Modèles neuronaux pour le CND à flux de fuite magnétique

République Algérienne Démocratique et populaire

Ministère de l’Enseignement Supérieure et de la Recherche Scientifique Université Mohammed Seddik Benyahia Jijel

Faculté des Sciences et de la Technologie

Département d’Electrotechnique

Mémoire de fin d’études

En vue de l’obtention du diplôme de Master

Option : Electrotechnique Industrielle

Thème

Présenté par : Dirigé par : Gaouir Chemseddine Mr / T.Hacib Rezkoune Rassim

Promotion 2019

Modèles neuronaux pour le CND à flux de fuite

magnétique

Remerciements

Remerciements

Je remercie dieu de nous avoir donné la force pour accomplir ce travail.

Je remercie mon encadreur

Tarik HACIB pour leur aide, leur encouragement et leur patience.

Je n'oublie pas de remercier tous les enseignants du

département d’électrotechnique.

Dédicace

Dédicaces

Nous dédions ce modeste travail à :

A nos très chers parents A nos frères et sœurs

A tous nos proches sans exception

A tous nos amis sans exception

A tous ceux qui nous connaissent

sommaire

Sommaire

Introduction générale... 1

Chapitre I Généralités sur le contrôle non destructif Introduction ... 3

I.1. Principe de la détection d’un défaut………..……….………... 3

I.2. Utilisation………..……..…….………. 4

I.3. Techniques du CND………..……….... 5

I.3.1. Le contrôle visuel ………. 5

I.3.2. La magnétoscopie ……….………...……… 5

I.3.3. Le contrôle par ressuage….…….……….………. 6

I.3.4. Ultrasons……….……….. 7

I.3.5. Radiographie………. 8

I.3.6. CND par courants de Foucault………...……….………..……..9

I.3.7. La tomographie……….……….. 10

I.3.8. CND par ondes guidées………...………… 11

I.4. Types et origines des défauts……….……….. 13

I.4.1. Hétérogénéités et défauts….………….………13

I.4.2. Les défauts de surface….……….……… 13

I.4.2.1. Les défauts ponctuels…………..………. 13

I.4.2.2. Les défauts d’aspect………..………... 13

I.4.3.Les défauts internes ………14

I.4.4.Origines des défauts………….………... 14

I.5. Les capteurs magnétiques utilisés au CND………. 15

I.5.1.Les capteurs inductifs………..………... 15

I.5.1.1. Capteurs à Effet Hall …...………..………...……… 15

I.5.1.2. Les Magnétorésistances (MR)……..…………..………. 17

I.5.1.3. Les flux gâtent………..…….………..……… 17

I.5.1.4. Flux de fuite magnétique ………..……….. 18

Conclusion ... 20

Chapitre II Modélisation du capteur à flux de fuite magnétique Introduction ... 21

II.1. Lois d’électromagnétisme……….……….. 21

II.1.1. Equations de Maxwell………..………. 21

II.1.2. Relations des milieux……….…………...22

II.1.3. Condition de passage………….…………...……….22

II.2. Formulation du champ électromagnétique………..………..………. 23

II.2.1. Formulations magnétostatique….……...……….………..………24

II.2.2. Formulation en potentiel vecteur magnétique…....……….………24

II.3. Méthodes de résolution………..………. 24

II.3.1. Méthodes analytiques………....………. 24

II.3.1.1. Méthode de séparation des variables………..………. 24

II.3.2. Méthodes semi-analytiques………...………. 25

II.3.2.1. Méthodes des intégrales des frontières …….…..………. 25

II.3.2.2. Méthode des circuits couplés……….………….……….. 25

II.3.3. Méthodes numériques……….………25

II.3.3.1. Méthode des différences finies ……..…...………25

II.3.3.2. Méthode des volumes finis ……….……..…..………..………25

II.3.3.3. Méthode des éléments finis …...…………...………26

II.4. Résolution des EDP par la MEF…….……….……...….………26

II.4.1. Etapes de résolution par la MEF………..………..………26

II.4.1.1. Maillage éléments fini……...………...….………26

II.4.1.2. Forme de la matrice élémentaire……….…..………27

II.4.1.3. Résolution du système algébrique……....………28

II.5. Modélisation par éléments finis sous MATLAB……….………28

II.5.1. Description de la géométrie du domaine d’étude…..….………28

II.5.2. Maillage généré par Matlab………...……….………...……29

II.5.3. Description du type de phénomène étudie………...………...…………...………30

II.5.4. Imposition des conditions aux limites………..…..………...……30

II.5.5. Résolution...31

II.5.6. Exploitation des résultats...31

Conclusion... 32

Chapitre III Réseaux de neurones artificiels Introduction... 33

III.1. Historique...33

III.2. Neurone biologique...34

III.3. Neurone artificiel élémentaire... 34

III.3.1. Classification des réseaux de neurones... 37

III.3.1.1. Architecture... 37

III.3.2. Apprentissage des réseaux de neurones... 38

III.4. L’apprentissage supervisé ... 39

III.4.1. Perceptron multicouche MLP……….….…….39

III.4.1.1. Mise en œuvre du réseau de neurones MLP……….………..……40

III.4.1.2. Propriétés fondamentales du MLP……….……….40

III.4.2. Réseaux à fonctions de base radiales ……… 41

III.5. Apprentissage par retro-propagation………..42

III.5.1. Algorithme de la rétro-propagation... 42

III.6. Domaines d’applications... 43

Conclusion... 43

Chapitre IV

Application des réseaux neurones au CND par flux de fuite

Introduction... 44

IV.1. Résolution des problèmes direct et inverse... 44

IV.1.1. Inversion itérative... 45

IV.1.2. Inversion directe... 46

IV.2. Modèle directe... 47

IV.2.1. Considérations initiales... 47

IV.2.2. Réponse du capteur MFL aux défauts... 49

IV.2.3. Influence des défauts sur la réponse du capteur MFL... 50

IV.2.3.1. Influence de la profondeur... 50

IV.2.3.2. Influence de la longueur... 53

IV.2.4. Construction des bases de données...56

IV.3. Méthode inverse ... 56

IV.3.1. Choix de la structure du réseau de neurones... 56

IV.3.1.1. Apprentissage... 56

IV.3.1. 2. Validation... 56

IV.3.2. Application sur les données de simulation ...57

Conclusion...66

Conclusion générale...67 Référence...

