Forme algébrique des nombres complexes
Partie réelle, partie imaginaire
La forme algébrique d’un nombre complexe esta+ib oùaet bsont deux réels.
Siz=a+iboùa∈Retb∈R,aest la partie réelle dez, notée Re(z), etbest la partie imaginaire dez, notée Im(z).
La partie réelle et la partie imaginaire d’un complexe sont des nombres réels.
Les réels sont les nombres complexes dont la partie imaginaire est nulle.
Les imaginaires purs sont les nombres complexes dont la partie réelle est nulle.
Egalité de deux nombres complexes sous forme algébrique
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont mêmes parties réelles et mêmes parties imaginaires.
Pour tous REELSaetb,a+ib=0⇔a=b=0.
Pour tous REELSa,a′, bet b′,a+ib=a′+ib′⇔a=a′ etb=b′.
Opérations dans C .
Addition des complexes.Pour tous réelsa,b,a′ et b′,(a+ib) + (a′+ib′) = (a+a′) +i(b+b′).
Multiplication des complexes.Pour tous réelsa, b,a′ et b′,(a+ib)×(a′+ib′) = (aa′−bb′) +i(ab′+ba′).
Inverse d’un complexe non nul.Pour tous réelsaet btels quea2+b26=0, 1
a+ib = a−ib a2+b2.
Conjugué
Soitz∈C. On posez=a+iboùaetbsont deux réels. Le conjugué dezestz=a−ib. Pour tout nombre complexe z,zest réel si et seulement siz=z.
Pour tout nombre complexe z,zest imaginaire pur si et seulement siz= −z. Propriétés de calculs.« Le conjugué marche bien avec tout » :
Pour tous nombres complexeszet z′, z+z′=z+z′. Pour tous nombres complexeszet z′, z×z′=z×z′.
Pour tout nombre complexezet tout entier naturel non nuln,zn=zn. Pour tout nombre complexe non nulz,
1
z
= 1 z.
Pour tout nombre complexezet tout nombre complexe non nulz′,z z′
= z
z′. Exemple. Pourxréel etzcomplexe,
1+2i−z
(1+iz)2 +eiθ(1+ix)2(3−2i)
= 1−2i−z
(1−iz)2 +e−iθ(1−ix)2(3+2i).
Module
Soitz∈C. On posez=a+iboùaetbsont deux réels. Le module dezest |z|=√
a2+b2. Pour tout nombre complexez=a+ib,aet bréels, zz=|z|2=a2+b2. Pour tout nombre complexe non nulz, 1
z = z
|z|2. Propriétés de calculs.« Le module marche bien avec la multiplication » :
Pour tous nombres complexeszetz′,|z×z′|=|z|×|z′|.
Pour tout nombre complexezet tout entier naturel non nuln,|zn|=|z|n. Pour tout nombre complexe non nulz,
1 z
= 1
|z|.
Pour tout nombre complexezet tout nombre complexe non nulz′, z z′
= |z|
|z′|.
« Le module ne marche pas bien avec l’addition » :
Pour tous nombres complexeszetz′,|z+z′|6|z|+|z′|(inégalité triangulaire)
L’équation du second degré à coefficients réels
Soienta,betctrois nombres réels tels quea6=0. On pose∆=b2−4acet on noteδun nombre complexe tel queδ2=∆. On note(E) l’équation az2+bz+c= 0, équation d’inconnue complexez. Dans tous les cas,(E) admet deux solutions complexes :
z1= −b+δ
2a etz2= −b−δ 2a . Plus précisément,
Si∆ > 0, Si ∆=0, Si∆ < 0,
(E) admet deux solutions réelles dis- tinctes :
(E)admet une solution réelle double (ou encore deux solutions confondues) :
(E) admet deux solutions non réelles conjuguées :
z1= −b+√
∆
2a et z2= −b−√
∆
2a . z1=z2= −b
2a. z1= −b+δ
2a et z2= −b−δ 2a ou aussi
z1= −b+i√
−∆
2a et z2= −b−i√
−∆
2a . Dans tous les cas,
z1+z2= −b
a et z1z2= c a.
