UNIVERSIT ´E MONTESQUIEU BORDEAUX IV 2`emeann´ee Licence Eco-Gestion
Semestre 2 2011/2012
´Episode II : Matrices
R
EMARQUESujet de mai 2011 trait´e en cours...
E
XERCICE1
Soitu1= (1,1,0),u2= (0,1,1),u3= (1,0,1)etu4= (−1,2,−1)quatre ´el´ements deR3. 1. La famille{u1, u2, u3, u4}peut-elle ˆetre une base deR3?
2. Montrer que{u1, u2, u3}est une base deR3.
3. Soit{e1, e2, e3}la base canonique deR3. Quelle est la matrice de passagePde la base canonique{e1, e2, e3}
`a la base{u1, u2, u3}?
4. CalculerP−1en utilisant la m´ethode de votre choix.
5. Soitf l’endomorphisme deR3dont la matrice dans la base canonique est
A=
3 2
1 2
1 2
0 2 1
1
2 −12 52
(a) En utilisant les matrices de changement de base, donner la matriceJdef dans la base{u1, u2, u3}. (b) UtiliserApour calculerf(u1),f(u2)etf(u3)en fonction deu1,u2etu3.
Retrouver ainsi la matriceJ.
6. Montrer que l’on peut ´ecrireJ=D+N o `uDest une matrice diagonale,Nest nilpotente d’ordre3(i.e.
N3=O3(R)). Montrer queDetNcommutent.
7. En d´eduireJnpournentier naturel. Comment calculerAn?
E
XERCICE2
D´eterminer le rang des matrices suivantes :
A=
3 1 1
1 0 2
−1 2 −12
B=
2 4 2 0 1 1 2 2 −1
C=
1 2 1
−1 0 1 3 2 2
D=
2 1 3 −1 3 −1 2 0 1 3 4 −2 4 −3 1 1
E
XERCICE3
SoitA= a b
c d
∈ M2(R).
1. V´erifier l’´equation (th´eor`eme de Cayley-Hamilton en dimension 2) : A2−tr(A)A+det(A)I2= 0
2. SoitB=
d −b
−c a
. Montrer que pour toute matriceA, on a :AB=BA=det(A)I2. 3. En d´eduire queAest inversible si et seulement sidet(A)6= 0et que dans ce cas :
A−1= 1 det(A)
d −b
−c a
E
XERCICE4
Soitul’endomorphisme deR3dont la matrice dans la base canonique(i, j, k)deR3est :
A=
0 1 0
0 0 1
1 −3 3
.
1. Montrer queuest inversible et d´etermineru−1.
2. D´eterminer une base(e1, e2, e3)deR3telle queu(e1) =e1,u(e2) =e1+e2etu(e3) =e2+e3. 3. D´eterminerPla matrice de passage de(i, j, k)`a(e1, e2, e3)ainsi queP−1.
4. Exprimer la matriceBdeudans la base(e1, e2, e3)deR3. 5. Montrer que l’on peut ´ecrireB=I3+N.
6. En d´eduireun(i),un(j)etun(k)pournentier relatif.
E
XERCICE5
Les suites(xn),(yn)et(zn)sont solutions du syst`eme d’´equations de r´ecurrence :
xn+1 = xn
yn+1 = yn−xn
zn+1 = zn−yn
On ´ecrira ce syst`eme sous la forme matricielle :
Un+1=
xn+1
yn+1
zn+1
=A×Un
o `uAest une matrice qui peut se mettre sous la forme :A=I3−N. 1. CalculerNnpournentier naturel. En d´eduireAn.
2. On admet que pour toutn≥2,Un=An×U0.
En d´eduire la solution g´en´eraleUnen fonction du vecteurU0des conditions initiales.
E
XERCICE6
Partie ASoitfl’endomorphisme deR2associ´e `a la matriceA=14 3 1
1 3
.
1. D´eterminer la matriceBdefdans la base{u, v}deR2avecu= (1,−1)etv= (1,1). 2. En d´eduireAnpournentier naturel.
Partie BLes suites(un)et(vn)sont solutions du syst`eme d’´equations de r´ecurrence :
un = 34un−1+14vn−1 vn = 14un−1+34vn−1
Apr`es avoir ´ecrit ce syst`eme sous la forme matricielleUn=A×Un−1, on d´eterminera les solutionsunetvnen fonction des conditions initialesu0= 2etv0= 1.
