1 Celui qui ne marche que par beau temps risque bien de ne jamais arriver au terme de son voyage.
(sagesse orientale)
Résumé. Dans le vaste domaine de l’acoustique, nous nous intéressons à la mécanique de propagation des ondes considérées comme de petites perturbations harmoniques autour d’un état ambiant. Le champ d’application de ce travail est celui des problèmes acoustiques non couplés à une structure vibrante, en milieu intérieur principalement (acoustique de cavités), résolus par la méthode des éléments finis.
La méthode des éléments finis introduit plusieurs types d’erreur parmi lesquelles l’erreur de discrétisation, due à la substitution du milieu continu par un ensemble discret d’éléments finis, fait l’objet de ce travail. Plusieurs méthodes d’estimation d’erreur a posteriori sont disponibles dans la littérature dans le cadre de la mécanique des structures, principalement en élasticité, mais il existe peu de tentatives en acoustique. Nous nous proposons d’investiguer les performances des estimateurs de lissage superconvergent par groupes d’éléments (O. C. Zienkiewicz et al.) et de l’estimateur d’erreur en loi de comportement (P. Ladevèze et al.). L’examen attentif de l’opérateur de Helmholtz, décrivant la propagation des ondes acoustiques, introduit les notions de k-singularité (déphasage entre les ondes analytiques et éléments finis) et λ−singularité (existence de valeurs propres).
Enfin, les analyses éléments finis à erreur contrôlée requièrent le développement de trois outils : un estimateur d’erreur a posteriori, une analyse du comportement asymptotique de la solution éléments finis et un générateur automatique de maillage.
Le but principal de ce travail est donc d’analyser la qualité de la solution éléments finis dans le cadre de l’acoustique à l’aide des outils d’estimation d’erreur a priori, de développer des méthodes d’estimation d’erreur a posteriori et d’en démontrer l’applicabilité. Ce chapitre introduit également les applications vibro-acoustiques industrielles qui feront l’objet d’une analyse d’erreur au chapitre 7.
L’intérêt industriel pour l’acoustique, en pleine croissance depuis plusieurs années, se justifie principalement par la prise de conscience par l’Homme de son environnement et, surtout, de toutes les sources de pollution. Parmi celles-là, on a mis en évidence que le bruit, ou du moins une exposition prolongée au bruit, est nuisible. Deux arguments majeurs apparaissent alors suscitant l’intérêt des industriels pour améliorer leurs produits : les normes et le confort acoustiques. Les normes, d’une part, prescrivent désormais le niveau de bruit et les gammes de fréquences autorisées de la plupart des sources sonores, principalement les moyens de communication (avions, trains, voitures, ...). D’autre part, la concurrence commerciale bénéficie pour l’instant aux concepteurs d’appareils électroménagers silencieux (à propos, votre aspirateur est-il silencieux ?). Les performances acoustiques des produits doivent donc être considérées en phase de conception pendant laquelle il est plus aisé et moins coûteux de recourir à des outils numériques de simulation que d’attendre les premiers prototypes. L’ingénieur base alors ses décisions de conception sur les résultats numériques, influençant considérablement les délais et les coûts de production. Les questions auxquelles ce travail souhaite apporter une réponse sont : quel degré de confiance l’ingénieur peut-il avoir en son approximation numérique ? Et comment peut-il en contrôler l’erreur ? Pour introduire ces questions, il faut préciser deux concepts fondamentaux : l’acoustique et la précision des approximations numériques.
1.1 Champ d’application de l’acoustique
Psycho- acoustique
Electro- acoustique Ingénierie
sonore et ultrasonore
Vibrations et chocs
Acoustique des salles
Acoustique instrumentale
Communi- cation Acoustique
physique fondamentale
Audition Bio-acoustique
Ondes sismiques Acoustique atmosphérique
Océanographie
Physique du globe
Electricité et chimie
Mécanique
Architecture
Arts visuels
Musique
Parole Psychologie
Physiologie Médecine
Sciences de la Terre Sciences Appliquées
Arts Sciences de la Vie
Acoustique sous-marine
figure 1.1. Disciplines de l’acoustique
En premier lieu, l’acoustique désigne un ensemble très vaste de concepts et d’approches. Ainsi que le rappelle J.-L. Migeot [MIG97], le substantif acoustique englobe des préoccupations très différentes
schématisées à la figure 1.1. Le cadre de ce travail est clairement limité aux aspects sciences appliquées- mécanique.
