Etude spectrale des processus stationnaires multidimensionnels et analyse en composantes principales dans le domaine des fréquences

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Délivré par l'Université Toulouse III - Paul Sabatier Discipline ou spécialité : MATHEMATIQUES - STATISTIQUES

JURY

1. Pr Philippe BERTHET, Examinateur 2. HdR Alain BOUDOU, Directeur 3. Pr David R. BRILLINGER, Rapporteur 4. HdR Sophie DABO NIANG, Examinatrice

5. Pr Dominique DEHAY, Rapporteur 6. Pr André MAS, Examinateur 7. HdR Yves ROMAIN, Directeur

Ecole doctorale : Mathématiques Informatique et Télécommunications de Toulouse Unité de recherche : Institut de Mathématiques de Toulouse - UMR 5219

Directeur(s) de Thèse : Alain BOUDOU - Yves ROMAIN Rapporteurs : Dominique DEHAY - David R. BRILLINGER

Présentée et soutenue par Emmanuel Nicolas CABRAL Le 29 Janvier 2010

Titre : Etude spectrale de processus stationnaires multidimensionnels et

UNIVERSITÉ TOULOUSE III - PAUL SABATIER

THÈSE

pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE TOULOUSE

délivré par l’Université Toulouse III - Paul Sabatier

en Mathématiques Appliquées

Emmanuel Nicolas CABRAL

intitulée

Étude spectrale des processus stationnaires

multidimensionnels et analyse en composantes

principales dans le domaine des fréquences

Soutenue le 29 Janvier 2010 devant le jury composé de : Philippe Berthet Université Toulouse III Examinateur Alain Boudou Université Toulouse III Directeur David Brillinger Université de Berkeley (USA) Rapporteur Sophie Dabo Niang Université Lille III Examinatrice Dominique Dehay Université Rennes II Rapporteur André Mas Université Montpellier II Examinateur Yves Romain Université Toulouse III Directeur

Institut de Mathématiques de Toulouse

Unité mixte de recherche C.N.R.S. - U.M.R. 5219

TABLE DES MATIÈRES

Remerciements. . . 8

Résumé. . . 10

Publications et communications orales. . . 11

English summary. . . 12

Written and oral communications. . . 13

Introduction Générale. . . 15

Historique et motivations. . . 16

L’analyse dans le domaine des fréquences : un outil statistique d’analyse de processus. . . 17

Problématique et plan de thèse. . . 19

Partie I. Analyse Spectrale des Fonctions Aléatoires Continues Stationnaires. . . 21

