LYCÉE ALFRED KASTLER TS 2015–2016
Devoir maison no05 – mathématiques Donné le 14/10/2015 – à rendre le 04/11/2015
Exercice 1
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = (ax+b)e−x oùa et b sont des réels fixés à déterminer.
La courbe représentative de f est donnée ci-contre, ainsi que sa tangente au point d’abscisse 0.
1. Lire graphiquement les valeurs def(0) et de f0(0).
La manière d’obtenir f0(0) devra être expliquée.
2. Calculerf0(x) en fonction dea et b.
3. Déduire des questions précédentes les valeurs dea etb.
4. Étudier les variations def surR.
x y
1 2 3
1
2 Cf
5. Démontrer qu’il existe une unique solution α de l’équation f(x) = 1 sur l’intervalle [2; 3].
Donner un encadrement à 10−2 près deα.
Exercice 2
Soit uune suite arithmétique de raison r et de premier terme u0. Démontrer que la suite v telle quevn= eun est une suite géométrique.
Préciser son premier terme et sa raison.
Exercice 3 (Facultatif )
On dispose de jetons de trois couleurs rouges, verts et bleus en quantité importante.
On considère un ensemble de ces jetons composé de 6 rouges, 7 verts et 8 bleus.
On modifie cet ensemble de jetons d’étape en étape de la manière suivante : À chaque étape on peut échanger deux jetons de couleurs distinctes contre un jeton de la troisième couleur, par exemple un jeton bleu et un jeton vert contre un jeton rouge.
Admettons que l’on arrive à effectuer 20 étapes, il ne reste alors qu’un seul jeton.
Quelle est la couleur du jeton restant ? Toute réponse devra être justifiée pour rapporter des points.