Se placer dans le domaine de la mécanique, c’est déjà introduire un certain nombre de restrictions. On se limite en effet au point de vue de l’ingénieur qui s’intéresse aux causes et à la manière dont se propagent les ondes sonores dans un milieu continu. Si l’on excepte les bruits produits par des écoulements (mécanique des fluides), ce domaine est principalement celui de la vibro-acoustique où structures vibrantes et fluide interagissent pour produire les ondes acoustiques.
Classiquement, on distingue les problèmes intérieurs (cavités) des problèmes extérieurs (milieux infinis) par leur contenu modal (il n’y a pas de fréquence propre dans un milieu infini) et par leur traitement numérique spécifique (la méthode des éléments finis classique est inadaptée aux milieux infinis). On distingue également les problèmes couplés ou non à une structure vibrante. Le couplage permet d’étudier l’interaction des vibrations et des ondes de pression mais beaucoup d’études se satisfont de modéliser la vibration de la structure qui ensuite, de façon découplée, excite le fluide environnant.
Le cadre de ce travail est celui des problèmes non couplés en milieu intérieur ou extérieur. Les démonstrations et les méthodes développées seront très souvent générales mais les applications numériques porteront principalement sur l’acoustique de cavités.
1.2 Approximation numérique par éléments finis
Très souvent, on trouve en titre de ce type de paragraphe l’expression “modèle” numérique. Le terme modèle est trompeur car il sous-entend que le maillage (quel qu’il soit) constitue le modèle physique, ce qui est évidemment faux. En fait, toute méthode numérique conduit à une solution approchée (entachée d’une erreur) d’un modèle mathématique dont nous ne disposons pas de la solution exacte. Ainsi, la comparaison de solutions numériques à des résultats expérimentaux requiert une méthodologie rigoureuse souvent négligée : d’une part, il faut contrôler que la solution numérique est suffisamment proche de la solution exacte pour considérer qu’il y a convergence et il convient, d’autre part, de s’assurer que l’expérience et le modèle mathématique représentent les mêmes phénomènes physiques. Enfin, mais c’est une remarque bien connue, il faut s’assurer des bonnes conditions de réalisation de l’expérience.
La démarche suivie peut être schématisée selon la figure 1.2 qui illustre bien les sources d’erreur. Il s’agit de l’analyse acoustique de l’habitacle de la Vertigo (véhicule conçu et réalisé par Gillet Automobiles) qui sera détaillée au chapitre 7. En premier lieu, mentionnons l’erreur d’idéalisation. C’est probablement la plus importante et la moins maîtrisée : l’ingénieur confronté à un problème physique complexe par nature (le nombre de paramètres est toujours trop important) et souvent non déterministe, va l’idéaliser de manière à pouvoir le décrire mathématiquement à l’aide d’un faible nombre de paramètres. Dans le cadre de l’acoustique qui nous concerne, cela consiste à supposer que l’onde de pression varie de manière harmonique autour d’un état neutre, à faire des approximations géométriques (supprimer les congés, ...) et physiques (supprimer les joints de portes, de fenêtres, ...), à faire des hypothèses sur le comportement des matériaux (coefficients d’absorption) et du fluide (vitesse du son, masse volumique), etc.
La discrétisation par éléments finis introduit alors l’erreur de grille : les volumes du modèle continu et de son approximation par éléments finis ne sont en général pas identiques car le maillage ne peut pas parfaitement représenter la géométrie définie à l’étape précédente, par exemple le long des côtés courbes.
