Exercices résolus de mathématiques.
TRI 17
EXTRI170-EXTRI179
http://www.matheux.be.tf
Jacques Collot
Dec 05
EXTRI170 – Liège, septembre 2005.
Résoudre l’équation suivante :
3 2
tan x − 3tan x − 3tan x + = 1 0 Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2 3 2 2
3 2 2
2
Posons : tan . L'équation devient
3 3 1 0 3 3 1 6 6 0
1 6 1 0 1 2 1 6 0 1 4 1 0
1 tan 1
4
2 3 tan 2 3 1.31
4 1 0
2 3 tan 2 3 0.26
x y
y y y y y y y y
y y y y y y y y y y
y x x k
y x x k
y y
y x x k
=
− − + = → + + + − − =
→ + − + = → + + + − = → + − + =
= − → = − → = − +
→ − + = → = + → = + → = +
= − → = − → = +
Le lecteur représentera les solutions sur le cercle trigonométrique
EXTRI171 – Liège, septembre 2005.
Soit un système bielle – manivelle schématisé à la figure 1. On demande de a) Calculer l’angle en fonction de l’angle , les paramètres r, l et e étant
connus.
b) En déduire les conditions d’existence de l’angle en fonction des valeurs des paramètres r, l et e
c) Calculer la valeur numérique de l’angle pour = 30°, r = 1 cm, l = 5 cm et e = 0.1 cm
d) En déduire la valeur correspondante de la position x du point C.
x
e
r
l B
A
C
Figure 1
x
e
r
B l
A
C
E
F D
Figure 2
Voir figure 2
a) sin sin sin sin
b) Il faut sin 1 et sin est maximal pour On en déduit la condition : 1
1 sin 30 0.1
c) sin 0.08 4.58
5
d) cos cos cos 1
r e
BF BE EF r l e
l
r e
r l e l
x AF FD r l r l r
= + → = + → = −
→ =
− → +
−
= = → =
= + = + = + −
( )
( )
2
2 2
2 2
sin
cos sin
Ce qui donne ici : 1 cos 30 5 1 sin 30 0.1 5.85 e l
r l r e
x cm
−
= + − −
= + − − =
27 Nov 05
EXTRI172 – Bruxelles, juillet 2005.
Calculer sin 2x sachant que
sin cos x − x = 0,2
( )
( )
2 2 2
2
Elevons l'équation au carré :
sin cos sin 2 sin cos cos 0.2 1 sin 2 0.2 sin 2 0.96
Vérification
Résolvons l'équation de départ :sin cos 0.2
tan 1 45 cos 2
2 sin 45 0.2 2
2 45 8.13 2 180
x x x x x
x x
x x
x
x k
− = − + =
→ − = → =
− =
→ = − → = − → =
→ − =
− = + →
→
( ) ( )
53.13 2 180
45 180 8.13 2 180 216.87 2 180 On vérifie : sin 2 53.13 sin 2 216.87 0.96
x k
x k x k
= +
− = − + → = +
= =
15 décembre 05
EXTRI173 – Bruxelles, juillet 2005.
Calculer, en justifiant chaque étape
1 1 1
arctan arctan arctan
2 + 5 + 8
Prenons la tangente de l'expression :
1 1 1
tan arctan arctan
1 1 1 2 5 8
tan arctan arctan arctan
1 1 1
2 5 8
1 tan arctan arctan
8 2 5
1 1 7
2 5 1 8 10 1
1 1 8 9 8 7
1 1
2 5 10 9
1 1 7 7
1 2 5 10 8 9
1 8
1 1 9
8 1
2 5 10
+ +
+ + =
− +
+ + +
− +
= = = =
+ −
− −
−
8 7 9 65 8 9 7 65 1
Et par conséquent, l'expression vaut 4
+ = =
−
15 décembre 05
EXTRI174 – Bruxelles, septembre 2005.
Résoudre l'équation :
1 sin 2
tan 2 1 sin
x x
x
− =
+
et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.
( ) ( )
2 2
2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1) 1 sin 0 2
4 sin 2
2) tan 2 cos 2 0
cos 2 4
1 sin 1 sin sin 2
tan 2
1 sin 1 sin cos 2
1 sin cos 2 1 sin sin 2
cos 2 sin cos 2 sin 2 sin sin 2 cos 2 sin 2 sin cos 2 sin sin 2 CE
x x k
x x x x k
x
x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
+ → − +
= → → +
− = → − =
+ +
→ − = +
→ − = +
→ − = +
(
2 2)
cos 4 sin cos 2 sin 2 cos 4 sin
cos 4 cos 2
4 2 2
2 6 3
4 2 2
2 10 5
x x x x
x x
x x
x x k x k
x x k x k
→ = +
→ =
→ = −
= − + → = − +
→ = − − + → = +
15 décembre 05
EXTRI175 – Bruxelles, septembre 2005.
