TRI 3

Exercices résolus de mathématiques.

TRI 3

EXTRI030 – EXTRI039

http://www.matheux.be.tf

Jacques Collot

1 avril 03

EXTRI030 – Mons, questions-types 2000-2001.

Résoudre l’équation trigonométrique suivante :

x x

b a

b

a cos² 2cos cos cos sin ²

²

cos + = +

Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.

( ) ( )  ( ) ( )

( ) ( )

  ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

 

( ) ( )  ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ^ )^{+ }



=

→

 +

−



=

− →

=

 + +



= + →

=

−

− +



− +

= +

−

− +

=

− +

−

− +

− +

+ +

=





=

− +

+

− +

+

−

−

=

− +

+

−

− +

−

=

− + +

+

+

= +

k b a x

k b a b x

x a

k b a b x

x a

b a b

a b

a b

x a

b a b

a

b a b

a b

a b

a b

a b

a le Calculons

b a b

a x

b a b

a x

x x

b a b

a b

a b

a

x x

b a b

a

x x

b a b

a

2 2 2 cos cos 2

) 2

2 2 cos cos 2

) 1

2

cos cos

cos cos cos

cos cos

cos cos

4

² cos cos

cos 2

² cos

0 cos

cos cos

cos cos

² cos

² cos cos

cos cos

cos cos

² cos 1 cos cos cos 2 2

2 1 2cos 1 2 2 1 2cos 1

² sin cos

cos cos 2

² cos

² cos

2

EXTRI031 – FPMS, Mons, questions-types 2000-2001.

EPL, UCL, Louvain – Juillet 07

Résoudre l’équation trigonométrique suivante :

( ) ( )

a x a

a x

a 1 2cos2

2 cos 2 tan 1

tan +

= −

− +

Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 2 cos 2

tan tan

1 2 cos 2

: 2 2 3

Transformons le premier membre :

sin sin

tan tan

cos cos

cos cos

cos cos

cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 c

a x a x a

a

CE a x k a x k a k

a x a x

a x a x

a x a x

a x a x a x a x a x a x a x a x

x a

x a

+ − = −

+

  

+   +  +   +    + 

  

+ −

+ − =

+ −

+ − + − + + −

= + − + + + + −

= −

+

→

( )

( )

os 2 cos 2 1 2 cos 2 cos 2 cos 2 1 2 cos 2

cos 2 cos 2 2 cos 2 cos 2 2 cos ²2

cos 2 2 cos ²2 cos 2 2 cos cos 2 4 cos 2 cos 2 2 cos 2 1

Si cos 2 0

4

L'équation 1 devient 0.cos 2 0. Donc est indéterminé.

Ce qui r

x a a

x a a

x a a x a

a a x a x

a x a

a a k

x x

− = −

+ +

− + −

= − + −

=

= → =  + 

=

evient à dire que l'équation de départ est alors une identité

indépendante de : tan tan 1

Il reste cos 2 1

2

x x x

x x k

 

 −   + =

   

   

= → =  + 



Modifié le 1 juillet 2006 (Meriem)

EXTRI032 – Liège, septembre 2000.

Vérifier l’identité

a a

a a

a 2tan 2 4tan 4 8cot 8 cot

tan + + + =

tan 2 tan 2 4 tan 4 8 cot 8 cot

Rappel : cot 2 cot tan

tan 2 tan 2 4 tan 4 8 cot 8

tan 2 tan 2 4 tan 4 4 cot 4 4 tan 4 tan 2 tan 2 4 cot 4

tan 2 tan 2 2 cot 2 2 tan 2 tan 2 cot 2

tan cot tan

cot

a a a a a

a a a a

a a a a a

a a a

a a a a

a a

a a a

a

+ + + =

 

 =  − 

 

+ + +

= + + + −

= + +

= + + −

= +

= + −

=

EXTRI033 – FACSA, ULG, Liège - Juillet 1999.

Polytech, UMONS, Mons – Juillet 2005.

FACSA, ULG, Liège – septembre 2010

a) Si , et sont en progression arithmétique, vérifier que :

b) Pour quelles valeurs de la raison la proposition est-elle en défaut ? c) Etudier la réciproque.

Suggestion

sin sin sin cos cos cos tan a b c

a b c

a b c b

+ + =

+ +

: si est la raison arithmétique, exprimer et c en fonction de et .

