Exercices résolus de mathématiques.
TRI 14
EXTRI140-EXTRI144
http://www.matheux.be.tf
Jacques Collot
Nov 04
EXTRI140– EPL, UCL, LLN, juillet 2003.
Pour les affirmations suivantes, cochez vrai si l’affirmation est toujours vraie, ou faux si l’affirmation est toujours fausse, ou, à défaut, donnez les conditions nécessaires et suffisantes qui rendent l’affirmation vraie :
1) Si deux triangles ont les mêmes angles, alors leurs surfaces sont égales.
Toujours vrai : O Toujours faux : O Vrai si :
2) La somme des angles , , et d’un quaA B C D drilatère quelconque est égal à 2 Toujours vrai : O Toujours faux : O
Vrai si :
3) ·Dans un triangle avec des angles , et , cos( ) cos 0 Toujours vrai : O Toujours faux : O
Vrai si :
4) Pour 0 , 1 / tan
A B C B C A
A
+ + =
cos
Toujours vrai : O Toujours faux : O Vrai si :
A A
( ) ( )
( )
) Vrai si en plus les deux triangles ont un côté égal.
) Toujours vrai.
) cos cos cos Toujours vrai.
1 cos
) cos 0 cos 0
tan sin
Comme 0 , sin 0 cos 1 sin 0
0 2
cos 0
1 sin 0
cos 1 si a
b
c B C A A
d A A A
A A
A A A A
A A A
+ = − = −
− −
−
+ + − −
− + + + +
( − n ) 0
Conclusion : Vrai si 2 A
A
+ + − −
Résolu le 17/05/04
EXTRI141– EPL, UCL, LLN, juillet 2003.
Je veux faire un parterre de fleurs dans le coin de mon jardin et j’ai acheté autant de pétunias rouges que de blancs. Je veux faire un arrangement dans la forme d’un triangle rectangulaire ABC avec un cercle inscrit comme indiqué dans le schéma suivant :
C
A B
b
c a
Les fleurs rouges iront dans le cercle, les fleurs blanches rempliront le reste du triangle.
-1- Quelles sont les valeurs possibles de l’angle B pour que je puisse planter autant de fleurs rouges que de blanches ?
-2- Ensuite, donner le rayon r du cercle et les côtés a, b et c du triangle si j’ai acheté pour 2 m2 de fleurs et si je veux les utiliser toutes ?
a
O
B
A D c
b C
r
) Pour cette première partie, on peut poser 1.
Il nous faut donc déterminer pour que la surface du cercle soit la moitié de la surface du triangle.
1 1
On a : sin cos sin car cos cos
2 2
Le tr
T
a a
B
S a c B B B c a B B
=
= = = =
2
2
iangle est rectangle : tan 2
cos tan puisque le centre se trouvent sur la bissectrice de l'angle . 2
tan 1
2 cos tan
La surface du cercle est : 2
tan 1
2 On doit avoir :
C
r B
ODB r c
B B
O B r
B B B
S r
B
− =
→ =
+
= =
+
( )
( )
2
2 2
2 2
2
2
2
cos tan
1 2 1cos sin
2 tan 1 4
2
2 tan
2 tan tan tan 1 2 tan 2 tan 1
2 2 2 1 tan 2
2
2 tan 1 2 tan 1 0
2 2
1 2 1 12 4
Cette équation a pour solutions : tan
2 4
D'où
C T
B B
S S B B
B
B
B B B B
B B
B B
B
= → =
+
→ = + → = − +
→ + − + =
− − − +
=
57.89292 et 32.10708 On vérfie que 57.89292 32.10708 90
B= B=
+ =
2 2
2
) On a donc 1 m de fleurs rouges et 1 m de fleurs blanches.
La surface du cercle est de 1 m : 1 0.56419
1 tan
2 1.5843 tan2
tan 2.5248 2.9807 cos
b
r m
B
c r m
B
b c B m
a c m
B
= =
→ = + =
→ = =
→ = =
Résolu le 17/05/04
EXTRI142– Louvain, septembre 2003.