Soient
• le triangle de sommets A,B et C
• M le milieu du segment BC
• les angles = AMB ; = BAM et = CAM
Calculer cotg cotg et cotg en fonction de cotg A; cotg B et cotg C.
A
B a C
c
b
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
Commençons par établir une formule générale qui nous servira par après.
Soit un triangle quelconque
cos 1
2 cos 1
2
cos 1
2 cos 2
2
sin sin 3
Divison
ABC a b c bc A A
b c a bc c a b ab C C
a b c ab
C c A
a
= + − → =
+ −
= + − → =
+ −
=
( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
cot 1
s 2 par 3
2 sin
cot cot
Remplaçons avec 1
Et par symétrie, on peut écrire :
cot cot cot
4 C
a b c bc A
C A
a b c b c a
A B C
b c a a c b a b c
→ =
+ −
→ =
+ − + −
= =
+ − + − + −
A
B a C
c
b
a M
m
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
Appliquons la formule 4 à notre cas particulier :
cot cot
5
Grâce au théorème de la médiane (voir EXGSP044), on a : 2
cot cot
5 devient
2 2
cot AMB B
a m c a b m
c b m a
B
c b c b
c a b a
b
→ =
+ − + −
+ = +
=
+ − + − + +
→
− ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2
cot cot cot cot
4
cot 6
cot cot 4
cot cot
Considérons maintenant
4 4
4 cot cot 4 cot cot
cot cot
cot cot 4 7
De 6 et 7 cot
B c b a b c B
c a c b
b c
B a
B C
ABC a c b a b c
a B b c B a C c b C
C B b c
B C a
= → + + = −
+ −
−
→ =
+
→ =
+ − + −
→ + − = + −
− −
→ =
+
→
( )
cot cot cot cot cot cot cot cot
cot cot cot
cot cot
cot cot cot cot
1 cot cot
cot cot cot cot
cot cot
cot 2
C B
B B C
C B
B C B
C B C B
B C B C B
c B
= −
+ +
→ = − +
+
− −
→ − + = +
→ = −
( ) ( )
( )
( )
( )
2
cot s'obtient facilement si on remarque que : 1 cot cot
cot cot cot
cot cot cot cot
1 cot
2 cot cot cot
cot 2 8
cot cot cot cot
cot 2
1 cot cot Comme cot cot
cot cot 8
B
B B B
B
C B
B B C B
C B B C
B
B C
A B C
B C
= − −
−
→ = − − = − + =
+
− − − +
→ = =
− +
+
= − + = −
+
2
2
1 cot cot 1 cot peut s'écrire cot
cot cot cot cot
1 cot cot cot
cot cot
B C B
B C B C
A B
B C
− +
= +
+ +
→ = + +
+
( )
2
2
2
cot cot 1
De même cot cot
cot cot cot cot
cot 1
cot cot cot 2
cot 2
cot cot cot cot cot
2
cot cot 1 cot 1
cot cot cot cot
cot 1
cot cot
cot cot
C C C
C
C B
C C B C
C B B C
C
B C C
B C B C
A C
B C
+
= − → = − =
−
− + − +
→ = = −
− − +
− +
= −
+ +
→ = − +
+
15 décembre 05
EXTRI176 – EPL, UCL, LLN, juillet 2005.
FACSA, ULG, Liège, septembre 2012
Enoncé de EPL
2 2
2 2
Dans un triangle de surface , est la médian e de longueur et est l’angle . Démontrer les relations suivantes :
4 4 cos
4 tan
8
ABC S AM m AMB
m a bc A m a
S A
− =
= −
Enoncé de FACSA
Soit le triangle . on désigne par , et la mesure des angles respectivement aux sommets , et et par , et , la mesure des longueurs des côtés opposés. On appelle
la mesure de la médiane ABC
A B C a b c
m A
2 2
, la mesure de l'angle et la mesure de la surface du triangle .
a) Dessiner une esquisse de la situation.
b) Démontrer les relations
4 4 cos et sin
2 c) Si on donne les valeurs numériques
M AMB S
ABC
m a bc S am
− = =
suivantes :
3.45 m 48 et 73
que valent , , et ?