Cette erreur est identifiée a priori par l’utilisateur et ne fait pas l’objet de ce travail.
Ensuite, nous distinguons l’erreur de discrétisation. Elle est due uniquement à la substitution du milieu continu par un ensemble discret d’éléments finis. Nous verrons ci-dessous que cela revient mathématiquement à chercher la solution approchée dans un sous-espace discret d’un espace continu contenant la solution exacte. L’erreur de discrétisation peut être vue comme la distance (dans une norme à définir) entre la solution exacte et la solution numérique approchée.
Modèle physique
Modèle continu
vn
vn Approximation éléments finis
Résoudre K q = f
erreur d’idéalisation
erreur de discrétisation
erreurs numériques erreur de grille
figure 1.2. Du problème physique à la solution approchée
Enfin, l’implantation informatique induit des erreurs numériques : calculs de quadrature approchés ou présence d’erreurs d’arrondis (principalement en phase de résolution de systèmes). Ces erreurs sont négligeables pour la plupart des études, elles ne deviennent prépondérantes que lorsque l’erreur de discrétisation est très faible.
Ce travail se concentre exclusivement sur l’erreur de discrétisation pour la méthode des éléments finis car l’erreur d’idéalisation a fait l’objet des études de validation du modèle analytique et il existe pour l’instant peu de tentatives convaincantes d’automatisation de l’évaluation de cette erreur, l’erreur de grille peut être identifiée a priori par l’utilisateur et, enfin, les erreurs numériques sont négligeables.
Tous les calculs éléments finis seront menés à l’aide du logiciel SYSNOISE développé par la société LMS Numerical Technologies (Leuven, Belgique) [LMS97] dans le but de fournir tous les outils numériques nécessaires à la simulation de la propagation des ondes. Ce logiciel contient donc de nombreuses potentialités (éléments de frontière, problèmes couplés, ...) non couvertes par le présent travail.
1.3 Mesure de l’erreur de discrétisation éléments finis
1.3.1 État de l’art
L’erreur de discrétisation fait l’objet d’études depuis la mise au point des méthodes numériques de type éléments finis [STR73] mais c’est surtout au cours de ces dix dernières années que des progrès remarquables ont été réalisés jusqu’à permettre la commercialisation des outils développés, essentiellement en élasticité linéaire [DAS97, SDR96].
Classiquement, on distingue les calculs d’erreur a priori et a posteriori. Dans la première classe, on range toutes les méthodes permettant de déterminer a priori les ordres de convergence de la solution et d’établir des bornes d’erreur dépendant des données du problème (sollicitations). Ces méthodes ne permettent jamais d’évaluer la valeur de l’erreur (elles dépendent en général de constantes inconnues) ni d’indiquer comment améliorer le maillage de manière à satisfaire à une erreur prescrite par l’utilisateur.
L’estimation d’erreur a posteriori par contre tire profit de la solution éléments finis préalablement calculée. On peut distinguer dans la littérature trois grandes lignées de méthodes (qui parfois interfèrent) :
1) les méthodes de lissage consistent à évaluer l’erreur en remplaçant dans le calcul de l’erreur la solution exacte par une solution lissée réputée meilleure que la solution éléments finis. Appartiennent principalement à cette lignée les méthodes de O. C. Zienkiewicz [ZIE87, ZIE92/1-2],
2) les méthodes des résidus permettent d’évaluer l’erreur en calculant les résidus en opérateur de champ et en saut aux interfaces élémentaires. Ces méthodes ont essentiellement été promues par I. Babuska et al. [BAB78, BAB79] mais on trouve une excellente synthèse dans [VER96],
3) les méthodes de résolution de problèmes locaux consistent à calculer sur des groupes élémentaires une solution satisfaisant aux équations du problème. Parmi celles-là, nous classons l’erreur en loi de comportement due à P. Ladevèze et al.
[LAD75, LAD83].
