Matrices (II)

I) Auto-test : Matrices (II)

1. Donner la définition de deux matrices équivalentes.

On dit que deux matrices sont équivalentes lorsqu’il existe des matrices inversible P ∈ GLp(K) et Q∈GLq(K)tq

A=P BQ On note AEqB

Définition

2. A quelle matrice simple est équivalente une matrice de rang r?

Soient A∈M_n(K), de rangr∈J1;nK

AlorsAEqJ_r i.e. il existeP et QdansGL_n(K)tqA=P J_rQ Théorème

3. Énocer le théorème de clasification selon le rang.

Deux matrices sont équivalentes ssi elles ont le même rang Corollaire(classification selon le rang)

4. Donner la définition et les propriétés élémentaires de la transposée d’une matrice (involution, linéarité, transposée du produit et de l’inverse dans le cas inversible).

SoitA∈Mpq(K), on noteA= (aij)1≤i≤p

1≤j≤q

On appelle transposé deA la matrice notée^tA∈Mqp(K)de terme généralbij=aji

Définition

1.^t(^tA) =A

2.^t(A+B) =^tA+^tB ^t(λA) =λ^tA 3.^t(AB) =^tB×^tA

4. SiA∈GL_n(K)alors^tA∈GL_n(K)et(^tA)⁻¹=^t(A⁻¹) Théorème(Propriété)

5. SAVOIR REFAIRE : soit A∈ Mn(K). Montrer que rg(A) = rg(^tA). Comment interpréter cela en termes de lignes/colonnes ?

SoitA∈Mpq(K) Alorsrg(^tA) = rg(A)

Théorème

Sur une matrice quelconque, le rang des ligne et égal au rang des colonnes.

Corollaire

Preuve :

(théorème) - Si rg(A) = 0, alorsA= 0et ^tA= 0

- Sirg(A) =r≥1, alors on a vu queAEqJr, d’où P et QdansGLn(K)tqA=P JrQ Donc^tA=^t[(P Jr)Q] =^tQ^t(P Jr) =^tQ^tJrtP

Or^tJr=JrcarJrest diagonale.

Ainsi^tA=^tQJrtP où^tQet^tP sont inversible. Donc^tAEqJr

Ainsirg(^tA) =r= rg(A)

6. Définition d’une matrice symétrique/antisymétrique.

A∈Mn(K)est dite symétrique lorsque^tA=A A∈Mn(K)est dite antisymétrique lorsque^tA=−A

Définition

7. SAVOIR REFAIRE : Montrer que Mn(K) =Sn(K)⊕ An(K).

1.Sn(K)etAn(K)sont des sous-espace vecotirel deMn(K) 2.M_n(K) =Sn(K)⊕An(K)

3.dim(Sn(K)) = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ etdim(An(K)) = ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂ Théorème

Preuve :

1. Montrons queAn(K)est un sous-esapce vectoriel deM_n(K) =E La matrice nulle est bien asymétrique^t0_E =−0_E

SoientAet B asymétrique dansE,λetµdansE On poseC=λAµB

tC = ^t(λA+µB)

= λ^tA+µ^tB la transposition est linéaire

= λ(−A) +µ(−B)

= −C DoncC∈An(K)

ConclusionAn(K)est un sous-espace vectoriel deMn(K)

De même pourSn(K)

2. Montrons queSn(K)∩An(K) ={0E}

SoitA∈Sn(K)∩An(K)i.e.^tA=Aet ^tA=−AdoncA=−Ai.e.2A= 0_E doncA= 0_E Montrons queA∈M_n(K)⊂Sn(K) +An(K) ={0_E}

SoitA∈M_n(K),A=1

2(A+^tA)

| {z }

notéU

+1

2(A−^tA)

| {z }

notéV tU =^t

1

2(A+^tA)

= 1

2(^tA+^t(^tA)) = 1

2(^tA+A) =U DoncU ∈Sn(K)

tV =^t 1

2(A−^tA)

=1

2(^tA−^t(^tA)) = 1

2(^tA−A)) =−1

2(A−^tA) =−V DoncV ∈An(K)

DoncA=U+V avecU symétrique etV antisymétrique.

