TRI 19

Exercices résolus de mathématiques.

TRI 19

EXTRI190-EXTRI199

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Jacques Collot

Juillet 08

Résoudre l’équation trigonométrique suivante :

2 2 2 5

cos sin tan

x x x6

et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.

   

:

L'équation peut s'écrire :

1 cos 2 5 5

cos 2 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2

1 cos 2 6 6

cos 2

CE x k

x x x x x x

x x

  



        



cos 22 x 1 cos 2x

  

2 2

5 5 cos 2 6 6

5 1

cos 2 cos 2 0 6 cos 2 5 cos 2 1 0

6 6

5 25 4 6 1 5 1

cos 2

12 12

cos 2 1 2 60 360 30 180

2

cos 2 1 2 70, 52 360 35.26 180

3

x

x x x x

x

x x k x k

x x k x k

 

      

    

  

             

 

            



Le 19 septembre 2006

EXTRI191 – ^Mons – juillet 2004

Résoudre le triangle ABC connaissant son périmètre (p) ainsi que ses angles A et B. Donner la solution numérique pour p = 58 cm , A = 37° et B = 80°

 

Rappel sur les proportions :

1 1

Appliquons à la formule des sinus :

sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin

Or sin sin car ce sont des

a c a b a b a c b d a c c

c d c d c d c d b d d

a b c b c a b c p

A B C B C A B C A B C

C A B

  

          



  

    

    

 

 

 

   

 

angles supplémentaires sin sin sin sin

sin sin sin sin sin sin sin sin

Dans notre cas particulier : 58 23.409

sin 37 sin 80 sin 37 80 23.409 sin 37 14.09

23.409 sin 80

a p A

A B A B

b p B

A B A B

c p A B

A B A B

a cm

b

 

   



    

  

   



   

  

  

 

23.05 23.409 sin 37 80 20.86

cm

c cm

 



   



Le 19 septembre 2006

Résoudre l’équation trigonométrique suivante :

sin5xsin3xcos6xcos2x

2

sin 5 sin 3 cos 6 cos 2

Par Simpson 2 sin cos 4 2 cos 4 cos 2 1) cos 4 0

cos 4 0 4

2 8 4

2) sin cos 2

sin cos 2 0 sin 1 2 sin 0

1 1 4 2 ( 1) 1 3

sin 4 4

sin 1 2

2

1 6 2

sin 2 5

6 2

x x x x

x x x x

x

x x k x k

x x

x x x x

x

x x k

x k

x

x k

  

 



  

       



     

       

  

       

  

  

 



 



Le 19 septembre 2006. Modifié le 26 juin 2012.

EXTRI193 – ^Mons – juillet 2004

Si A,B et C désignent les angles internes d’un triangle et b et c, les côtés opposés aux angles du même nom, démontrer que la relation suivante est vérifiée :

2sin 2 2sin 2 2 sin b C c B bc A

 

On a : sin sin car angles supplémentaires Le membre de gauche de la relation peut s'écrire

sin sin

sin 2 sin 2 sin 2 sin 2

sin sin

sin sin

.2 sin cos .2 sin cos

sin sin

2 sin cos 2 sin cos 2 si

A B C

b c B C

C B C B

c b C B

B C

C C B B

C B

B C C B

 



  

 

 

 ⁿ^{B C} ^{2 sinA}

Le 19 septembre 2006

EXTRI194 – ^Mons – juillet 2004 Résoudre l’équation trigonométrique suivante :

sinx 3cosx 20

 

Posons tan 3 60

L'équation devient :

sin tan cos 2 cos sin sin cos cos 60 2 sin 2

2

x x x x

x

     

        

  

Résoudre le triangle ABC sachant que les angles B et C sont égaux, que le périmètre vaut 24 m et que la hauteur AH est de 4.9 m

H C

H

B

b

a b

a

 

2 2 2

2 2 2 2 2 2

Le triangle est isocèle et est est milieu de

On a : 2 2 24 12

Par Pythagore dans le triangle :

12 4.9 144 24 4.9 5

Donc 7

Et cos cos 5 44.4 91.2

7

ABC H BC

a b a b

AHC b AH a

a a a a a a m

b m

B C a B C A

b

    

 

          



         

Le 19 septembre 2006

EXTRI196 – ^Mons – septembre 2004 Résoudre l’équation trigonométrique suivante :

cosxsinxsin3xcos3x

Et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique

cos sin sin 3 cos 3 cos 3 cos sin 3 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 cos

1) cos 0

cos 0

2 2) cos 2 sin 2

cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 2

2 2 2

2 8 2

x x x x x x x x

x x x x

x

x x k

x x

x x x x

x x k x k

      

 



    



 

     

 

  

       

Le 19 septembre 2006

EXTRI197 – ^Mons – septembre 2004 Vérifier l’identité suivante :

3 2

16cos xsin x2cosxcos3xcos5x

   

2 cos cos 3 cos 5 cos cos 3 cos cos 5 2 sin 2 sin 2 sin 3 sin 2 2 sin 2 sin 2 sin 3 sin 2

x x x x x x x

x x x x

x x x x

     

    

 

Dans un cercle de rayon R = 5 cm, on mène une corde AB = 2a = 4 m et les tangentes (au cercle) aux points A et B qui se coupent C. Calculer les angles et l’aire du triangle ABC

C A

B M

O R = 5 m

a

a

 

2

Les triangles et sont rectangles

sin sin 2 0.4 23.58

5

Donc : 23.58 180 132.34

. . . tan 4 2 tan 23.58

Aire du triangle : 1.746

2 2 2

AOM BOM

AOM BOM a O

R

BAC ABC ACB BAC ABC

AB CM AB a BC

ABC S cm

       

        

     

Le 19 septembre 2006

EXTRI199 – ^Mons – juillet 2006 Résoudre l’équation trigonométrique suivante :

2 2

4sin 2x 1 4sin x et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.

 

2 2 2 2 2 2 2 2

4 2 2

2

L'équation peut s'écrire :

4 sin 2 1 4 sin 16 sin .cos 1 4 sin 16 sin 1 sin 1 4 sin

3 5

16 sin 12 sin 1 sin

8

3 5

1) sin 0.0955

8

10 2 sin 0.309

9 2

10 10 2 sin 0.309

x x x x x x x x

x x x

x

x k

x

x k

x k

x

x

        

    

 

   

      



 

   



2

19 2

10

3 5

2) sin 0.655

8

10 2 sin 0.809

7 2

10 10 2 sin 0.809

17 2

10 k x

x k

x

x k

x k

x

x k



 

  



 

   

      



  

       