1. Fonctions aléatoires continues stationnaires et outils spectraux associés. . . 23

1.1. Introduction. . . 23

1.2. Mesure aléatoire (m.a.). . . 25

1.3. Intégrale stochastique et m.a. image. . . 26

1.4.1. Définition et association. . . 27

1.4.2. Cas particuliers de f.a.c. stationnaires. . . 31

1.5. Mesures spectrales à valeurs projecteurs (m.s.v.p.). . . 33

1.5.1. Mesure spectrale à valeurs projecteurs et mesures aléatoires. . . 33

1.5.2. Mesure spectrale et opérateur unitaire. . . 34

1.6. Fonction aléatoire continue multidimensionnelle stationnaire. . . 35

1.7. Produit tensoriel de f.a.c. stationnaires. . . 37

2. Recent results on random and spectral measures with some applications in Statistics. . . 41

2.1. Introduction. . . 41

2.2. Definitions and preliminaries. . . 42

2.3. Convolution product of spectral measures. . . 43

2.4. Tensor and convolution products of random measures. . . 45

3. Analyse en Composantes Principales dans le domaine des fréquences 47 3.1. Introduction. . . 47

3.2. ACP de p-m.a.. . . 48

3.2.1. Quelques rappels. . . 48

3.2.2. Définition et existence de l’ACP. . . 50

3.3. ACP sous contraintes. . . 51

3.4. ACP d’une f.a.c. stationnaire. . . 52

3.4.1. Définition et équivalence. . . 52

3.4.2. Analyse des séries stationnaires. . . 53

3.5. ACP sous contrainte d’une f.a.c. stationnaire. . . 54

TABLE DES MATIÈRES 5

3.5.2. Lien avec l’ACP passe-bande. . . 54

3.6. ACP d’une f.a.c. stationnaire à composantes réelles. . . 55

3.6.1. M.a. et m.a. conjuguée associées. . . 55

3.6.2. Mise en oeuvre de l’ACP. . . 55

3.6.3. Cas des séries réelles. . . 56

Partie II. Nouveaux résultats et premières applications. . . 57

4. Processus stationnaires périodique et η-quasi-périodique à temps continu : étude et proximité. . . 59

4.1. Introduction. . . 59

4.2. Processus stationnaire périodique à temps continu. . . 60

4.3. Processus stationnaire η-quasi-périodique à temps continu. . . 62

4.4. Produit tensoriel de processus stationnaires η-quasi-périodiques. . . 65

4.5. ACP périodique et quasi-périodique. . . 67

4.5.1. Une propriété d’approximation. . . 67

4.5.2. Applications aux processus stationnaires à temps discret et continu. 68 4.6. Conclusion. . . 70

4.7. Annexes. . . 70

4.7.1. Éléments classiquement associés au processus stationnaire 2π-périodique. . . 71

4.7.2. Théorème d’ergodicité (Von Neumann, 1932). . . 76

5. Sur les outils spectraux classiquement associés aux processus cyclostationnaires. . . 79

5.1. Introduction. . . 79

5.3. Étude spectrale d’une série cyclostationnaire. . . 83

5.3.1. Mesures aléatoires associées. . . 84

5.3.2. Opérateurs unitaires associés. . . 85

5.3.3. Mesures spectrales à valeurs projecteurs associées. . . 89

5.4. Produit tensoriel de séries cyclostationnaires. . . 90

5.4.1. Mesures aléatoires associées. . . 91

5.4.2. Mesures spectrales et opérateurs unitaires associés. . . 92

5.5. Quelques applications. . . 95

5.5.1. Exemple d’analyse en composantes principales. . . 95

5.5.2. Produit de processus cyclostationnaires unidimensionnels. . . 97

5.6. Discussion. . . 99

6. Processus stationnaires centrés et non centrés : étude et ACP. . . 101

6.1. Introduction. . . 101

6.2. Étude du centrage de f.a.c. stationnaire et représentation spectrale . . . 102

6.3. Étude des représentations spectrales. . . 106

6.4. Étude de la décomposition. . . 109

6.5. ACP centrée et non centrée. . . 112

6.6. Exemple de conditions de p-stationnarité. . . 117

7. Centered and non-centered principal component analysis in the frequency domain. . . 119

7.1. Introduction. . . 119

7.2. Notations and preliminaries. . . 120

7.3. Principal Component Analysis (PCA). . . 122 7.4. Spectral tools associated to centered and non-centered stationary CRF . 123

TABLE DES MATIÈRES 7

7.5. Comparison of the centered PCA and its non-centered version. . . 126

7.6. Some particular cases. . . 129

Conclusion. . . 131

Premières applications et suggestions. . . 131

Relation entre processus périodique et quasi-périodique. . . 134

Processus stationnaire ou cyclostationnaire : estimation de la densité spectrale135 Représentation spectrale de processus stationnaires gaussiens. . . 136

Bibliographie. . . 137

Remerciements

Je voudrais tout d’abord exprimer ma profonde reconnaissance à Alain BOUDOU et Yves ROMAIN pour avoir accepté de diriger ce travail. Je tiens à les remercier de m’avoir accordé leur confiance en faisant toujours preuve d’une très grande dis-ponibilité à mon égard. Leurs conseils, encouragements et remarques minutieuses ont été déterminants et je réalise aujourd’hui à quel point travailler avec eux a été enrichissant.

Je tiens ensuite à remercier Dominique DEHAY et David BRILLINGER pour avoir accepté, malgré toutes leurs occupations, d’être les rapporteurs de cette thèse. Je suis très flatté de l’intérêt qu’ils ont porté à ce travail. Leur relecture attentive de ce manuscrit, leurs remarques pertinentes et suggestions, qui ont été abordées en conclusion de cette thèse, ont contribué à améliorer la version finale de ce document. Mes remerciements s’adressent aussi à Philippe BERTHET pour l’honneur qu’il me fait en acceptant, malgré son emploi du temps chargé, de participer au jury.

Je voudrais aussi exprimer ma gratitude à Sophie DABO NIANG et André MAS pour la confiance dont ils ont fait preuve en acceptant de faire partie du jury. Je vous témoigne toute ma reconnaissance pour cette participation active et réactive.