Ces méthodes ont été abondamment étudiées pour des problèmes elliptiques (élasticité linéaire, problèmes de champs) et une étude numérique systématique d’I. Babuska et al. montre que l’estimateur d’erreur en lissage superconvergent dû à O. C. Zienkiewicz est le plus fiable pour les noeuds internes du maillage [BAB94/1]. Malheureusement, cette méthode ne peut pas s’appliquer directement à d’autres problèmes (paraboliques, hyperboliques) et il convient alors d’étudier d’autres méthodes. L’estimateur d’erreur en loi de comportement quant à lui s’applique à tous les types de problèmes. De plus, dans le cadre de l’élasticité, il est possible de démontrer que l’erreur en loi de comportement est une borne supérieure de l’erreur exacte globale, alors qu’aucun résultat théorique ne permet de situer les autres estimateurs.
Nous nous proposons donc dans ce travail d’examiner les performances des estimateurs d’erreur a posteriori de type lissage et en loi de comportement appliqués à l’acoustique.
1.3.2 Spécificités de l’acoustique : règle de bonne pratique
La plupart des utilisateurs éléments finis ont conscience de la nécessité de lier le pas spatial du maillage à l’onde qu’ils souhaitent représenter. Ainsi, le manuel d’utilisation de SYSNOISE recommande [LMS97]
de discrétiser une longueur d’onde par six éléments linéaires au moins et justifie cette règle de bonne pratique par le schéma de la figure 1.3.
-1 -0.5 0 0.5 1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
exact approché
x
figure 1.3. Règle de bonne pratique : résolution d’une longueur d’onde par six éléments linéaires
Nous verrons au cours de ce travail que cette règle n’offre aucune garantie quant à la précision de la solution. De plus, nous montrerons qu’une telle règle ne garantit pas que la solution éléments finis est entrée dans sa convergence asymptotique.
1.3.3 Spécificités de l’acoustique : singularités
Nous montrons au chapitre 2 que la propagation d’ondes acoustiques est régie par une équation de Helmholtz (∆p + k2p = 0 où k est le nombre d'onde et joue un rôle essentiel dans la suite) et établissons qu’il existe deux types de singularités intrinsèques à l’opérateur : la k-singularité et la λ-singularité.
1) par k-singularité nous dénommons le phénomène de pollution mis en évidence par F. Ihlenburg et al. pour des problèmes unidimensionnels [IHL95/2, IHL97/1]. Il s’agit d’une perte de stabilité croissante lorsque le nombre d'onde augmente qui se manifeste par un déphasage entre l’onde exacte et l’onde éléments finis. La pollution numérique est un phénomène qu’aucun estimateur d’erreur local ne permet de contrôler,
2) par λ-singularité nous désignons la singularité de la matrice du système éléments finis correspondant aux valeurs propres (problèmes intérieurs). Pour ces valeurs, en l’absence d’amortissement structural, la réponse acoustique est infinie et ne peut donc pas être mesurée à l’aide de norme.
L’étude de la précision de la solution éléments finis de problèmes acoustiques doit donc tenir compte, outre des singularités géométriques, de ces deux phénomènes.
1.3.4 Spécificités de l’acoustique : choix de la norme
S’il est relativement aisé de comprendre la volonté de contrôler les erreurs introduites par les approximations numériques, il n’est par contre pas toujours facile de répondre à la question : quelle est la variable dont l’erreur doit être contrôlée ? La réponse à cette question est essentielle puisqu’elle précise la notion de distance et donc le choix de la norme appropriée.
Lorsque l’on interroge un acousticien pour connaître les variables les plus importantes de son étude, il répond généralement : “toutes, cela dépend du contexte”. Évidemment cette réponse est inexploitable et nous fixerons le cadre de notre travail à l’étude de la précision des distributions spatiales des pressions et de vitesses. Un résultat très souvent exploité en pratique est la fonction de réponse fréquentielle (FRF) en pression (qui donne la pression en un point, souvent exprimée en dB, en fonction de la fréquence d’excitation) mais l’erreur sur cette courbe est difficile à appréhender et nous nous bornerons ici à en exposer la problématique et à tracer brièvement quelques pistes.