Liste des figures

Figure I.1. Principe du contrôle non destructif………. 4

Figure I.2. Principe de la magnétoscopie………..……….……….. 6

Figure I.3. Principe de contrôle par ressuage………...…….……….……….. 7

Figure I.4. Principe du contrôle par ultrasons………...……….……….. 8

Figure I.5. Principe de la radiographie………...……..……….... 9

Figure I.6. Principe du CND par courants de Foucault………...………... 10

Figure I.7. Principe de base de la tomographie par projections……….……….………... 11

Figure I.8. Comparaison entre ondes de volume et ondes guidées………...………. 12

Figure I.9. Photo de l’appareil du CND par ondes guidées……….…….………..12

Figure I.10. Présentation de quelques défauts qui existent dans l’industrie…………...………..14

Figure I.11. Plaque à effet Hall infiniment longue……….………... 16

Figure 1.12. Évolution de l’aimantation des couches d’une GMR en fonction du champ magnétique appliqué…..……….………17

Figure I.13. Exemples de géométries de flux gâtes……….………18

Figure 1.14. Principe du contrôle par flux de fuite magnétique…….……….………19

Figure. II.1. Interface entre deux milieux………..………...…...………23

Figure II.2. Exemple du maillage triangulaire en 2D………..……27

Figure II.3. Géométrie du dispositif (capteur-cible) à modéliser avec une boite d’air limitant le domaine d’étude. …..………..………29

Figure II.4. Maillage éléments finis du domaine d’étude………..……….………30

Figure II.5. Distribution du potentiel vecteur magnétique𝐴⃗.……….……….………31

Figure II.6. Zoome de distribution du potentiel vecteur magnétique𝐴⃗……...………32

Figure III.1. Un neurone biologique et ses principaux composants………...…..…….……..34

Figure III.2 Structure d’un neurone………...………..……35

Figure III.3. Différentes possibilités de classification des réseaux de neurones………...…..……37

Figure III.4. Exemple illustratif d’interconnexion d’un réseau dynamique……….…...…37

Figure III.5. Exemple illustratif d’interconnexion d’un réseau statique……….…....…38

Figue III.6. Différence entre l'apprentissage supervise et non-supervise du réseau de neurone...….….38

Figure III.7 Apprentissage supervisé d’un réseau de neurones (ANN) ……….……39

Figure III.8. Exemple d’un réseau de type MLP…………..…….………..…40

Figure III.9. Schéma d'un RBF……….. 41

Figure IV.1. Problème direct/Problème inverse……….………..……….. 45

Figure IV.2. Schéma du processus itératif d’inversion.………...……….. 46

Figure IV.3. Schéma du processus d’inversion directe utilisant l’inverse du modèle direct…..…... 47

Figure IV.4. Schéma du processus d’inversion directe basé sur un modèle d’inverse………….…... 47

Figure IV.5. Capteur magnétique à flux de fuite (Présentation de la zone de balayage)……...……... 48

Figure IV.6. Composante normale et tangentielle du signal de flux de fuite……….…….... 59

Figure IV.7. Norme du signal de flux de fuite………….………..….50

Figure IV.8. La répartition des défauts en fonction de la profondeur………..…………..….51

Figure IV.9. Signaux MFL en fonction de la profondeur (La norme) ………..……….52

Figure IV.10. Signaux MFL en fonction de la profondeur (Composante Tangentiel)..……….….52

Figure IV.11. Signaux MFL en fonction de la profondeur (Composante normale) …..……….53

Figure IV.12. La répartition des défauts en fonction de la longueur………..…………...…….54

Figure IV.13. Signaux MFL en fonction de la longueur (La norme) ………..…………..…….54

Figure IV.14. Signaux MFL en fonction de la longueur (ComposanteTangentiel) ..…………...…….55

Figure IV.15. Signaux MFL en fonction de la longueur (Composante normale) …..…………...…….55

Figure IV.16. Évolution de l'erreur d'apprentissage pour le modèle MLP destiné à prédire les longueur………...58

Figure IV.17. Évolution de l'erreur d'apprentissage pour le modèle MLP destiné à prédire les largeurs……….……...58

Figure IV.18. Évolution de l'erreur d'apprentissage pour le modèle RBF destiné à prédire les longueur………...59

Figure IV .19. Évolution de l'erreur d'apprentissage pour le modèle RBF destiné à prédire les largeur………...…...59

Figure IV.20. Profil de la longueur sur la base d’apprentissage obtenu par le modèle MLP………...61

Figure IV.21. Profil de la longueur sur la base de validation obtenu par le modèle MLP…….……….61

Figure IV.22. Profil de la longueur sur la base d’apprentissage obtenu par le modèle RBF…………...62

Figure IV.23. Profil de la longueur sur la base de validation obtenu par le modèle RBF………62

Figure IV.24. Profil de la profondeur sur la base d’apprentissage obtenu par le modèle MLP……….…63

Figure IV.25. Profil de la profondeur sur la base de validation obtenu par le modèle MLP…………..63

Figure IV.26. Profil de la profondeur sur la base d’apprentissage obtenu par le modèle RBF………..64

Figure IV.27. Profil de la profondeur sur la base de validation obtenu par le modèle RBF…………..64

Liste des tableaux

Tableau II.1 Caractéristiques géométriques du dispositif à étudier………..………..29

Tableau II.2 : Caractéristiques physiques des différentes parties du dispositif étudié (capteur- cible)………..……… ……….………30

Tableau III.1 Fonction de transfert ……….……… ………...…………36

Tableau IV.2. Dimensions des défauts examinés……….………...……51

Tableau IV.2. Dimensions des défauts examinés. .……….………53

Tableaux IV.3, résume les performances des modèles MLP………..………60

Tableaux IV.4. résume les performances des modèles RBF……….………..………60

Tableau IV.5. Comparaison entre les défauts prédites par MLP et ceux de la base de teste……..……65

Tableau IV.6. Comparaison entre les défauts prédites par RBF et ceux de la base de teste…………..65

Introduction générale

Page 1

Introduction générale

Le contrôle non destructif (CND) comprend l’ensemble des techniques et des procèdes qui peuvent fournir des informations sur la santé d’une pièce ou d’une structure sans qu’il en résulte des altérations pour leur utilisation ultérieure. Ces essais ont pour objectif la mise en évidence de toutes les défectuosités susceptibles d’altérer la disponibilité, la sécurité d’emploi ou, plus généralement, la conformité d’un produit à l’usage auquel il est destiné. En ce sens, le CND apparaît comme un élément majeur du contrôle de la qualité des produits.

A travers son objectif, le CND est essentiel pour la bonne marche des industries qui fabriquent, qui mettent en œuvre ou qui utilisent des matériaux, des produits et des structures de toute nature. A l’heure où la qualité et la sécurité sont devenues des impératifs difficilement contournables, le champ d’application des CND ne cesse de s’étendre au delà de son domaine d’emploi traditionnel constitué par les industries métallurgiques et certaines activités où la sécurité est primordiale telles que le nucléaire et l’aéronautique.

Les techniques du CND sont utilisées en contrôle de qualité pour assurer la bonne qualité d’une production, puis de garantir la tenue en service des pièces et des ensembles fabriqués. Elles sont également très appréciées en maintenance. Elles permettent de vérifier la continuité de la matière, et donc de déceler le manque de matière, les fissures, ...etc.

Les principales techniques du CND sont le ressuage, la magnétoscopie, les ultrasons, le contrôle par rayons X, la thermographie stimulée et les courants de Foucault. Ces méthodes exploitent des phénomènes différents et sont le plus souvent complémentaires. Le choix d’une méthode dépend de la pièce à contrôler (nature du matériau, forme, …), du type de contrôle à effectuer (recherche de défauts, mesure d’épaisseur,…) et des conditions d’inspection. Dans ce mémoire, nous nous intéresserons au CND par à flux de fuite magnétique (MFL). En effet, la possibilité d’un contrôle sans contact entre le capteur et la pièce ainsi qu’un déplacement rapide du capteur sur la pièce font que cette technique est très employée.

L'objectif de ce travail de Master était de développer des modèles d'inversion directe (Modèles comportementaux paramétriques) construit au moyen de bases de données obtenues par simulations numériques. Ces modèles vont être utilisés pour la caractérisation des défauts dans une pièce métallique.

Pour bien présenter ce travail de fin d’études, nous l’avons organisé autour de quatre principaux chapitres.

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 Le premier chapitre va être réservé à l’étude bibliographique qui a pour but d’expliquer le CND à partir des différentes techniques mises en œuvre, mettant en avant les principes physiques qui les régissent. Nous rappelons aussi les avantages et les inconvénients des techniques du CND.