Si dans un triangle, an connaît a, b et A, il existe deux solutions le triangle AB’C et le triangle AB’’C.
A B’’ H B’
C
b
a a
-1- Calculer, en fonction de a b et A, la différence AB’ –AB’’.
-2- Calculer, en fonction de a, b, et A, l’aire du triangle B’CB’’.
-3- Si C’ et C’’ sont les 2 valeurs de C, montrer que :
(tan ) tan ' '' 1
2 C C A + =
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
' ''
) '' '' sin
Le triangle '' ' est isocèle '' '
'' '' cos sin 1
' ' cos sin 2
' '' 2 sin
. '' ' .2 ''
) sin . sin
2 2
B CB
a a B H HC B H a HC a b A
CB B HB HB
AB AH B H b A a b A
AB AH B H b A a b A
AB AB a b A
CH B B CH B H
b S b A a b A
= + → = − = −
→ =
= − = − −
= + = + −
− = −
= = = −
( )
( )
( ) ( )( )
2 2 2 2 2 2
2 2
) ' sin ' '' sin '' ' '' sin ' sin ''
sin sin sin
' '' ' ''
2 cos sin 3
sin 2 2
D'autre part,
' 2 cos ' '' 2 cos ''
' '' 2 cos ' cos '' ' '' ' '' 2 cos ' cos
a a a
c AB C AB C AB AB C C
A A A
a C C C C
A
AB a b ab C AB a b ab C
AB AB ab C C AB AB AB AB ab C
= = → − = −
+ −
=
= + − = + −
→ − = − − → + − = − ( − )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
'' En utilisant 1 et 2 2 cos ' '' 2 cos ' cos ''
' '' ' ''
' '' cos ' cos '' 2sin sin 4
cos cos 2 2
' '' En divisant 3 par 4 tan .tan 1
2
C
b A AB AB ab C C
a a C C C C
AB AB C C
A A
C C A
→ − = − −
+ −
→ − = − − =
→ − =
Résolu le 17/05/04
EXTRI143– EPL, UCL, LLN, septembre 2003.
Pour les affirmations suivantes, cochez vrai si l’affirmation est toujours vraie, ou faux si l’affirmation est toujours fausse, ou complétez par une condition qui rende l’affirmation vraie :
1) On peut toujours couper un triangle quelconque en deux triangles rectangles.
Toujours vrai : O Toujours faux : O Vrai si :
1 cos 2) tan
2 sin
Toujours vrai : O Toujours faux : O Vrai si :
3) Pour 2 , si
A A
A
A
= −
n 2 cos
Toujours vrai : O Toujours faux : O Vrai si :
4) Dans un triangle rectangle en , on a sin cos sin cos Toujours vrai : O Toujours faux : O
Vrai si :
A A
ABC A B B C C
=
( )
( )
2
2 2 2
2
) Toujours vrai.
1 tan 1 2
1 tan 1 tan 1 tan
1 cos 2 2 2
) tan tan
2 sin 2 tan 2 tan 2
2 2
1 tan 2 Donc : toujours vrai.
) sin 2 cos 2sin cos cos 0 cos 2sin 1 0
3 2
2
cos 0
2sin 1
cos 2sin 1
a
A
A A A
A A A
b A A A
A
c A A A A A A A
A A
A A
− −
+ + − +
= − = = =
+
− −
− − + +
− − − − − −
− + 0
Donc : vrai si 3
2
) sin cos sin cos sin cos
2 2
Donc : toujours vrai.
A
d C C B B B B
+ − −
= − − =
Résolu le 17/05/04
EXTRI144– Louvain, septembre 2003.