1.4 Analyses éléments finis à erreur contrôlée
Disposant d’une estimation de l’erreur de discrétisation d’une première étude par éléments finis, il convient de prédire le maillage permettant de satisfaire à une erreur prescrite. On distingue dans la littérature les méthodes de r-adaptation, p-adaptation et de h-adaptation ainsi que les combinaisons de celles-ci, principalement la hp-adaptation.
Maillage initial grossier
Calcul éléments finis
Estimation de l’erreur η
Extraction des résultats η ≤ η
Erreur prescriteη
oui non
Adaptation du maillage
figure 1.4. Méthodologie des analyses par éléments finis à erreur contrôlée
1) la r-adaptation opère uniquement par relocalisation des noeuds et, employée seule, ne permet pratiquement jamais d’obtenir le résultat escompté. Elle n’est intéressante que couplée à une h-adaptation car elle permet un lissage du maillage sur un critère de précision et non de géométrie des éléments,
2) la p-adaptation consiste à modifier le degré des fonctions d’interpolation. Cette méthode était peu populaire jusqu’il y a récemment car peu d’éléments de degré supérieur à deux avaient été développés. Depuis les travaux d’I. Babuska et al.
[BAB89], on opte désormais pour des bases polynomiales avec raffinement local, ce qui permet de développer rapidement les éléments de degré supérieur [SHE97], 3) la h-adaptation travaille en modifiant la taille des éléments (notée
conventionnellement h). Nous verrons que, moyennant la connaissance du comportement asymptotique de la solution éléments finis (taux de convergence), il
est possible de prédire les tailles élémentaires menant à une équidistribution de l’erreur prescrite.
1.5 Applications industrielles
Ce travail comporte également deux analyses vibro-acoustiques industrielles importantes décrites au chapitre 7. La première consiste en l’étude de deux sections bidimensionnelles représentatives du comportement vibro-acoustique tridimensionnel du GLT, tram-bus développé par BN Bombardier Eurorail. Ce tram-bus se distingue par son double mode de propulsion, tantôt électrique (fonction tram) tantôt par moteur Diesel (fonction bus). Le guidage de la fonction tramway est obtenu à l’aide de galets centraux qui ont été identifiés comme la principale source de bruit : leur faible diamètre induit une vitesse de rotation grande qui constitue par contact acier-acier une source acoustique prépondérante. L’analyse est menée à l’aide d’éléments de frontière car le problème est simultanément intérieur et extérieur mais de manière à constituer un cas test pour le présent travail, le calcul de la cavité est mené également en éléments finis.
La seconde consiste en l’analyse vibro-acoustique tridimensionnelle de la Vertigo de Gillet Automobiles.
Le but cette étude est de réduire la perception d’un bruit parasite non désiré produit par le pont arrière. Le bruit se transmet de manière solidienne à l’habitacle. L’étude comporte donc successivement le calcul de la réponse dynamique forcée et de la réponse acoustique forcée.
Enfin, deux analyses tridimensionnelles à maillage mixte font l’objet d’une analyse d’erreur.
1.6 Buts et originalités de la recherche
Le but principal de ce travail est de fournir les méthodes d’évaluation de l’erreur de discrétisation éléments finis dans le cadre de l’acoustique ainsi que les outils nécessaires à son contrôle. Pour cela, il convient d’analyser l’influence des k- et λ-singularités à l’aide de l’analyse d’erreur a priori. Ensuite, nous examinerons l’applicabilité de méthodes d’estimation d’erreur a posteriori pour le calcul de la réponse harmonique forcée dans le but d’analyser l’erreur de discrétisation d’études industrielles.