ENONCE POLYTECH

Si , et sont en progression arithmétique, vérifier que : sin sin sin

cos cos cos 3

p a b p

a b c

a b c

a b c

+ + =

+ +

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

) Soit la raison :

sin sin sin

sin sin sin

cos cos cos cos cos cos

2 sin cos sin

2 2

2 cos cos sin

2 2

sin 2 cos 1 2 sin cos sin

2 cos cos cos cos 2 cos 1 tan P

a p

b p b b p

a b c

a b c b p b b p

b p b p b p b p

b b p b p b p b p

b

b p

b p b

b p b b p b

− + + +

+ + =

+ + − + + +

− + + − − − +

= − + + − − −

+ + +

= = =

+ +

( ) ( )

( )

olytech : 180 180 60 tan 3

) si 2 cos 1 0 120 2

sin sin sin sin

) si on a : tan

cos sin sin sin

sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin

sin cos cos cos sin si

a b c b p b b p b b

b p p k

b a b c

c b

b a b c

b a b b b c b a b b b c

b a c b a

+ + =  → − + + + =  → =  → =

+ = → =  + 

+ +

= =

+ +

+ + = + +

+ = ( + ⁿ )

sin sin

tan cos cos

1sin cos

2 2 2

tan tan

1cos cos 2

2 2 2

Cette relation est vérifiée si c'est-à-dire si , , et sont 2

en progression arithmétique.

c

a c

b a c

a c a c

a c

b a c a c

a c

b a b c

= +

+

+ −

= = +

+ −

= +

Modifié le 26 décembre 2009

EXTRI034 – FACSA, ULG, Liège - Septembre 1999.

si vérifier que

sin sin sin 4 sin cos sin

2 2 2

a b c

a b c

a b c

+ + = 

− + =

( )

( ) ( )

si

sin sin sin

sin sin sin cos cos sin sin 1 cos sin 1 cos 2 sin cos ² sin 1 1 2 sin ²

2 2

2 sin cos ² 2 sin sin ²

2 2

2 2 sin cos cos ² 2 sin cos sin ²

2 2 2 2 2 2

4 sin cos cos

2 2

a b c c a b

a b a b

a b a b a b

a b b a

b a

a b

b a

a b

a a b b b a

a b

+ + =  →  − = +

− + +

= − + +

= + − −

 

= −  − + 

= −

 

=  − 

= cos sin sin

2 2 2 2

4 sin cos cos

2 2 2

4 sin cos cos

2 2 2

4 sin cos sin

2 2 2

a b b a

a b a b

a b c

a b c

 − 

 

 

= +

 − 

=  

=

EXTRI035 – FACSA, ULiège, Liège, juillet 1998.

EPL, UCL, Louvain, juillet 2005.

Montrer que si les angles d’un triangle vérifient la relation sin 4 sin 4 sin 4 0

le triangle est rectangle

ABC A+ B+ C=

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

sin sin

D'une part, on a : sin 4 2 sin 2 cos 2

sin 2 sin 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2

sin 2

cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2

cos 2

sin 4 2 sin 2 cos 2

D'autre pa

A B C A B C

A A A

A B C B C B C

B C

A B C B C B C

B C

A B C B C

=  − + → = +

=

=  − + =  + − + 

= − +

=  − + =  − + −  +

= +

 = − + +

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

rt :

sin 4 sin 4 2 sin 2 cos 2 Simpson

Utilisons ces relations en remplaçant dans l'expression de départ : sin 4 sin 4 sin 4 0

2 sin 2 cos 2 2 sin 2 cos 2 0

sin 2 cos 2 cos 2 0

Cette équat

B C B C B C

A B C

B C B C B C B C

B C B C B C

+ = + −

+ + =

 − + + + + − =

 + − + + − =

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

ion est vérifiée si :

1) sin 2 0

2 0 Pas de triangle

2 Rectangle en

2) cos 2 cos 2 0

cos 2 cos 2

2 2 2 Rectangle en

2 2 2 Rectangle en

B C

B C B C k

B C B C A

B C B C

B C B C

B C B C k C C

B C B C k B B

+ =

+ = → + = 



  + =  → + = 

− + + − =

+ = −

 + = − +  → = 

 

  + = − − +  → = 

 



EXTRI036 – FACSA, ULiège, Liège, septembre 1998.

Montrer que si les angles d’un triangle vérifient la relation sin 3 sin 3 sin 3 0

l'un des angles est égal à 60°

ABC A+ B+ C=

( )

( )

( ) ( ) ( )

Comme la somme des angles d'un triangle vaut 180°, on a : 180 sin sin ou encore

3 3

sin 3 sin 3 2sin cos .

2 2

On introduit cette relation dans l'expression donnée et on utilise Simpson.

si

A B C

A B C

A B C B C B C

=  − +

 = +

= + = + +

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

n 3 sin 3 sin 3

3 3 3 3

2sin cos 2sin cos

2 2 2 2

3 3 3

2sin cos cos 0

2 2 2

Ce qui nous donne une première solution :

3 3 2

1) sin 0 180 180 180

2 2 3

180 120 60

Il r

Simpson

A B C

B C B C B C B C

B C B C B C

B C B C k A k

A k

+ +

= + + + + −

 

= +  + + − =

+ =  + =   − = 

 =  −  = 

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 3

este : cos cos 0

2 2

3 3 3

Ou encore : cos cos cos 180

2 2 2

On obtient les solutions suivantes :

3 3

2) 180 120 60

2 2

3 3

3) 180 120 60

2 2

Mais d'un p

B C B C

B C B C B C

B C B C B C B C B

B C B C B C B C C

+ + − =

 

+ = − − =   − − 

+ =  − −  + =  − +  =  + = −  + −  + = − + −  = − 

oint de vue géométrique, on considère la valeur absolue de l'angle, donc 60 .