Conclusion :An(K)et Sn(K)sont supplémentaire dansE

8. SAVOIR REFAIRE : Donner la dimension de Sn(K)etAn(K)(expliquer moralement, puis donner idée de la démarche pour une preuve rigoureuse) ?

dim(Sn(K)) = (n+ 1)

2 dim(An(K) = (n−1) 2 ) Théorème

On commence parSn(K): Moralement, soitA∈Sn(K)

A=











. ? ? ... . .. ? . · · · .











? est obtenu par symétrie par rapport à la diagonale. Donc pour connaitreA∈Sn(K), il suffit de se donner des termes diagonaux et sous diagonaux.

Comptons les :













 1 a11

2 a21 a22

3 a31 a32 a33

... ... . .. n an1 an2 · · · ann















Total :1 + 2 +...+n=

n

X

k=1

k= n(n+ 1) 2

Rigoureusement : Sii < j on aSij=Eij+Eji. On poseβ= (Sij)_1≤i<j≤n∪ {Eii/i∈J1;nK} β est génératrice car siA∈Sn(K)

A= X

1≤i<j≤n

aijSij+

n

X

i=1

aiiEii

β est libre car si A= 0E, alors tous lesaij sont nuls.

β est une base deSn(K)

card(β) = card{(i, j)∈JA;nK/i < j}+ card{Eii/i∈J1;nK}

= n(n−1)

2 +n

= n(n+ 1) 2 Grassman :

dim(Mn(K)) = dim(Sn(K)) + dim(An(K)) n² = n(n+ 1)

2 + dim(An(K)) Donc

dim(An(K)) = n²−n(n+ 1) 2

= n²−n² 2 −n

2

= n² 2 −n

2

= n(n−1) 2

9. Soient E un K-espace vectoriel de dimension fini, β et β⁰ des base de E. Définir la matrice de passage de β à β⁰ et donner le rapport avec l’application IdE.

Soient E unK-espace vectoriel de dimension fini,β etβ⁰ des bases deE.

On appelle matrice de passage deβ àβ⁰ la matrice noté

P_β→β⁰ = Mat_β(β⁰) =



 β⁰ β



 Définition

1.P_β→β0 = [Id_E]_ββ0

2.P_β→β⁰ est inversible et(P_β→β⁰)⁻¹=P_β⁰_→β Lemme

10. Formule de passage : Soient E un K-espace vectoriel, β et β⁰ des base de E. Soient f ∈ L(E), x∈E. On note X = [x]β, X⁰ = [x]β⁰, A= [f]β et A⁰ = [f]β⁰. Donner les relations entre X etX⁰, puis A etA⁰ en fonction d’une matrice de passage que l’on précisera.

Soient E unK-espace vectoriel de dimension finie égale àn,β et β⁰ des base deE.

1. Soit x∈E

On poseX = [x]β et X⁰ = [x]beta⁰

AlorsX =P_β→β⁰X⁰

2. Soit f ∈L(E), on noteP =P_β→β⁰,1 = [f]β etA⁰ = [f]β⁰

AlorsA⁰ =P⁻¹AP Théorème

11. Donner la définition de deux matrices semblables A etB. Donner une interprétation en termes d’application linéaires et de bases.

On dit que deux matricesAetB deM_n(K)sont semblable lorsqu’il existeP ∈GL_n(K)tqB=P⁻¹AP Définition

12. Donner la relation entre matrices semblables et équivalentes. Fournir un contre-exemple.

(A∼B)⇒(AEqB)mais(AEqB);(A∼B) Théorème

Contre exemple : A=



 0 1 0 0



=E2,1et B=



 1 0 0 0



=E1,1

AEqB carrg(A) = rg(B) = 1

A6∼B en effetA²= 0maisB²=B6= 0

13. SAVOIR REFAIRE : On suppose que A∼B. Montrer que ∀k∈N, A^k∼B^k. Préciser

Si A∼B i.e.B=P⁻¹AP oùP ∈GL_n(K) Alors∀k∈N,A^k∼B^k avecB^k=P⁻¹A^kP

Lemme

Preuve :

Par récurrence surk∈N1. Initialisation :B⁰=In etP⁻¹A⁰P=P⁻1InP =In =B⁰ 2. Héréditer : soitk∈Ntel que B^k=P⁻¹A^kP

B^k+1 = B×B^k

= (P⁻¹A^kP)×(P⁻¹AP)

= P⁻¹A^k×AP

= P⁻¹A^k+1P Ce qui achève la récurrence.

