Ecole européenne de Luxembourg I
PREBAC 2012
Mathématiques 5 périodes.
Partie B : avec calculatrice en mode test (70 points).
4 questions avec 4 à 8 sous – questions chacune.
Les 4 questions sont obligatoires.
Le barème de chaque question figure dans la colonne de droite du tableau contenant la question.
Durée : 3 heures.
Sauf précision contraire, tous les calculs ainsi que les étapes et les formules utilisées devront figurer intégralement sur votre copie. Utiliser le langage mathématique usuel et non le langage et les notations de votre calculatrice.
Question 1 - Analyse Barème On considère la fonction f suivante : f(x)=3e2x −17ex +20.
On note F sa courbe dans un repère orthogonal d’unité 2 cm en abscisses et 0,5 cm en ordonnées.
1.
a) Déterminer le domaine et les zéros de cette fonction.
b) Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine et ses éventuelles asymptotes.
c) Etudier les variations de f sur son domaine.
d) Déterminer une équation de la droite T, tangente à F au point d’abscisse 0.
e) Tracer F et T dans le même repère.
f) Déterminer l’aire du domaine compris entre la courbe F et les axes de coordonnées.
2. Dans cette question aucune justification n’est demandée.
a) Déterminer une valeur approchée à 0,01 près de l’abscisse du deuxième point d’intersection entre T et F.
b) Déterminer les variations de la fonction g suivante : g x e x 17ex 20x 2
) 3
( = 2 − + .
3 points 2 points 3 points 2 points 2 points 3 points
2 points
3 points
Question 2 - Géométrie Barème
L’espace est rapporté à un repère orthonormé Oxyz.
On considère le point A (0 ; 0 ; 1),
la droite k d’équations paramétriques :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
= +
=
= t z
t y x
1 9
le plan T de vecteurs directeurs (2 ; 3 ; -1), (1 ; 2 ; 1) et passant par le point (2 ; -1 ; 3).
a) B est le point de la droite k le plus proche de A. Déterminer les coordonnées de B.
b) C est le point du plan T le plus proche de A. Déterminer les coordonnées de C.
c) Calculer l’aire du triangle ABC.
d) Déterminer une équation du plan ABC sous forme cartésienne et une équation du plan ABC sous forme paramétrique.
5 points 5 points 5 points 5 points
Question 3 – Probabilités. Barème L’hôtel Europa accueille ce soir des clients en provenance de 4 pays :
- Il y a 26 hommes et 14 femmes autrichiens - Il y a 7 hommes et 15 femmes belges.
- Il y a 8 hommes et 10 femmes chypriotes.
- Il y a 14 hommes et 6 femmes danois.
40 % des femmes et 60 % des hommes ont leur chambre au 3ème étage, les autres clients ayant la leur au 4ème étage de l’hôtel Europa.
Tous logent dans des chambres pour une personne seule.
a) Un des clients appelle la réception.
Calculer la probabilité que cet appel provienne d’une chambre située au 4ème étage.
b) La réception reçoit 7 appels ce soir.
Calculer la probabilité que ces 7 appels proviennent de chambres situées au 4ème étage.
Le lendemain matin, 10 clients attendent à la réception pour louer une voiture.
c) Calculer la probabilité que ces 10 clients soient originaires du même pays.
d) Calculer la probabilité qu’au moins 3 d’entre eux aient leur chambre au 3ème étage.
5 points
5 points
5 points 5 points
Question 4 – Nombres complexes Barème
On considère les nombres complexes suivants :
2 1 2
1 ) ; .
sin( 3 3 )
cos(
; 4 ))
sin( 3 4 )
(cos( 3
2 i z i Z z z
z − =
− +
− =
− +
= π π π π
a) Représenter z1 et z2 dans le plan complexe.
b) Ecrire sous forme algébrique les nombresz1 et z2.
c) En utilisant les valeurs trouvées dans la question b), déterminer la forme algébrique de Z.
d) En déduire les valeurs exactes de . 12 sin11 12
cos11π π
et
2 points 2 points 3 points
3 points
