UNIVERSIT ´E MONTESQUIEU BORDEAUX IV 2`emeann´ee Licence Eco-Gestion
Semestre 1 2013/2014
´Episode IV : Matrices
E
XERCICE1
Effectuer le produit des matrices :
2 1 3 2
×
1 −1 1 1
1 2 0 3 1 4
×
−1 −1 0
1 4 −1
2 1 2
a b c c b a 1 1 1
×
1 a c 1 b b 1 c a
E
XERCICE2
On consid`ere les trois matrices suivantes :
A=
2 −3 1 0
5 4 1 3
6 −2 −1 7
B=
7 2
−5 2 3 1 6 0
et C=
−1 2 6 3 5 7
1. CalculerABpuis(AB)C. 2. CalculerBCpuisA(BC). 3. Que remarque-t-on ?
E
XERCICE3
On consid`ere les deux matrices suivantes :
A=
2 3 −4 1
5 2 1 0
3 1 −6 7
2 4 0 1
B=
3 −1 −3 7
4 0 2 1
2 3 0 −5
1 6 6 1
1. CalculerAB. 2. CalculerBA.
3. CalculerA2−B2. Que remarque-t-on ?
E
XERCICE4
SoitA=
0 1 1 1 0 1 1 1 0
.Montrer queA2=A+ 2I3.En d´eduire queAest inversible et calculer son inverse.
E
XERCICE5
SoitA=
1 0 2
0 −1 1 1 −2 0
.CalculerA3−A.En d´eduire queAest inversible puis d´eterminerA−1.
E
XERCICE6
SoitA=
2 −1 2 5 −3 3
−1 0 −2
.Calculer(A + I3)3. En d´eduire queAest inversible puis d´eterminerA−1.
E
XERCICE7
D´eterminer le rang et le d´eterminant des matrices suivantes :
A=
3 1 1
1 0 2
−1 2 −12
B=
2 4 2 0 1 1 2 2 −1
C=
1 2 1
−1 0 1 3 2 2
D=
2 1 3 −1 3 −1 2 0 1 3 4 −2 4 −3 1 1
E
XERCICE8
Calculer le d´eterminant des matrices suivantes :
A=
1 a b+c 1 b c+a 1 c a+b
B=
1 1 1 1
a b c d
a2 b2 c2 d2 a3 b3 c3 d3
E
XERCICE9
Calculer sous forme factoris´ee les d´eterminants suivants :
a)
0 a b a 0 c b c 0
b)
a b c c a b b c a
c)
a+b b+c c+a a2+b2 b2+c2 c2+a2 a3+b3 b3+c3 c3+a3
E
XERCICE10
On consid`ere une matriceA= (aij)deMn(K)telle queaij = 0sij ≤n−i.Cela signifie queAest de la forme :
0 · · · 0 a1,n
0 0 a2,n−1 a2,n
... ...
0 an−1,2 an−1,n
an,1 · · · an, n
Calculer son d´eterminant.
E
XERCICE11
SoitA= a b
c d
∈ M2(R).
1. V´erifier l’´equation (th´eor`eme de Cayley-Hamilton en dimension 2) : A2−tr(A)A+det(A)I2= 0
2. SoitB=
d −b
−c a
. Montrer que pour toute matriceA, on a :AB=BA=det(A)I2. 3. En d´eduire queAest inversible si et seulement sidet(A)6= 0et que dans ce cas :
A−1= 1 det(A)
d −b
−c a