De plus, on va donner un aperçu sur les différents types de capteurs magnétiques employés pour le CND.

 Le deuxième chapitre va faire l’objet d’un rappel des principales lois qui régissent chaque phénomène électromagnétique (Equation de Maxwell) à partir des quelles on peut formuler l’équation de la magnétostatique. De plus, une présentation des méthodes de résolution de ce type d’équations, va être effectuée. Un intérêt particulier sera consacré à la méthode des éléments finis avec la formulation des résidus pondérés pour la modélisation d’un capteur à flux de fuite magnétique.

 Le troisième chapitre va faire l’objet d’un rappel des notions fondamentales des réseaux neurones artificiels (RNA) et leurs propriétés. Nous rappelons aussi les réseaux statiques notamment le réseau de neurones multicouches (MLP) et le réseau à fonctions de base radiales (RBF) ainsi que leurs architectures. De plus, une présentation d’apprentissage et application des RNA.

 Le quatrième chapitre va être divisé en deux parties. La première va être consacrée la présentation et l’interprétation des résultats de simulation du capteur MFL pour différent défauts. Dans la seconde partie, on va utiliser une procédure d’inversion directe basée sur les deux modèles MLP et RBF. Ceci, pour l’estimation de dimensions des défauts à partir des bases de données obtenues par la méthode directe. Les résultats obtenus ainsi que leurs interprétations vont être présentés en détail.

Enfin, ce mémoire va être terminé par une conclusion générale qui englobera l’ensemble des travaux effectués, et par une liste adéquate de références bibliographiques.

Chapitre I

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Chapitre I

Généralités sur le contrôle non destructif

Introduction

Le contrôle non destructif (CND) est l’ensemble des techniques aptes à fournir des informations sur la santé d’une pièce ou d’une structure industrielle sans les endommager, celui-ci correspond à la détection et la caractérisation des différents défauts et imperfection qui menace à la sécurité de fonctionnement des systèmes soumis à des contrainte mécaniques, thermique, ou chimique.

Les phénomènes physiques et les techniques sont multiples : procédés optiques, ressuage, flux de fuites magnétiques, rayonnement ionisant, vibrations mécaniques, contrôle d'étanchéité, procédés électromagnétiques, et les applications sont variées [1].

On parle aussi d’essais non destructifs ou d'examen non destructifs (END), ce qui évoque plutôt les examens en laboratoire que la qualité industrielle.

En ce sens, le CND apparaît comme un élément majeur du contrôle de la qualité et de la santé des produits. Il se différencie de l’instrumentation de laboratoire et industrielle puisque l’objet est la détection et la mise en évidence des hétérogénéités, anomalies et défectuosités susceptibles d’altérer la disponibilité, la sécurité d’emploi et, plus généralement, la conformité d’un produit à l’usage auquel il est destiné, plutôt que de mesurer des paramètres physiques tels que le poids ou les cotes d’une pièce [2].

Dans ce chapitre nous allons présenter des généralités sur le CND, ainsi que recenser les différentes techniques de CND. Une présentation des capteurs utilisés dans le domaine électrotechnique sera faite à la fin du chapitre.

I.1. Principe de la détection d’un défaut

Les méthodes du CND sont fondées sur la déformation du champ d'une grandeur physique par une discontinuité. On exploite donc un phénomène physique pour détecter la présence d'une hétérogénéité dans un matériau (à l’exception des procédés visuels directs qui échappent à cette règle). Les principes physiques comme l’atténuation, réflexion ou diffraction des ultrasons, atténuation ou diffraction des rayons X ou γ, perturbation des courants de Foucault....sont à la base des END, ils peuvent servir à

Page 4 caractériser les matériaux (grosseur de grain, anisotropie, dureté, état de contraintes, fissures surfacique ou en profondeur...).

Les techniques de CND se diffèrent par l’énergie employée, énergie mécanique (ultrasons, ressuage), électromagnétique (radioscopie, observation dans le visible, flux magnétique...)…[2].

Dans tout CND, on peut détecter les cinq étapes suivantes :

 La mise en œuvre d'un processus physique.

 L’altération de ce processus par le défaut.

 La révélation de cette variation par un détecteur approprié.

 Un émetteur de flux.

 Un récepteur ou détecteur.

Figure I.1. Principe du contrôle non destructif

I.2. Utilisation

Ces méthodes sont très utilisées dans :

 L’industrie automobile (contrôle des blocs moteurs).

 L’industrie pétrolière (pipelines, tubes, barres, soudures, réservoirs).

 L’industrie navale (contrôle des coques).

 L'aéronautique (poutres, ailes d'avion, pièces moteurs, trains d'atterrissage,... etc).

 L’aérospatiale et l'armée.

 L’industrie de l’énergie (réacteurs, chaudières, tuyauterie, turbines, etc.),

 Le ferroviaire en fabrication et en maintenance notamment pour les organes de sécurité (essieux roues, bogies).

 L’inspection alimentaire.

 L'archéologie.

Page 5 Et en règle générale dans tous les secteurs produisant :

 Des pièces à cout de production élevé en quantité faible (nucléaire, pétrochimique...).

 Des pièces dont la fiabilité de fonctionnement est critique (BTP, nucléaire, canalisation de gaz...) [3].

I.3. Techniques du CND

La diversité des pièces à inspecter, leurs géométries, leurs matériaux et des conditions d’inspection, interdit à une méthode de CND d’être universelle. Un certain nombre de techniques existe et chacune présente certains avantages et inconvénients. Il ne s’agit pas ici d’établir une liste exhaustive des techniques utilisées dans le domaine du CND, mais de donner un aperçu global des techniques les plus répandues industriellement.

Plusieurs méthodes sont utilisées dans l’industrie et leurs champs d’utilisation s’étend à plusieurs applications. Chacune a son domaine d’action privilégié [3]. On distingue :

I.3.1. Le contrôle visuel

L’examen visuel est le premier des procédés de contrôle, le plus simple et le plus général puisque c’est aussi le point final de la majorité des autres procédés non destructif.

L’examen visuel direct des pièces peut constituer un contrôle suffisant pour la détection des défauts débouchant en surface et surtout des hétérogénéités locales et superficielles (taches de différentes natures) constituant des défauts d’aspect rédhibitoires pour des produits plats du types tôles, tissus, verre, ...etc. Toutefois l’examen purement visuel présente des limitations de différentes natures que nous allons examiner et qui justifient l’éclosion de toute une gamme de procédés de contrôle optique [4].

 Avantages

- examen simple, rapide moins coûteux, - souplesse d’inspection.

 Inconvénients

- pas de dimensionnement des défauts, - la surface doit être propre,

-pas d’interruption des parcours optiques entre l’œil et la pièce examinée, -résolution et sensibilité limitées.

I.3.2. La magnétoscopie

Cette technique est utilisée pour les pièces ferromagnétiques (fer, fonte, ...), où elle ne s’applique qu’à des alliages susceptibles d’être aimantés. Elle est destinée à la détection des défauts superficiels, débouchant en surface ou sous-jacents (très proches de la surface de la pièce). Le contrôle par la

Page 6 magnétoscopie consiste à soumettre la pièce à un champ magnétique. Une poudre magnétique va être utilisée pour définir la répartition du champ magnétique. Dans le cas de la présence d’un défaut sur le chemin du champ magnétique, la densité de la poudre augmente en surface, ce qui se traduit par une variation du champ magnétique (création d'un flux de fuite) [5].