On a donc bien obligatoirement un angle de 60°.

C = 

Modifié le 5 septembre 2018

EXTRI037 – FACSA, ULG, Liège, juillet 1997.

Si , vérifier les identités suivantes.

) cos 4 cos 4 cos 4 1 4cos 2 cos 2 cos 2

tan tan tan tan tan tan

) sin 2 sin 2 sin 2

a b c

a a b c a b c

b c c a a b

b a b c

+ + = 

+ + + =

+ = + = +

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2

2 2 2

) cos 4 cos 4 cos 4 1 4 cos 2 cos 2 cos 2

cos 4 cos 4 cos 4 1 2 cos 2 2 cos 2 2 cos 2 2 or

cos 2 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin 2

cos 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2

a a b c a b c

a b c a b c

a b c b c b c

b c b c b c

a b c b c b c

+ + + =

+ + + = + + −

 

=  − + =  + −  +

= + = −

= −

( )( )

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2

sin 2 sin 2

cos 2 cos 2 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 1 cos 2 1 cos 2 2 cos 2 cos 2 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 1 donc

2 cos 2 2 cos 2 2 cos 2 2

4 cos 2 cos 2 4 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 4 cos 2 cos 2 sin 2

b c

b c b c b c b c

b c b c b c b c

a b c

b c b c b c

b c b

+

= − + − −

= − − − +

+ + −

= −

= ( − )

( )

( ) ( )

( )

sin 2 cos 2 cos 2 4 cos 2 cos 2 cos 2

4 cos 2 cos 2 cos 2

tan tan tan tan tan tan

) sin 2 sin 2 sin 2

tan tan tan tan

sin 2 sin 2

sin sin

cos cos sin 2 cos cos sin 2 sin sin

2 cos cos sin cos 2 co

c b c

b c b c

a b c

b c c a a b

b a b c

b c c a

a b

b c c a

b c a a c b

c b c

a

b c a a

= +

=

+ + +

= =

+ = +

+ +

=

+  − −

=

( )

s cos sin cos sin sin

sin sin 1

a c b b

a b

a b

=  − =

EXTRI038 – FACSA, ULG, Liège, septembre 1996 FACS, ULB, Bruxelles, septembre 2004.

Si a

( ) ⁰

sin a+b+c+d =

vérifier que :

(^a+c) (^{sin a+d})^=sin (^b+c) (^{sin b+d})

sin

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

sin sin sin sin

1 1

cos cos

2 2

1 1

cos cos

2 2

cos cos 2 cos cos 2

cos 2 cos 2 0

1 1

2 sin 2 2 2 2 sin 2 2 0

2 2

sin ( ) sin 0

Ce qui est v

a c a d b c b d

a c a d a c a d

b c b d b c b d

c d a c d c d b c d

a c d b c d

a b c d a c d b c d

a b c d a b

+ + = + +

+ − − − + + +

= + − − − + + +

− − + + = − − + +

+ + − + + =

− + + + + + − − − =

+ + + − =

érifié en vertu de l'hypothèse.

EXTRI039 – Liège, juillet 1997.

:

Soit

1 cos cos

cos 2

² cos

² cos

²

cos + + − −

= a b c a b c

E

Montrer que si :

b a c = +

alors E = 0.

La réciproque est-elle vraie ?

( )

( )

cos ² cos ² cos ² 2 cos cos cos 1

cos cos cos sin sin

cos ² cos ² cos ² 2 sin sin cos cos sin ² sin ²

Donc, puisque :

cos ² cos ² cos ² cos ² 2 sin sin cos cos sin ² sin ² 2 cos ² cos ² 2 sin sin

E a b c a b c

a b a b a b

a b a b a b a b a b

c a b

E a b a b a b a b a b

a b a

= + + − −

+ = −

+ = − +

= +

= + + − +

− +

( ) ( )

cos cos 1 cos ² cos ² cos ² cos ² sin ² sin ² 1

cos ² cos ² cos ² cos ² 1 cos ² 1 cos ² 1 0

Réciproque

Soit: cos²a+c os ² cos ² 2 cos cos cos 1 0 C'est une équation du second degré en cos .

cos cos cos cos ²

b a b

a b a b a b

a b a b a b

b c a b c

c

c a b

−

= + − + −

= + − + − − −

=

+ − − =

= 

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

cos ² 1 cos ² cos ² cos cos cos ² 1 cos ² 1

cos cos sin sin

1) cos cos cos sin sin cos

2) cos cos cos sin sin cos

Conclusion :

La réciproque n'est donc pas nécessairement

a b a b

a b a b

a b a b

c a b a b a b

c a b

c a b a b a b

c a b

c a b

+ − −

=  − −

= 

= + = −

→ =  −

= − = +

→ =  +

=  

vraie.