Les originalités de la recherche peuvent être résumées en six points, tous concernent le cadre de l’acoustique :
1) investigation très large de la qualité de la solution éléments finis pour des problèmes intérieurs. En effet, à l’exception des travaux de F. Ihlenburg (voir [IHL97/3] et les références qui s’y trouvent) et de I. Harari (mais consacrés exclusivement aux problèmes extérieurs, voir [HAR96/1] et les références qui s’y trouvent), on trouve peu de travaux dans ce domaine,
2) formulation et implantation d’un estimateur d’erreur basé sur le lissage superconvergent par groupes d’éléments, y compris des améliorations tenant compte des conditions aux limites. En particulier, il faut souligner la robustesse du logiciel pour des maillages mixtes d’éléments plans et volumiques,
3) formulation et implantation du calcul d’erreur en loi de comportement. Malgré l'originalité et l’intérêt de cette méthode, on trouve peu d’écoles ayant réalisé une implantation de cet estimateur. Ce travail présente la seule version développée dans le cadre de l’acoustique,
4) l’analyse détaillée de l’applicabilité des estimateurs d’erreur a posteriori. Déjà abordée par I. Babuska et al. [BAB96/1] pour des problèmes unidimensionnels, ce travail présente l’illustre sur des problèmes bi- et tridimensionnels,
5) la mise en évidence de la nécessité de contrôler la qualité du maillage par adaptation à faibles nombres d’onde. Ceci a nécessité le développement et l’implantation de méthodes de raffinement de maillages permettant de traiter les maillages bidimensionnels mixtes, ce qui nous a amené à unifier un classe de méthodes de raffinement,
6) enfin, la réalisation de deux études vibro-acoustiques industrielles par éléments finis lorsque c'est possible, par éléments de frontière lorsque c'est indispensable (le GLT de BN Bombardier Eurorail et la Vertigo de Gillet Automobiles).
1.7 Plan de la dissertation
Le chapitre 2 rappelle brièvement la mise en équations de la propagation et la réflexion des ondes de pression à partir des lois fondamentales de la mécanique des milieux continus. La forme locale de ces équations porte le nom d’équation de Helmholtz et, sous cette forme, n’est pas appropriée au calcul numérique. Le même chapitre présente alors les formes variationnelles faibles associées à l’opérateur de Helmholtz qui permettent au chapitre 3 de formuler la méthode des éléments finis.
Au cours du chapitre 3, les notions de dispersion et de pollution (k-singularité) sont analysées en détail théoriquement et ensuite illustrées numériquement. Le chapitre 4 contient les méthodes permettant de reconstruire un champ de vitesses à partir de la solution éléments finis (par lissage superconvergent et en champs admissibles) de manière à développer au chapitre suivant des estimateurs a posteriori en semi- norme H1.
Le chapitre 5 présente les estimateurs a posteriori et leurs limites d’application au calcul d’erreur de la réponse harmonique forcée montrant que les estimateurs ne sont fiables qu'en l'absence de singularités spécifiques à l'opérateur de Helmholtz. Dans ce cas, il y a lieu d'adapter le maillage de manière à contrôler l 'influence des singulrarités géométriques ou physiques.
Le chapitre 6 expose alors une unificiation de méthodes de raffinement de maillages plans et son intégration dans un calcul éléments finis à erreur contrôlée.
Le chapitre 7 présente enfin deux applications industrielles importantes de calcul vibro-acoustique par éléments finis et éléments de frontière : le bus GLT développé par BN Bombardier Eurorail (analyse de deux sections bidimensionnelles) et la Vertigo de Gillet Automobiles (étude tridimensionnelle). Ce chapitre se clôture par l'exposé de deux analyses d'erreur tridimensionnelles (un résonateur et un pot d'échappement).
Enfin, le chapitre 8 présente les conclusions de ce travail et les perspectives de recherches que celui-ci a amorcées.
La bibliographie et les annexes ont été groupées au chapitre 9. L’annexe 9.2 présente une synthèse des notions d’analyse fonctionnelle indispensables à la compréhension de ce travail. L’annexe 9.3 commente les travaux de I. Babuska sur la notion de pollution dans le cadre de l’élasticité.