14. Définir la trace d’une matrice carré A= (aij).

SoitA∈M_n(K). On appele trace deAla source de ses termes diagonaux.

Si A= (a_ij)alorstr(A) =Pn i=1a_ii Définition

15. SAVOIR REFAIRE : Énoncé et preuve des propriétés de la trace.

1.

Tr: Mn(K) → K (forme linéaire) A 7→ tr(A)

i.e. tr(A+B) = tr(A) + tr(B)et tr(λA) =λtr(A) 2.∀(A, B)∈M_n(K),tr(AB) = tr(BA)

3. SiA∼B, alorstr(A) = tr(B) 4.tr(^tA) = tr(A)

Théorème(Propriété)

Preuve :

On noteA= (a_ij)et B= (b_ij) 1.

tr(A+B) =

n

X

i=1

(aii+bii)

=

n

X

i=1

aⁱⁱ

! +

n

X

i=1

b_ii

!

= tr(A) + tr(B)

tr(λA) =

,

X

i=1

λa_ii

= λ

n

X

i=1

a_ii

= λtr(A) 2. On noteAB= (C_ij)→C_ij=Pn

k=1a_ikb_kj

tr(AB) =

n

X

i=1

cii=

n

X

i=1 n

X

k=1

aikbki

tr(BA) =

n

X

k=1

d_kk

=

n

X

k=1 n

X

p=1

b_kpa_pk

=

n

X

k=1 n

X

i=1

aikbki

=

n

X

i=1 n

X

k=1

a_ikb_ki tr(AB)

3. On supposeA∼B

D’oùP ∈GLn(K)tel queB=P⁻¹AP

tr(B) = tr(P⁻¹AP)

= tr((AP)P⁻¹)

= tr(A) 4.Aet^tAon les même termes diagonaux donc la même trace.

16. Définir la trace d’un endomorphisme en dimension finie.

Soient E unK-espace vectoriel de dimension fini etf ∈L(E)

On appelle trace d’un de ses endomorphisme une quelconque baseβ deE tr(f) = tr

[f]_β Définition

17. SAVOIR REFAIRE : Pour un projecteur en dimension finie, la trace est égale au rang.

Pour un projecteur en dimension fini, la trace est égale au rang.

Théorème

Preuve :

SoitE unK−espace vectoriel de dimension fini égale àn∈N^∗. Soitp∈L(E)un projecteur i.e.p◦p=p

Montrons quetr(p) = rg(p)

On noter= rg(p) = dim(Im(p))(?)

D’aprèsp=PF,Gprojection deF parallèlement àGoùF = Im(p)etG= ker(p).

On choisit une baseβ adapté àppour calculer sa trace.

OrE =F⊕Getdim(F) =rselon (?)

On choisitε1, ..., εr une base deF,εr+1, ..., εn une base deG

Par recollementβ = (ε1, ..., εr, εr+1,...,ε_n)est une base deE.

[p]β=





















p(ε1) · · · p(εr) p(εr+1) · · · p(εn)

ε1 1K 0 0 0 0 0

... 0 . .. 0 0 0 0

εr 0 0 1K 0 0 0

εr+1 0 0 0 0 0 0

... 0 0 0 0 0 0

ε_n 0 0 0 0 0 0





















=Jr

p(ε₁) =ε₁, ..., p(ε_r) =ε_r, p(ε_r+1) = 0, ..., p(ε_n) = 0 carε₁, ..., ε_r sont dansIm(p) =F Ainsitr(p) = 1_K+...+ 1_k

| {z }

rfois

=r= rg(p)