Trois avions ( A, B et C ) volent en formation triangulaire à une altitude de h mètres. Leur distance mutuelle est de 100 mètres. Un observateur ( O ) sur terre mesure par GPS sa distance aux avions respectifs : OA = 1050 mètres et OB = OC = 1000 mètres. On suppose la terre plate pour simplifier le problème.
-1- Donner un dessin pour schématiser le problème.
-2- Calculer l’altitude h à laquelle les avions volent.
-3- Sous quels angles avec la verticale l’observateur voit-il les avions ?
A ( x , 0 , h )
B ( x - 1003/2 , 50 , h ) C ( x - 1003/2 , - 50 , h )
x
y
z
h
O
( )
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
2 2
Définissons un système de coordonnées. , et représentent les avions.
100 3 100 3
On a : : , 0, : , 50, : , 50,
2 2
1050
100 3
1000 50
2 100 3
50 1050 2
A B C
A x h B x h C x h
OA x h
OB OC x h
x
− − −
= = +
= = = − + +
→ − + +
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2
1000
649.519 1050 649.519 825
L'angle d'un vecteur avec l'axe des est donné par : cos
cos 825 38.213
649.519 825
cos cos 825 34.412
562.917 50 825
z
x
x m h m
v z v
v
A A
B C B C
− =
→ = → = − =
=
= → =
+
→
= = → = =
+ +
Résolu 17/05/04
EXTRI145– Liège, Juillet 2004.
Vérifier l’identité :
Issu le 27/09/04
EXTRI146– Liège, Juillet 2004 Résoudre l’inéquation suivante
cotx−tanx+2 tan 2x−4 tan 4x8 3
Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
cot 0 180 1
tan 90 180 2
CE : tan 2 2 90 180 45 90 3
tan 4 4 90 180 22.5 45 4
Les conditions 1 , 2 et 3 se ramènent à : 45 Pour résoudre l'inéquation, remarquons d'abord que : cot
x x k
x x k
x x k x k
x x k x k
x k
→ +
→ +
→ + → +
→ + → +
2 2
cos sin cos sin cos 2
tan 2 2cot 2
sin cos sin cos sin 2
De même : cot 2 tan 2 2cot 4 et cot 4 tan 4 2cot 8 Par conséquent,on a :
cot tan 2 tan 2 4 tan 4 2cot 2 2 tan 2 4 tan 4 4cot 4 4 tan 4 8cot 8 8co
x x x x x
x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x x
− = − = − = =
− = − =
− − − = − − = − =
→
t 8 8 3 cot 8 3 0 ,30 180 , 210 360
0 ,3.75 22.5 , 26.25 45
Et compte tenu des CE, on a finalement 0 ,3.75 22.5 , 26.25 45 Le lecteur représentera les solutions sur le cercle trigonométriq
x x x k
x k
x k
→ → +
→ +
+
ue.
Issu le 27/09/04
EXTRI147– Liège, Juillet 2004
Soit le triangle ABC donné. L’angle en A est droit. AB = 3 cm et AC = 4 cm.
1. Calculer l’aire et le périmètre du triangle A’B’C’ dont les côtés sont situés à 1 cm de ceux du triangle ABC (Voir figure 1)
2. Quel sera le résultat (aire et périmètre) pour la figure où les coins sont remplacés par des arcs de cercles tangents aux côtés.
C C’
B
B’
A’
A
1 cm 1 cm
1 cm
1 cm
1 cm 1 cm
Fig 1
C C’
B
B’
A’
A
1 cm 1 cm
1 cm
4 / 35 / 341
Fig 2
C
A B
1 cm 1 cm
1 cm
Fig 3
/ 2 / 2
C C’
B
B’
A’
A
1 cm 1 cm
1 cm
1 cm
1 cm 1 cm
Fig 4
Question 1
Méthode 1 (Voir figure 1)
Les triangles colorés sont semblables.
3 4 3
De plus tan cos et sin .
