/=º+AEEAH1IJEJKJ.KHEAH/HA>A!=E AKLEA+GKAAKAI2H>=>EEIJAIAJ5J=JEIJE?EAI .EJH=JEI

Filtrations

Gaël Ceillier ; Institut Fourier, Grenoble 3 mai 2010 ; Neuvième Colloque "Jeunes

Probabilistes et Statisticiens"

I) Introduction

On s'intéresse ici aux ltrations des processus X = (X _n ) _{n∈ Z} indexés par les entiers relatifs (ou par les entiers négatifs).

La ltration naturelle d'un tel processus est la famille de tribus F ^X = (F _n ^X ) _{n∈ Z} où F _n ^X = σ((X _k ) _k≤n ) pour tout n ∈ Z _.

On dit que le processus U = (U _n ) _{n∈ Z} gouverne X si pour tout n ∈ Z _,

U _n+1 est indépendant de F _n ^X,U ,

X _n+1 est une fonction mesurable de σ(U _n+1 )

et de F _n ^X .

Exemple 1

Les marches aléatoires X sur un graphe sont gouvernées par leurs pas :

U _n = X _n − X _n−1 .

Toute suite de v.a. indépendantes (X _n ¹ ) _{n∈ Z}

de loi uniforme sur {−1, 1} , est gouvernée

par elle même. Cependant elle est aussi gou-

vernée par d'autres processus, par exemple

par les variables U _n ¹ = X _n ¹ X _n−1 ¹ .

II) Filtrations de type produit et ltrations standards

Dénition 1 Filtration de type produit

Une ltration sera dite de type produit si elle est engendrée par des variables aléatoires indé- pendantes.

Autrement dit X est gouverné par un processus U tel que F ^X = F ^U .

Par exemple F ^X

est de type produit.

Déterminer si une ltration est de type produit

est assez complexe.

Dénition 2 Filtration standard

La ltration naturelle du processus X sera dite standard si X est gouverné par un processus U tel que F ^X ⊂ F ^U .

Il est évident que toute ltration de type pro-

duit est standard. Attention cependant, l'in-

verse n'est pas vrai.

Pour la marche aléatoire X = (X _n ) _{n∈ Z} asso- ciée au graphe ci dessus on peut étudier deux systèmes d'innovations :

U _n = X _n X _n−1 ,

V _n de loi uniforme sur [0, 1] et tel que,

Si X _n−1 = 1 alors V _n < q implique X _n = 1 Si X _n−1 = −1 alors V _n < p implique X _n = 1.

On remarque que d'une part F ^X n'est pas in-

clue dans F ^U . D'autre part F ^X ⊂ F ^V mais

l'inclusion est stricte. Une étude plus poussée

montre que cette ltration est standard (on

vient de le montrer) et qu'elle n'est pas de

type produit.

Un raisonnement classique, mais faux est le suivant :

Si F _−∞ ^X est triviale et si X est gouverné par U , alors puisque pour tout n ∈ Z on sait que F _n ^X ⊂ F _n−1 ^X ∧ σ(U _n ) on a F _n ^X ⊂ F _n ^U , autrement dit F ^X est standard.

Ceci est faux car de l'information peut être

perdue. En eet, par exemple pour le proces-

sus précédant, F ^X n'est pas inclue dans F ^U ,

puisque X ₀ est indépendant de F ^U . Nous allons

maintenant étudier deux types d'exemples.

III)Le processus des mots découpés Ce processus a été introduit et étudié par M.Smorodinsky puis par S.Laurent.

Soit A un ensemble de cardinal N ≥ 2 et (` _n ) _n≤0 une suite décroissante d'entiers, le processus (X _n ) _n≤0 des mots découpés est caractérisé par, pour tout n ∈ Z _,

la loi de X _n est la loi uniforme sur l'ensemble des mots de longueur ` _n sur A ;

si l'on coupe le mot X _n−1 en ` <sub>n−1</sub> /` _n sous-

mots, alors X _n est choisit uniformément parmi

ces sous-mots indépendamment du passé jus-

qu'au temps n − 1 .

On note r _n = ` <sub>n−1</sub> /` _n .

S.Laurent a donné deux conditions, ∇ et ∆ , sur les longueurs (` _n ) _n≤0 :

∇ : Il existe α < 1 tel que r _n ^α À N ^`

quand n → −∞ .

∆ : La série ^X

n

ln(r _n )

` _n converge.

Il a montré que sous la condition ∇ la ltration du processus est de type produit, tandis que sous la condition ∆ elle ne n'est pas standard.

Les conditions ∇ et ∆ avaient déjà été intro-

duites par Vershik, dans le contexte de la théo-

rie ergodique.

Theorem 1 La condition ∆ est nécessaire et

susante pour que la ltration du processus

des mots découpés soit standard. De plus elle

est de type produit dès qu'elle est standard.

IV) Processus stationnaires à valeurs dans un ensemble ni

On a cherché des conditions susantes pour que la ltration d'un processus stationnaire X = (X _n ) _{n∈ Z} à valeurs dans un ensemble ni A soit standard. Ces conditions expriment le fait que le passé a long terme a peu d'inuence sur le présent.

Pour tout n ≥ 0 , x ∈ A ⁿ et a ∈ A , on pose p(a|x) = P (X ₀ = a | X _−n:−1 = x),

De plus on se donne une version régulière de la loi conditionnelle de X ₀ sachant X ₋₁ ^C :

p(·|x) = P (X ₀ = · | X ₋₁ ^C = x), x ∈ A ^C .

On introduit alors les quantités γ _n et δ _n mesu- rant l'inuence à distance n .

Dénition 3 Pour tout n ≥ 0 , on pose γ _n = 1 − inf

( p(a|xz )

p(a|yz ) ; a ∈ A, x, y ∈ A ^C , z ∈ A ⁿ ,

)

,

δ _n = sup ⁿ kp(·|xz ) − p(·|yz )k ; x, y ∈ A ^C , z ∈ A ^{n o} ,

où k · k est la variation totale.

X.Bressaud, A.Maass, S.Martinez et J.San Mar- tin on montré le résultat suivant :

Theorem 2 Si A ne possède que deux élé- ments, alors

+∞ X k=0

Y k n=0

(1 − γ _n ) = +∞

implique que F ^X est standard.

Nous avons amélioré ce résultat une première fois en montrant le résultat suivant

Theorem 3 (1) Si A est ni, si 2δ ₀ < 1 et si

+∞ X k=0

Y k n=0

(1 − 2δ _n ) = +∞

est vériée, alors F ^X est standard.

(2) Si A ne possède que 2 éléments alors

+∞ X k=0

Y k n=0

(1 − δ _n ) = +∞

sut à impliquer la standardité de F ^X .

Tous les résultats ci-dessus font intervenir des écarts maximums. Nous avons cependant éta-

bli un résultat portant sur les inuences moyennes : Theorem 4 Pour tout n ≥ 0 , on note η _n l'in-

uence moyenne à distance n : η _n = ^X

z∈A

E ^h kp(·|z)−p(·|X _−n−1 ^C z)k ⁱ · P [X _−n:−1 = z].

Si A est ni et si pour tout a ∈ A , p(a|X ₋₁ ^C ) > 0 presque sûrement, la condition

+∞ X k=0

η _k < +∞. (1)

implique que F ^X est standard.