Figure I.2. Principe de la magnétoscopie

Cette technique est très efficace pour les petits défauts surfaciques et possède une très bonne sensibilité de détection des défauts plans. Néanmoins, elle ne permet pas de détecter les défauts profonds et sa mise en œuvre nécessite souvent la démagnétisation des matériaux [6].

 Avantages

- simple, peu coûteux et rapide,

- détection des défauts débouchant et sous-jacents.

 Inconvénients

- applicable seulement aux matériaux ferromagnétiques, - aimantation dépend de la perméabilité de la pièce examinée,

- la sensibilité de détection des défauts dépend en effet de la nature, de la direction et de l’intensité de la magnétisation de la pièce.

I.3.3. Le contrôle par ressuage

La technique est très ancienne et réside dans la simplicité de sa mise en œuvre. C’est une méthode globale qui autorise un examen de la totalité de la surface de la pièce. Elle permet de bien apprécier la longueur des défauts indépendamment de leur orientation. On peut mettre en évidence des discontinuités débouchâtes de quelques dizaines de micromètres. Le contrôle par ressuage comporte trois étapes. La phase initiale consiste à nettoyer la surface de la pièce et d’appliquer un liquide pénétrant, soit par immersion, soit par pulvérisation. La durée d’application est variable selon le type de pénétrant, mais se situe en général entre 15 et 30 minutes. Le choix du liquide dépend essentiellement de la rugosité de la surface à contrôler. Le pénétrant peut être un produit coloré (faible sensibilité), un produit pré-émulsionné (sensibilité moyenne) ou un produit fluorescent (sensibilité élevée). Le pénétrant appliqué s’infiltre dans les petits interstices débouchant en surface, un certain temps est nécessaire pour laisser « poser » le pénétrant. La deuxième étape consiste à rincer la surface

Page 7 de la pièce pour enlever l’excès de pénétrant. Cette opération est délicate parce qu’un rinçage excessif ou insuffisant permet de fausser le résultat final. Dans la troisième étape on applique un révélateur, liquide ou sous forme de poudre, sur la surface rincée, puis séchée. Le liquide (pénétrant) qui s’est introduit dans les fissures « ressort » à la surface dans le révélateur et s’élargit au niveau du défaut. Il devient nettement visible par un éclairage approprié qui dépend du pénétrant utilisé. La méthode ne donne aucune indication sur le volume et donc de l’importance des défauts [7].

Figure I.3. Principe de contrôle par ressuage

 Avantages

- facilité de mise en œuvre et relativement sensible aux fissures débouchant et rapide, -résolution spatiale élevée,

- appliqué sur les matériaux diélectriques et non ferromagnétique.

 Inconvénients

- limite de l’application sur les matériaux non poreux (bruit de fond trop important) -il est impossible de déterminer les dimensions exactes des défauts,

- danger des solvants toxiques, corrosifs et inflammable.

I.3.4. Ultrasons

Le contrôle par ultrasons est basé sur la transmission, la réflexion et l'absorption d'une onde ultrasonore se propageant dans la pièce à contrôler. Le train d'onde émis se réfléchit dans le fond de la pièce et sur les défauts puis revient vers le transducteur (qui joue souvent le rôle d'émetteur et de récepteur). L'interprétation des signaux permet de positionner le défaut. Cette méthode présente une résolution spatiale élevée et la possibilité de trouver des défauts en profondeur. L'étape d'inversion est simple, du moins pour les pièces géométriquement et matériellement simples. Par contre, c'est une méthode lente car il faut faire un balayage mécanique exhaustif de la pièce. Il est d'ailleurs souvent nécessaire de contrôler plusieurs surfaces de la pièce pour pouvoir faire une représentation tridimensionnelle des défauts.

Page 8 Une onde ultrasons est émise par un palpeur placé sur la surface du matériau à contrôler et se propage dans le matériau. Il existe des méthodes par contact (le palpeur est en contact avec la pièce) ou par immersion (la pièce et le palpeur sont immergés dans de l'eau). Dans le cas de la méthode par contact, il est nécessaire d'ajouter un couplant (eau ou gel) entre le palpeur et la pièce pour assurer la transmission des ondes. Lorsque ces ultrasons rencontrent une interface délimitant deux milieux ayant des impédances acoustiques différentes, il y a réflexion. Les ultrasons réfléchis sont captés par un palpeur (qui peut être le même que l'émetteur). Il y a création d'un « écho ».

Dans le cas d'une pièce comportant deux surfaces, la détection de défaut se fait en comparant le temps mis pour faire un aller-retour dans l'épaisseur de la pièce et le temps mis pour la réflexion sur un défaut.

D'un point de vue pratique, on utilise un écran d'oscilloscope. Les échos sont représentés par des pics sur l'écran (figure I.4) [8].

Figure I.4. Principe du contrôle par ultrasons

 Avantages

- épaisseurs contrôlables trop importantes,

- détection, localisation et dimensionnement des défauts, - contrôle sur métaux, plastiques, matériaux divers, - inspection et détection en temps réel,

- elle peut être utilisée indifféremment sur chantier ou en atelier et se prête bien à l’automatisation.

 Inconvénients

- sensible à la nature et à l'orientation des défauts,

- technique souvent très coûteuse (investissement, temps de contrôle), - la mise en œuvre est difficile sur certains matériaux.

I.3.5. Radiographie

La radiographie est une technique couramment utilisée pour le contrôle interne des pièces. La mise en œuvre d’un contrôle radiographique découle du schéma de principe de la (figure I.5). Le principe de cette méthode est basé sur l’attaque de la matière à examiner par un rayonnement

Page 9 électromagnétique de très courte longueur d’onde, où l’énergie des photons de ce rayonnement est partiellement absorbée par la matière rencontrée selon sa densité. Un capteur (écran, film, …) est placé derrière la pièce et fournit un radiogramme de la zone traversée. Des variations locales de l’intensité apparaissent dans cette image qui interprète la présence du défaut. L’inconvénient de cette méthode est sa mise en œuvre qui coûte du matériel spécialisé. En outre, elle nécessite le respect de règles de sécurité très strictes pour le contrôleur. La méthode est également influencée par l’orientation de la surface du défaut par rapport à la direction principale du rayonnement émis par la source [5] .

Figure I.5. Principe de la radiographie

I.3.6. CND par courants de Foucault

Le phénomène de courants de Foucault (CF) a été découvert par le physicien français Léon Foucault en 1851. Il est définit comme suit : lorsqu’on applique un champ magnétique variable dans le temps sur un objet conducteur ou on déplace un objet dans un champ magnétique constant, il apparait des courants induits qui s’appelles les CF. Leur distribution et leur répartition dépendent du champ magnétique d'excitation, de la géométrie et des caractéristiques de la structure examinée (σ, μ) [5].La technique de CND par CF, repose sur l’utilisation d’une bobine parcourue par un courant d’excitation variable dans le temps, et placée au voisinage de la pièce conductrice testée (appelée cible). Des courants induits se créés dans la pièce en formant des boucles avec la même fréquence que le courant d'excitation. Ces courants à leur tour créés un champ magnétique induit qui s’ajoute au champ émetteur.

La présence d'un défaut dans la pièce perturbera la circulation des CF, autre mot la déviation de la circulation des CF proche du défaut, modifiera donc le champ magnétique résultant. Cette modification entraîne une variation de l'impédance de la bobine. La figure I.6 illustre le principe du CND par CF [5].

