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´Episode IV : Matrices

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

UNIVERSIT ´E MONTESQUIEU BORDEAUX IV 2`emeann´ee Licence Eco-Gestion

Semestre 1 2013/2014

´Episode IV : Matrices

E

XERCICE

1

Effectuer le produit des matrices :

2 1 3 2

×

1 −1 1 1

1 2 0 3 1 4

×

−1 −1 0

1 4 −1

2 1 2

a b c c b a 1 1 1

×

1 a c 1 b b 1 c a

E

XERCICE

2

On consid`ere les trois matrices suivantes :

A=

2 −3 1 0

5 4 1 3

6 −2 −1 7

 B=

 7 2

−5 2 3 1 6 0

et C=

−1 2 6 3 5 7

1. CalculerABpuis(AB)C. 2. CalculerBCpuisA(BC). 3. Que remarque-t-on ?

E

XERCICE

3

On consid`ere les deux matrices suivantes :

A=

2 3 −4 1

5 2 1 0

3 1 −6 7

2 4 0 1

B=

3 −1 −3 7

4 0 2 1

2 3 0 −5

1 6 6 1

1. CalculerAB. 2. CalculerBA.

3. CalculerA2−B2. Que remarque-t-on ?

E

XERCICE

4

SoitA=

0 1 1 1 0 1 1 1 0

.Montrer queA2=A+ 2I3.En d´eduire queAest inversible et calculer son inverse.

E

XERCICE

5

SoitA=

1 0 2

0 −1 1 1 −2 0

.CalculerA3−A.En d´eduire queAest inversible puis d´eterminerA−1.

E

XERCICE

6

SoitA=

2 −1 2 5 −3 3

−1 0 −2

.Calculer(A + I3)3. En d´eduire queAest inversible puis d´eterminerA−1.

(2)

E

XERCICE

7

D´eterminer le rang et le d´eterminant des matrices suivantes :

A=

3 1 1

1 0 2

−1 2 −12

 B=

2 4 2 0 1 1 2 2 −1

 C=

1 2 1

−1 0 1 3 2 2

 D=

2 1 3 −1 3 −1 2 0 1 3 4 −2 4 −3 1 1

E

XERCICE

8

Calculer le d´eterminant des matrices suivantes :

A=

1 a b+c 1 b c+a 1 c a+b

 B=

1 1 1 1

a b c d

a2 b2 c2 d2 a3 b3 c3 d3

E

XERCICE

9

Calculer sous forme factoris´ee les d´eterminants suivants :

a)

0 a b a 0 c b c 0

b)

a b c c a b b c a

c)

a+b b+c c+a a2+b2 b2+c2 c2+a2 a3+b3 b3+c3 c3+a3

E

XERCICE

10

On consid`ere une matriceA= (aij)deMn(K)telle queaij = 0sij ≤n−i.Cela signifie queAest de la forme :

0 · · · 0 a1,n

0 0 a2,n−1 a2,n

... ...

0 an−1,2 an−1,n

an,1 · · · an, n

Calculer son d´eterminant.

E

XERCICE

11

SoitA= a b

c d

∈ M2(R).

1. V´erifier l’´equation (th´eor`eme de Cayley-Hamilton en dimension 2) : A2−tr(A)A+det(A)I2= 0

2. SoitB=

d −b

−c a

. Montrer que pour toute matriceA, on a :AB=BA=det(A)I2. 3. En d´eduire queAest inversible si et seulement sidet(A)6= 0et que dans ce cas :

A−1= 1 det(A)

d −b

−c a

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