4 5 5
5 4
Par conséquent : ' ' 1 4 8 2
3 3
Périmètre 12 cm Périmétre ' ' 2 12 24 cm Conclusions :
Aire
A C AC
ABC A B C
ABC
= → = =
= + + + = =
= → = =
( )
2 2
6 cm Aire ' ' ' 4 6 24 cm
Méthode 2 Figure 2
L'aire d'un triangle peut aussi se calculer par :
2
où = le périmètre du triangle et le rayon du cercle inscrit.
Le rayon du cercle inscrit au tr
A B C
S pr
p r
= → = =
=
=
→
' ' '
2 2 6
iangle : 1 cm
12
Le rayon du cercle inscrit au triangle ' ' ' : 1 2 cm Le rapport de similitude entre les deux triangles est égal à 2.
Le reste est semblable à la méthode 1.
Mét
ABC
A B C ABC
ABC r S
p A B C r r
= = =
→ = + =
→
( )
hode 3 Figure 3
Le centre du cercle inscrit se trouve à l'intersection des bissectrices.
3 1 cos 1
Or cos tan
5 2 1 cos 2
Par simple construction, on trouve facilement que 1 Le reste est semblable à l
rABC
−
= → = =
+
= a méthode 1
Question 2
( )
( ) ( )
2 2
le triangle
La figure se décompose en : trois secteurs qui réunit forment un cercle une bande de 1 cm de large et de 12 cm de long
Aire : 6 12 1 18 cm
Donc :
Périmètre : 12 2 1 12 2 cm
ABC
+ + = +
+ = +
Issu le 27/09/04
EXTRI148– Liège, Septembre 2004
Résoudre l’équation suivante :
3 3 2
sin cos sin cos x x− x x= 8
Représentez les solutions sur le cercle trigonométrique.
( )
3 3 2 2 2 2
sin cos sin cos sin cos sin cos
8 8
1 2 2
sin 2 cos 2 sin 4
2 8 2
4 2
4 16 2
5 5
4 2
4 16 2
Le lecteur représentera les solutions sur le cercle trigonométrique.
x x x x x x x x
x x x
x k x k
x k x k
− = → − =
→ − = → = −
= − + → = − +
→ = + → = +
Issu le 27/09/04
EXTRI149– Liège, Septembre 2004
Soit un triangle rectangle ABC dont l’angle A est droit. AB = 15 cm et AC = 8 cm. Calculer les valeurs des angles aux sommets B et C ainsi que la longueur de l’hypoténuse. Calculer la hauteur du triangle formé par le côté AC et les bissectrices des angles intérieures des angles en A et C.
Sachant que cette hauteur est aussi le rayon du cercle inscrit au triangle, calculer l’aire et le périmètre du triangle A’B’C’ dont les côtés sont situés à 1 cm du triangle ABC.
A’ B’
A B C C’
D
15 8
A1
C1
2 2
1 1
Angles et hypoténuse de
tan 8 28.0725 61.9275 17
15
Soit l'intersection des bissectrices en et . 61.9275
45 ; 30.9638 104.0362
2
Soit la hauteur cherchée : sin ABC
B B C BC AB AC cm
D A C
ADC A C D
h h DC C
= → = → = → = + =
→ = = = → →
= 1 5.8309sin 30.9638 3
Donc le rayon du cercle inscrit au triangle 3 et le rayon du cercle inscrit au triangle ' ' ' sera de 3 1 4
Or le rapport des aires des triangles est égale au rapport des
cm ABC cm
A B C cm
= =
= + =
( )
2 2
2
2 ' ' ' 2
' ' ' ' ' '
' ' '
' ' ' ' ' '
surfaces des
8 15 4
cercles inscrits. 2 106.67
3
8 15 17 4
Et pour les périmètres : 53.33
3
ABC ABC
A B C A B C
A B C
ABC ABC
A B C A B C A B C
r S
S cm
r S
r p
p cm
r p
→ = → = =
+ +
= → = =
Issu le 18 novembre 04