Page 10 Figure I.6. Principe du CND par courants de Foucault

 Avantages -contrôle rapide,

-mise en œuvre simple et peu couteux,

- grande sensibilité de détection des défauts (dimensionnelles, structurales...), - évaluer le dimensionnement et la profondeur d’un défaut,

- enregistrement de résultats (suivi dans le temps).

 Inconvénients

- la profondeur d’inspection est dépend de la fréquence d’excitation, -méthode limitée aux contrôles de matériaux conducteurs,

- la détection du défaut se fait d’une manière locale,

-la position du capteur par rapport au spécimen peut influencer l’efficacité de détection des défauts,

- formation théorique et pratique de l’utilisateur et intervenant.

I.3.7. La tomographie

La tomographie (représentation en coupes) est une technique qui consiste à reconstruire le volume d’un objet (le corps humain dans le cas de l’imagerie médicale, une structure géologique dans le cas de la géophysique) à partir d’une série de mesures déportées à l’extérieur de l’objet. Ces mesures peuvent être effectuées à la surface même ou à une certaine distance. Le résultat est une reconstruction de certaines propriétés de l’intérieur de l’objet, selon le type d’information que fournissent les capteurs (capture d’une particule, pression acoustique, atténuation d’un faisceau lumineux, différence de vitesse ou de polarisation d’ondes sismique…).

La tomographie, d’un point de vue mathématique, se décompose en deux étapes. Tout d’abord elle nécessite l'élaboration d'un modèle direct, décrivant suffisamment les phénomènes physiques tels qu'ils

Page 11 sont mesurés. Ensuite, on détermine le modèle inverse ou reconstruction servant à retrouver la distribution tridimensionnelle en se fondant sur le modèle direct [4].

Figure I.7. Principe de base de la tomographie par projections

Les coupes tomographiques transversales S1 et S2 sont superposées et comparées à l’image projetée P.

 Avantages

-la complémentarité avec la radiographie conventionnelle,

-les images numériques fournissent des paramètres quantitatifs inaccessibles aux autres méthodes de CND,

-la tomographie permet de pouvoir analyser la matière au cœur des objets directement sans les altérer en supprimant le problème de la représentativité des échantillons.

 Inconvénients

-l'extrême variété des appareillages et des modes de fonctionnement de ceux-ci, -la grande diversité des matériaux contrôlables,

-la grande diversité des objectifs recherchés [2,4].

I.2.8. CND par ondes guidées

Le concept d’utilisation des ondes guidées cylindriques pour le CND date de plusieurs années. Ces ondes ont la capacité de se propager sur de très longues distances, à partir d’une seule position du transducteur. Le caractère multimodal des ondes guidées les rend sensibles aux différents types de défauts. Cependant, le comportement de ces ondes est complexe comparé aux ondes de volume actuellement utilisées dans le CND [1].

Il est bien connu qu’il y a deux types d’ondes ultrasonores dans un milieu isotrope: les ondes longitudinales et les ondes transversales. Ces ondes qui se propagent dans les milieux élastiques infinis, sont appelées ondes de volume. Chaque onde a sa propre vitesse de propagation qui est

Page 12 déterminée par les propriétés du matériau, telles que les constantes élastiques et la densité. Cette vitesse est indépendante de la fréquence, par conséquent, une onde qui voyage à travers le milieu maintiendra sa forme: il n’y a pas d’effet dispersif.

Pratiquement, si les dimensions du milieu sont beaucoup plus grandes que la longueur d'onde, nous pouvons considérer les ondes longitudinales et transversales comme ondes de volume.

Cependant, si n'importe quelle dimension du milieu est comparable à la longueur d'onde ou plus petite que celle-ci, ces ondes sont toujours présentes, mais l’interaction de ces dernières avec les frontières doit être prise en considération. En effet, la superposition des ondes longitudinales et transversales, causée par les multiples réflexions dues aux frontières, et l’interférence de ces ondes forment un paquet d’ondes guidées par la structure. Donc, le milieu de propagation sera considéré comme un guide d'ondes. L’onde dans le guide est appelée onde guidée, elle se propage avec une vitesse qui dépend de la fréquence aussi bien que des propriétés du milieu (voir figure I.8) [1].

Ces ondes guidées pénètrent dans l'épaisseur entière et se propagent parallèlement aux surfaces, ce qui permet d’inspecter de grandes distances à partir d'une seule position du transducteur. La figure I.9 présente une photo réelle de l’appareil du CND par ondes guidées.

Figure I.8. Comparaison entre ondes de volume et ondes guidées

Figure I.9. Photo de l’appareil du CND par ondes guidées

Page 13

 Avantages

-inspection des pipelines souterraine, -sensibilité élevée,

-détection en temps réel,

- permet la surveillance permanente avec détection à distance

 Inconvénients

- technologie peu maitrisée,

- le capteur doit être en contact ou couplé acoustiquement au matériau,

- méthode sensible qu'aux défauts évolutifs et aux transformations irréversibles, - ne donne pas d'indications sur la taille ou la géométrie des défauts.

I.4. Types et origines des défauts

I.4.1. Hétérogénéités et défauts

Le terme défaut est ambigu, relatif et peu précis, mais sa notion négative évoque bien le rôle que joue le CND dans la recherche de la qualité. En fait, détecter un défaut dans une pièce, c’est physiquement, mettre en évidence une hétérogénéité de matière, une variation locale de propriété physique ou chimique préjudiciable au bon emploi de celle-ci. Cela dit, on a l’habitude de classer les défauts en deux grandes catégories liées à leur emplacement: les défauts de surface, les défauts internes.

I.4.2. Défauts de surface

Les défauts de surface, accessibles à l’observation directe mais pas toujours visibles à l’œil nu, peuvent se classer en deux catégories distinctes : les défauts ponctuels et les défauts d’aspect.

I.4.2.1. Défauts ponctuels: qui correspondent aux défauts les plus nocifs sur le plan technologique, puisqu’il s’agit des criques, piqûres, fissures, craquelures, généralement aptes à provoquer à terme la rupture de la pièce, en initiant par exemple des fissures de fatigue. Dans les pièces métalliques, l’épaisseur de ces fissures est souvent infime (quelques µm) et elles peuvent être nocives dès que leur profondeur dépasse quelques dixièmes de millimètre, ce qui implique l’emploi pour leur détection de méthodes non destructives sensibles, telles que le ressuage, la magnétoscopie, les courants de Foucault ou les ultrasons.

I.4.2.2. Défauts d’aspect : qui correspondent à des plages dans lesquelles une variation de paramètres géométriques ou physiques (rugosité, surépaisseur, taches diverses) attire le regard et rend le produit inutilisable. Ici, le contrôle visuel est possible, mais on cherche à le remplacer par des contrôles optiques automatiques.

Page 14 I.4.3. Défauts internes

Ils sont des hétérogénéités de natures, de formes, de dimensions extrêmement variées, localisées dans le volume du corps à contrôler. Leur nomenclature est très étoffée et spécifique à chaque branche d’activité technologique et industrielle.

Dans les industries des métaux, il s’agira de criques internes, de porosités, de soufflures, d’inclusions diverses susceptibles d’affecter la santé des pièces moulées, forgées, laminées, soudées.

Dans d’autres cas, il s’agira simplement de la présence d’un corps étranger au sein d’une enceinte ou d’un produit emballé [4].