Donner les résultats numériques avec 4 chiffres après la virgule.
c
a b m S
= = =
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
D'une part on a dans le triangle : 2 cos 2 cos
D'autre part le théorème de la médiane permet d'écrire : 2 1 2
On en déduit : 2 1 2 cos 4 4 cos
2 On a
ABC a b c bc A b c a bc A
b c m a
m a a bc A m a bc A
• = + − → + = +
+ = +
+ = + → − =
• 1 4 cos sin 4
2 2: cos tan
2 8 cos 8
Les triangles et ont la même surface puisqu'ils ont une base égale et qu'ils ont la même hauteur : 2 2 1 . .sin sin
2 2
180 48
AMB
bc A A m a
S bc A S A
A
AMB AMC BM MC
S S BM m S am
= = → = −
• =
= = =
• = − −
2 2
2 2 2 2 2 2
1 1
sin sin 48
73 59 ; 3.45 2.9911 m;
sin sin 59 sin sin 73
3.45 3.8490 m;
sin sin 59
2.9911
cos 3.8490 3.45 cos 48 3.3350 m
4 4
4 3.335 2.9911 / 4 3.45
cos cos 8
3.335 2.9911
a c
b c
m bc a
m a c
ma
− −
= = = =
= = =
= + = + =
+ − + −
= = =
2
1.6048 2.9911 3.335
sin sin 81.6048 4.9342m
2 2
S am
= = =
Variante proposée par Pierre Bernimont
15 avril 06. Modifié le 4 avril 2008. Modifié le 14 octobre 2013
EXTRI177 – EPL, UCL, LLN, juillet 2005.
Pour les affirmations suivantes, cochez vrai si l’affirmation est toujours vraie, ou faux si l’affirmation est toujours fausse, ou complétez par une condition qui rende l’affirmation vraie : 1) Le plus
on a
on a ,
petit angle d’un triangle est inférieur ou égal à 60°
Toujours vrai : O Toujours faux : O Vrai si :
2) Pour
Toujours vrai : O Toujours faux : O Vrai si :
3) Pour
, tan2 tan
2
, tan
x x x
k x
x
2
Toujours vrai : O Toujours faux : O Vrai si :
4) Dans un triangle rectangle en , l’air e S du triangle est égal à Toujours vrai : O Toujours faux : O
Vrai si :
sin 0
tan sin
1 sin cos A 2
x
x x
S a B B
−
+
=
1) Vrai.
En effet, soit le plus petit angle :
or 180 3 180 60
2) Faux. Pour , tan 2 est négatif et tan est positif sin sin
tan sin cos 1 cos
3) tan sin sin 1 co
cos sin
A B
A A C
A B C A A
x x x
x x
x x x x
x x x
x x
+ + = → →
− − −
= =
+ + +
2
s
Or 1 cos 1, la fraction est donc toujours positive, sauf en (alors 1 cos 0) La proposition est donc vraie si
1 1
4) or cos et cos sin cos
2 2
x
x x k x
x k
S bc b a B c a C S a B B
− = + =
=
= = = → =
15 avril 06
EXTRI178 – EPB, UCL, LLN, juillet 2005.
( )
Je vole dans un ballon et je mesure les distances , et à trois points , et au sol. Le triangle est équilatéral de côté 1 km.
Les distances sont 2 km et 2,1
O a OA b OB c OC
A B C ABC d
a b c
= = =
=
= = = km.
1. Si ’ est ma projection orthogonale au sol,calculez les distances ’, ’ et ’ de ’ aux trois points de référence , et .
2. Faites un croquis de la situation pour expliquer vos calculs.
On s
O a b c O
A B C
uppose la Terre plate pour simplifier le problème.
( ) ( )
( )
2 22 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
Le dessin explicite le problème. Plaçons judicieusement les axes Soient : , , 0 ; 1 , 0, 0 ; 0, 0,
2
1 3
1 2
4 4
1 15
4 4 4
2.1 2.1
A C O
AC OA OC
−
= + + = + + = + +
= + + = + =
= + = + =
( ) ( )
2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 3 4 15
4 2.1 On élimine et , la première équation donne :
15 15 3 15
2.1 2 . 2.1 2.1 3.705
4 4 4 4
0.0518 0.75 2.810475 0 1.9358
0.8141 '
km km
km a
=
= −
= −
− + − + − − = − − = −
=
− + = → = → =
=
2' ' 0.0518 1 0.5027
4
' ' 0.8141
b O A km
c O C km
= = + =
= = =
15 avril 06. Modifié le 6 juillet 2020.
EXTRI179 – FACSA, ULG, Liège, juillet 2006.
Polytech, Umons, Mons, juillet 2012.
2 2 2 2
Dans un triangle , on a la relation
Montrer que ce triangle est rectangle.
sin sin cos cos 1 sin 2 sin 2 2
ABC
B C + B C = B C
( )
( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
sin sin cos cos 1 sin 2 sin 2 2
sin sin cos cos 2 sin cos sin cos 0
sin sin cos cos 0
cos 0 cos 0
Le triangle est donc rectangle en
B C B C B C
B C B C B B C C
B C B C
B C B C
B C A
A
+ =
+ − =
− =
− + = → + =
+ = → =
Solution proposée par Fabienne Zoetard.
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
