^→ ^⎯j ; ^→ ^⎯k). ^→

Soit le plan α^:^x!y+z=0 le point A( 1 ;2 ;4) et la droite r : ^x⁺^y^!1⁼⁰ 2x!z=0

"

#$

i) Vérifier que A!! et calculer la distance du point A au plan α ^.

ii) Soit la droite s : ^x⁺^y^!^z⁺¹⁼⁰ x!y=0

"

#$

Déterminer les positions relatives des droites r et s.

iii) Déterminer des équations paramétriques de la perpendiculaire commune aux deux droites r et s.

iv) Calculer la distance entre les droites r et s .

v) Soit la sphère S : (x!1)²+(y!2)²+z² =16

Déterminer une équation cartésienne du plan β tangent à S en A .

vi) Démontrer que S et αsont sécants

vii) Déterminer le centre et le rayon du cercle C=S!! .

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Question 3 : Probabilité (20 points)

2 points

3 points

Une épidémie très particulière sévit à l’école européenne.

Les élèves atteints de la maladie ne peuvent s’empêcher de résoudre des problèmes de mathématiques jusqu’à ce qu’ils s’effondrent épuisés.

D’après le médecin de l’école, d’un jour au lendemain 30% des élèves sains vont tomber malades alors que 50% des malades vont guérir.

i) Si un élève est malade le mardi, quelle est la probabilité qu’il soit aussi malade le jeudi suivant ?

ii) Quelle est la probabilité qu’un élève sain un certain jour le reste pendant les 7 jours consécutifs suivants ?

La classe de S7 A de cette école compte 20 élèves. Ils sont tous sains.

iii) Quelle est la probabilité qu’au moins un élève de la classe ne tombe pas malade malade le lendemain?

iv) Quelle est la probabilité que 5 élèves de cette classe tombent malades le lendemain ?

v) En fait le lendemain, 8 élèves de la classe sont malades. Ils viennent tout de même en classe. Les 20 élèves entrent dans la salle de classe l’un après l’autre dans un ordre aléatoire. Quelle est la probabilité que les 8 élèves malades soient les 8 premiers à entrer ?

Les élèves du primaire représentent 40% de l’effectif de l’école, les élèves du secondaire le reste. La probabilité pour un élève en bonne santé du primaire de tomber malade le lendemain est de 36%.

vi) Montrer que la probabilité pour un élève en bonne santé du secondaire de tomber malade le lendemain est de 0,26.

vii) Si un élève tombe malade le lendemain, quelle est la probabilité que ce soit un élève du secondaire ?

Question 4 : Complexes (10 points)

5 points

Soit P(z) le polynôme défini par P(z)=z³+2z²!6z+k!!avec!!k"IR

i) Sachant que 1!i est une racine du polynôme P(z) , déterminer la valeur de k, en détaillant tous vos calculs sur la copie.

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