I.4.4. Origines des défauts

Les origines et les causes des défauts sont multiples. On peut citer sans être exhaustif les exemples suivants :

-Défauts de moulage,

-Défauts de soudage ou de brasage des pièces mécaniques, -Détection de fissuration (interne ou débouchant),

-Endommagement (délaminage) de composites, -Hétérogénéité dans les matériaux,

-Défauts de collage, - Absence de colle, - Défaut d’adhésion, - Fissuration de colle,

-Défauts de fixation des composants électroniques,

a) Défaut de corrosion b) Détection de fissuration Figure I.10. Présentation de quelques défauts qui existent dans l’industrie

Page 15

I.5. Capteurs magnétiques utilisés au CND

Un capteur est un système complexe dont le premier élément de la chaîne de mesure est constitué par un élément permettant de convertir une grandeur physique à mesurer en grandeur électrique.

Les principes utilisés pour les capteurs magnétiques sont assez nombreux. Leurs applications sont aussi très différentes, pas seulement en fonction de leur coût mais aussi en fonction de leur plage de mesure ou de leur résolution.

I.5.1. Capteurs inductifs

Les capteurs inductifs utilisés pour les têtes de lecture de magnétophone ou de magnétoscope, utilise l’effet inductif. Un bobinage est réalisé autour d’un circuit magnétique qui a pour rôle de canaliser le champ magnétique. Cet effet est utilisé aussi pour des capteurs de position, pour des capteurs de pression ou pour des détecteurs de défaut dans des structures mécaniques.

Ce principe utilise les CF générés dans le matériau. Le parcours de ces courants est modifié en présence de défaut mécanique.

Un capteur inductif transforme un champ magnétique qui le traverse en tension grâce au phénomène d’induction par la loi de Lenz-Faraday. Cette loi montre que la force électromotrice créée est proportionnelle à la dérivée temporelle de l’induction : la composante continue du champ magnétique est rejetée. Pour la même raison, la sensibilité en hautes fréquences est relativement grande.

I.5.1.1. Capteurs à Effet Hall

C’est un phénomène se produisant lorsqu'un conducteur ou un semi-conducteur traversé par un courant d'intensité I est soumis à un champ magnétique. Dans cette situation, une différence de potentiel électrique V apparait entre les deux faces perpendiculaires à la direction du courant et du champ magnétique (Figure I.11). La tension V est d'ailleurs proportionnelle au produit vectoriel du courant et du champ magnétique.

a) Principe du capteur a effet hall

On considère que le matériau est long lorsque la longueur Ide l’échantillon est grande devants sa hauteur W. L’effet Hall se manifeste aussi dans des échantillons dit courts, mais alors a variation du paramètre électrique observé est une variation de résistance.

Page 16 Figure I.11. Plaque à effet Hall infiniment longue

L’effet Hall apparaît si le matériau est parcouru par un courant I et s’il est soumis à une induction B. Les directions de l’induction magnétique et du courant sont initialement perpendiculaires. La densité de courant dans l’échantillon est appelée J, et le champ électrique appliqué (nécessaire à la circulation du courant I) entre les 2 faces de gauche et de droite de l’échantillon, est appelé Ee. Sous l’action de ce champ électrique, il circule un courant et les porteurs sont animés d’une vitesse vd. La mobilité des porteurs exprime le rapport du champ électrique appliqué à la vitesse des porteurs.

L’effet générateur de Hall apparaît dans tous les matériaux conducteurs. Il suffit qu’il circule un courant à travers celui-ci. Par contre, comme nous allons le montrer, la constante de Hall est inversement proportionnelle au nombre de porteurs ionisés dans le matériau. Un matériau semi- conducteur est donc tout à fait indiqué pour constituer un générateur de Hall sensible [10].

b) Applications des capteurs à effet Hall

Il y a plusieurs façons d’exploiter l’effet Hall : lorsqu’un courant circule dans le capteur on peut détecter soit le champ magnétique, soit toute grandeur physique influençant le champ magnétique [11]. En particulier :

 Pour la caractérisation du type d’un semi-conducteur,

 Pour la mesure de la concentration des porteurs d’un semi-conducteur,

 Pour la détermination de la température en utilisant le fait que le nombre de porteurs et la mobilité d’un semi-conducteur évoluent avec celle-ci,

 Pour la mesure sans contact de courant forts,

 Pour la mesure des inductions magnétiques: tesla mètre, gaussmètre, magnétomètre,

 Pour la détection des câbles électriques cachés dans un mur,

 Ils sont aussi utilisés comme capteurs de position, de niveau ou de déplacement.

Page 17 I.5.1.2. Les Magnétorésistances

L'effet de magnétorésistance "géant" a été découvert en 1988 par l'équipe de Fert dans des empilements de fines couches de matériaux ferromagnétiques (Fer) séparées par des matériaux non magnétiques (Chrome).

Un capteur à magnétorésistance géant(GMR)est composé de deux couches ferromagnétiques séparées par une couche de matériau conducteur. Lors de l’application d’un champ magnétique sa résistance transverse varie proportionnellement à l’intensité du champ magnétique. En l’absence de champ magnétique, les aimantations des deux couches minces (couches ˝dure˝ et ˝douce˝) s’orientent naturellement dans des directions opposées et dans ce cas, la résistance associée est maximale. Mais lorsqu’un champ magnétique est appliqué, la situation s’inverse. Les moments magnétiques des deux couches s’alignent parallèlement par couplage ferromagnétique indirect et par conséquent la résistance de la jonction devient très faible [12].

Figure 1.12. Évolution de l’aimantation des couches d’une GMR en fonction du champ magnétique appliqué

I.5.1.3. Les flux gâtent

Les premiers capteurs flux gâté ont été développés dans les années 1930, mais ils sont toujours utilisés aujourd’hui avec le même principe dans de nombreuses applications notamment celles qui se fondent sur le mesure du champ terrestre.

Le capteur flux gâte le plus simple se compose d’un noyau fait un matériau magnétique doux, le plus souvent un alliage ferromagnétique, et d’au moins deux bobines: une pour l’excitation et l’autre pour la détection (figure I.13).

Un dernier type de capteur de champ magnétique, d’une technologie assez récente, est représenté par les capteurs flux gâtes. Il s’agit de capteurs formés autour d’un noyau magnétique, pouvant avoir des formes relativement diverses. Le matériau du noyau doit avoir une courbe d’aimantation B = f(H) comportant une forte saturation de l’induction lorsque le champ magnétique est élevé. Le permalloy est par exemple un matériau très utilisé dans ce type d’application [9].

Page 18 Figure I.13. Exemples de géométries de flux gâtes

Un enroulement excitateur entourant au plus proche le noyau est parcouru par un courant alternatif non nécessairement sinusoïdal, créant un champ magnétique alternatif dans le noyau, localement parallèle à l’axe de l’enroulement. L’induction correspondante subit une saturation, symétrique par rapport à zéro. Un autre enroulement est disposé autour du noyau, son axe étant rectiligne. Il n’est pas alimenté, et la force électromotrice créée à ses bornes est, selon la loi de Lenz, proportionnelle à la dérivée du flux de l’induction magnétique dans la ou les parties du noyau entourées. Lorsqu’un champ magnétique extérieur s’ajoute au champ d’excitation à l’endroit où est bobiné l’enroulement de réception, la saturation de l’aimantation n’est plus symétrique et la tension est déformée. Cette déformation est en général visible dans l’amplitude des harmoniques paires de la tension [12]. Selon la fonction d’onde de l’excitation, il peut aussi s’agir des harmoniques impairesLes flux gâtes ont une grande sensibilité, en particulier pour les champs magnétiques continus. Ils sont ainsi très employés dans les boussoles, car ils sont capables de détecter le champ magnétique terrestre. Dans les applications CND, leur mise en œuvre demande une miniaturisation importante, ce qui leur confère une réputation de technologie relativement coûteuse.

I.5.1.4. Flux de fuite magnétique a) Géométrique

Le dispositif de contrôle à flux de fuite ou MFL (Magnétique Flux Leakage) est un ensemble d’appareils mettant en œuvre des détecteurs ponctuels du champ magnétique.

Les dispositifs MFL sont généralement constitués d’un circuit magnétique magnétisé par un ensemble de bobines d’excitation alimentées par un courant continu.

Le circuit magnétique forme avec la pièce à étudier un circuit magnétique fermé. La présence d’un capteur lors du balayage de la pièce permet de relever les champs qui fuient dans l’air, afin de détecter les fuites de champ dues à la présence de défauts [13].

Page 19 .

b) Principe

Le CND par flux de fuite magnétique n’est utilisable que pour les matériaux ferromagnétiques.

Cette technique est particulièrement efficace pour les défauts de surface de très petites dimensions, mais donne difficilement de bons résultats pour les défauts enfouis. La mise en œuvre technique peut-être complexe, à cause de la magnétisation originelle des matériaux et de la démagnétisation souvent nécessaires.

La figure I.14 montre le principe de cette méthode qui consiste à créer un champ magnétique dans la pièce qui en présence d’un défaut, subit des changements de direction et de comportement créant localement une fuite du flux magnétique. Ce flux de fuite est détecté par un capteur magnétique ou par une bobine réceptrice. Afin d’améliorer les performances notamment la détection des défauts en profondeur et de permettre une meilleure analyse des réponses des capteurs, les industriels ont besoin de mener des études paramétriques en s’appuyant sur un outil de simulation suffisamment rapide et précis.

 Avantages

- Utilisation pour contrôler des plaques ou des pipelines, - Peut être utilisé pendant la construction ou en service, - Inspection de grands espaces pendant un temps réduit,

- Donne l’indication sur la taille (longueur et profondeur) des défauts, - Technologie bien maitrisée,

- Contrôle non polluant.

 Inconvénients

- Coût élevé de l’appareil,

- Nettoyage et sablage rigoureux des équipements avant le contrôle, - Zone morte,

- Interprétation complexe des signaux obtenus à partir d'inspection des tôles trop épaissies [1].

Figure 1.14. Principe du contrôle par flux de fuite magnétique

Page 20

Conclusion

Au cours de ce chapitre, nous avons essayé de donner des généralités sur le CND. Tout d’abord, nous avons commencé par la présentation des différentes techniques de CND, ainsi que leurs avantages et inconvénients. Ensuite, les différents types de capteurs magnétiques ont été présentés, notamment les capteurs qui utilisent la technique du flux de fuite magnétique et qui sont employés pour le contrôle des pièces et installations ferromagnétiques. Cette technique est très intéressante, car elle présente plusieurs avantages : elle est simple à mettre en œuvre, peu coûteuse et automatisable.

Le prochain chapitre sera pour but la présentation des différents outils mathématiques pour la modélisation du capteur de flux de fuite magnétique.

Chapitre II

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Chapitre II

Modélisation du capteur à flux de fuite magnétique

Introduction

Les phénomènes électromagnétiques se présentent dans plusieurs dispositifs tels que les machines électriques, les appareils de coupure, les appareillages à haute tension, ...etc. Ces phénomènes sont produits par des charges électriques, des courants et des aimants permanents. L’électromagnétisme considère les phénomènes électriques et magnétiques à un niveau macroscopique [14].

Le contrôle non destructif (CND) par méthode de flux de fuite magnétique (MFL) est une méthode électromagnétique puisque son principe repose sur le phénomène de l’induction électromagnétique.

La compréhension de ce phénomène est l’étape principale pour l’élaboration des modèles mathématiques destinés pour la conception des capteurs efficaces, et répondre aux problèmes rencontrés lors du contrôle des systèmes [15].

II.1. Lois d’électromagnétisme

La modélisation des interactions électromagnétiques qui se produisent entre deux pistes d’un circuit imprimé passe par l’élaboration d’un modèle physico-mathématique qui est basé sur les équations de Maxwell, les relations constitutives du milieu et les conditions aux limites du domaine d’étude. Dans ce chapitre nous allons illustrer les étapes qui mènent à l'élaboration d'un modèle de CND.

II.1.1. Equations de Maxwell

Tous les phénomènes électromagnétiques sont régis par les quatre équations de Maxwell et les lois de comportement des milieux [16].

Pour calculer le champ électromagnétique dans un dispositif électrotechnique, on utilise les quatre équations fondamentales aux dérivées partielles de Maxwell qui s’écrivent sous leurs formes la plus générale comme suit :

✓ Équation de Maxwell-Ampère :

𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻⃗⃗ = 𝑗 _𝑠 + ^𝜕𝐷_𝜕𝑡^⃗⃗ (II.1)

✓ Équation de Maxwell- Faraday :

𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ = −^𝜕𝐵⃗ _𝜕𝑡 (II.2)

Page 22

✓ Équation de conservation de l’induction magnétique :

𝑑𝑖𝑣 𝐵⃗ = 0 (II.3)

✓ Équation de Maxwell-Gauss :

𝑑𝑖𝑣 𝐷 ⃗⃗⃗ = 𝜌

𝐵⃗ : Induction magnétique (T) 𝐻⃗⃗ : Champ magnétique (A/m) 𝐷⃗⃗ : Induction électrique (C/m2) 𝐸⃗ : Champ électrique (V/m)

𝑗 _𝑠 : Densité du courant de conduction (A/m²)

II.1.2. Relations des milieux

Pour modéliser le comportement des milieux, des relations entre les grandeurs électromagnétiques sont rajoutées. Sans ces relations, le système formé par les équations électromagnétiques est indéterminé. Le champ électrique 𝐸 ⃗⃗⃗ est lié à la densité de courant 𝑗 par :

La loi d’Ohm :

𝑗 = σ 𝐸⃗ (II.5) En ce qui concerne le comportement magnétique des matériaux amagnétiques, la relation entre B et H est linéaire et de la forme :

Relation magnétique :

𝐵 ⃗⃗⃗ = µ 𝐻 ⃗⃗⃗⃗ + 𝐵⃗ _𝑟 (II.6) Relation diélectrique :

𝐷 ⃗⃗⃗ = ɛ𝐸⃗ (II.7) 𝜀 : permittivité électrique [F/m]

𝜎 : conductivité électrique [S/m]

µ: perméabilité magnétique [H/m]

𝐵⃗ _𝑟 : Induction rémanente de l’aimant permanant [T]

II.1.3. Condition de passage

Pour les équations de Maxwell, il est nécessaire d’exprimer les conditions de passage entre les différents milieux du problème considéré. Dans les problèmes de la compatibilité électromagnétique

Page 23 on rencontre des structures qui comportent différents milieux avec des propriétés physiques différentes, les conditions de passage aux interfaces sont obtenues à partir des équations de Maxwell [17,18].

Figure II.1. Interface entre deux milieux Conservation de la composante tangentielle du champ électrique 𝐸 ⃗⃗⃗ :

(𝐸⃗ ₁- 𝐸⃗ ₂)˄ 𝑛⃗ =0 (II.8) Conservation de la composante normale de l’induction magnétique 𝐵 ⃗⃗⃗ :

(𝐵⃗ ₁- 𝐵⃗ ₂). 𝑛⃗ =0 (II.9) Discontinuité de la composante tangentielle du champ magnétique 𝐻 ⃗⃗⃗⃗ :

(𝐻⃗⃗ ₁ - 𝐻⃗⃗ ₂) ˄ 𝑛⃗ =𝐽_𝑠 (II.10) Discontinuité de la composante normale de l’induction électrique 𝐷 ⃗⃗⃗ :

(𝐷⃗⃗ ₁ -𝐷⃗⃗ ₂) ˄ 𝑛⃗ =𝜌_𝑠 (II.11) 𝑛⃗ : Le vecteur normal à la surface.

Js : La densité surfacique de courant libre à l’interface.

ρs : La densité surfacique de charge libre à l’interface.

II.2. Formulation du champ électromagnétique

Les équations de Maxwell constituent un système différentiel du premier ordre qui, dans le cas général, ne permet pas d'expliciter séparément les champs E et B. En introduisant une variable d'état appropriée à la géométrie des dispositifs étudiés, nous pouvons réduire les équations de Maxwell à une équation aux dérivées partielles facile à résoudre.

Dans une configuration cylindrique, la variable d'état la plus adaptée est le potentiel magnétique A et le potentiel scalaire électrique V [15].

Page 24 II.2.1. Formulations magnétostatique

Les phénomènes magnétostatiques sont régis par les équations de Maxwell suivante : Equation de Maxwell-Ampère :

𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻⃗⃗ = 𝑗 _𝑠 (II.12) Equation de conservation du flux :

𝑑𝑖𝑣𝐵⃗ =0 (II.13) Ces deux équations sont complétées par la relation constitutive des matériaux linéaires et isotropes écrite sous la forme :

𝐵⃗ = µ𝐻⃗⃗ (II.14)

II.2.2. Formulation en potentiel vecteur magnétique

L’élimination de 𝐵⃗ et 𝐻⃗⃗ dans les relations donne la formulation magnétostatique en potentiel vecteur magnétique qui permet de simplifier ces équations.

Du fait que le champ magnétique est à flux conservatif, sa divergence est nulle. Il existe alors un champ appelé potentiel vecteur magnétique tel que :

𝐵⃗ = 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻⃗⃗ (II.15) En utilisant le théorème d’Ampère et la loi constitutive des matériaux, nous avons :

𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ¹

µ 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻⃗⃗ )= 𝑗 _𝑠 (II.16) L’équation précédente ne définit pas le champ de potentiel vecteur de manière unique. Pour se faire, nous ajoutons une jauge et nous prenons généralement la jauge de Coulomb :

𝑑𝑖𝑣 𝐴 =0 (II.17)

II.3. Méthodes de résolution

La résolution des formulations électromagnétiques revient à résoudre des équations aux dérivées partielles (EDP). Cette résolution joue un rôle très important pour la modélisation des dispositifs électromagnétique.

Il existe plusieurs méthodes pour la résolution des EDP, ces méthodes sont analytiques, numériques ou mixtes (semi-analytiques) [19].

II.3.1. Méthodes analytiques

II.3.1.1. Méthode de séparation des variables

C'est la méthode la plus utilisée pour la résolution des équations aux dérivées partielles, le principe de cette méthode consiste à mettre l'inconnue sous forme d'un produit des fonctions, dont chacune ne dépend que d'une seule variable [19].

Page 25 II.3.2. Méthodes semi-analytiques

II.3.2.1. Méthodes des intégrales des frontières

Cette méthode est basée sur la discrétisation des frontières du domaine, en utilisent pour cela le théorème de GREEN, Elle est limitée à la résolution des systèmes linéaire [20].

II.3.2.2. Méthode des circuits couplés

La méthode des circuits couplés permet de fournir la solution d'une EDP par une expression intégrale de type BIOT ET SAVART, et elle est peut être couplée à une méthode numérique de discrétisation.

II.3.3. Méthodes numériques

La plupart du temps, où les solutions des équations de Maxwell sont difficiles ou impossibles, il faut utiliser les méthodes numériques. Ces dernières, permettent d’obtenir une solution Proche de la solution exacte du problème étudié. Ci-dessous, nous allons présenter les méthodes numériques les plus utilisées.

II.3.3.1. Méthode des différences finies

La méthode des déférences finies est l’une des techniques de résolution approchée d’équations aux dérives partielles qui consiste à résoudre un système de relations (schéma numérique) liant les valeurs des fonctions inconnues en certains points suffisamment proches les uns des autres. En apparence, cette méthode est en général simple à mettre en œuvre, elle procède en la discrétisation du domaine d’étude (l’espace discrétisé ou maillage) et des opérateurs de dérivation/différentiation. Une discrétisation des opérateurs différentiels (dérives premières, secondes, etc., dérives partielles) peut être obtenue par les formules de Taylor, en particulier celle de Taylor avec reste intégral permet de mesurer les erreurs [21].

II.3.3.2. Méthode des volumes finis

En analyse numérique, la méthode des volumes finis est utilisée pour résoudre numériquement des équations aux dérivées partielles, comme la méthode des différences finies et celle des éléments finis.

Contrairement à la méthode des différences finies qui met en jeu des approximations des dérivées, les méthodes des volumes finis et des éléments finis exploitent des approximations d’intégrales. Toutefois, la méthode des volumes finis se baser directement sur la forme dite forte de l’équation à résoudre, alors que la méthode des éléments finis se fonder sur une formulation variation elle de l’équation (on parle aussi de formulation faible) [20].

Page 26 II.3.3.3. Méthode des éléments finis

Cette méthode est très couramment employée lors de l’étude des systèmes électromagnétiques complexes. Elle permet d’obtenir des résultats de calcul avec une bonne précision et d’étudier de façon précise la répartition interne du flux magnétique. Elle consiste à discrétiser tout le domaine d’étude en des éléments finis (tétraèdres, prismes....). La MEF repose sur la transformation des EDP à un système d’équations algébriques (système matriciel) [5].

II.4. Résolution des EDP par la MEF

II.4.1. Etapes de résolution par la MEF

D’une façon générale, la résolution par la MEF inclut les étapes suivantes :

- Obtention de la formulation variation elle du problème et définition des espaces fonctionnels de solutions admissibles, ou bien par la méthode des résidus pondérés [22].

- Réalisation d’un maillage, correspondant à la discrétisation du domaine d’étude en éléments (triangles, tétraèdres, hexaèdres...) sur lesquels les champs sont écrits en termes d’un nombre fini de degrés de liberté et de fonctions de base à support local.

- Calcul des matrices élémentaires qui, après assemblage, génèrent un système matriciel creux.

- Résolution du système algébrique pour l’obtention d’une solution approchée du problème.

II.4.1.1. Maillage éléments fini

L’approche de base de la MEF est de subdiviser le domaine d’étude en un nombre finis de sous domaines appelés éléments.

Pour des domaines d’étude à une, deux ou trois dimensions, des éléments classiques peuvent être définis selon le degré de la courbe d’interpolation qui lui est associés.

On rencontre généralement, des éléments linéaires, quadratiques ou cubiques [22].

Nous présentons dans ce qui suit quelques éléments : a) Eléments à une dimension

Linéaire (4 nœuds) Quadratique (3 nœuds) Cubique (4 nœuds)