Je souhaite à présent remercier tous les membres de l’Institut de Mathématiques de Toulouse que j’ai eu l’opportunité de cotoyer au cours de ces années de thèse. Je pense notamment aux membres du groupe de travail STAPH : Frédéric FERRATY, Pascal SARDA, Philippe VIEU, que je remercie pour leurs commentaires, leurs remarques et leur convivialité. J’ai eu la chance de travailler avec Sylvie VIGUIER-PLA sur certains points pratiques de ce travail. Sa disponibilité et ses remarques m’ont beaucoup apporté aussi bien sur le plan mathématique que sur le plan hu-main. Les travaux que nous avons en cours vont nous permettre de poursuivre notre collaboration au delà de cette thèse.

Je souhaite aussi remercier les membres de la cellule informatique de l’Institut pour leur disponibilité et leur efficacité. Je veux également exprimer ma reconnais-sance à Marie-Laure Ausset, Françoise Michel et Agnès Requis auprès de qui j’ai toujours pu trouver de l’aide pour résoudre les problèmes administratifs auxquels j’étais confronté.

Au cours de ces années j’ai eu la chance de cotoyer de nombreux doctorants. Je tiens notamment à exprimer ma gratitude à ceux qui m’ont accueilli au début de ma thèse : Christophe, Delphine, Lionel, Laurent et Lubos. J’ai pu apprécier leur humour, leur écoute et leur bonne humeur.

Mes remerciements s’adressent également à mon établissement formateur, l’UFR Sciences Appliquées et Technologie de Saint-Louis du Sénégal, qui a su me trans-mettre la passion des mathématiques et de la recherche.

REMERCIEMENTS 9

Je veux maintenant remercier tous mes compatriotes sénégalais avec qui j’ai eu à cotoyer les quatres coins de la France et particulièrement la ville de Toulouse. Je tiens aussi à remercier la chorale internationale Jeune Espérance qui m’a soutenu durant toutes ces années.

Mes remerciements vont aussi à la Direction de la Coopération de l’Université Cheikh Anta DIOP de Dakar (Sénégal) qui a accepté de financer cette thèse. Recevez par ces quelques mots toute ma profonde reconnaissance.

Je voudrais remercier ma famille, plus particulièrement mes parents qui m’ont toujours soutenu dans les études et m’ont permis de les réaliser dans les meilleures conditions possibles. Á ma mère qui n’est plus, ce travail t’est dédié.

Enfin, je tiens à dire à tous ceux qui m’auraient témoigné leur sympathie que, contrairement à mes voeux, toutes les personnes m’ayant rendu service et soutenu et à qui je voudrais rendre un vibrant hommage dans ce document, ne pourraient toutes y figurer. Mais je tiens à vous dire que je n’ai oublié personne et que celui ou celle qui n’aura pas vu son nom, sache qu’il ou elle n’a pas été omis mais vivement remercié du fond du coeur. Et comme dit l’adage Wolof du Sénégal : Yoon Yamul ci benn (une fois n’est pas coutume).

Résumé

Les méthodes statistiques multidimensionnelles ont connu ces dernières décennies des développements très importants tant au niveau théorique (notamment en sta-tistique opératorielle) qu’au niveau des applications (comme, par exemple, le traite-ment des données fonctionnelles). L’approche dans le domaine des fréquences (et de son outil majeur la transformée de Fourier) permet notamment d’envisager le traite-ment de fonctions aléatoires et de processus stochastiques particuliers (stationnaires par exemple). Dans l’étude d’un phénomène aléatoire pouvant être modélisé par un processus p-dimensionnel (Xt)_t∈T, où chaque Xt est à valeurs dans Cp, il peut être

intéressant, d’une part, de bien maîtriser les outils spectraux associés à (Xt)_t∈T et,

d’autre part, dans un but de clarification, d’obtenir un processus q-dimensionnel (q < p) résumant le mieux possible (Xt)_t∈T en un certain sens.

Les méthodes permettant de résumer une fonction aléatoire continue stationnaire p-dimensionnelle, définie sur T = Z, R, [_{−π, π[ ou, plus généralement, sur un groupe} abélien localement compact existent, elles s’appuient sur un critère étroitement lié à la stationnarité, leur mise en oeuvre est l’Analyse en Composantes Principales (ACP) de la mesure aléatoire associée à (Xt)_t∈T. Cette ACP, appelée aussi ACP dans

le domaine des fréquences de (Xt)_t∈T, consiste en l’ACP de chacune des composantes

spectrales de (Xt)_t∈T.

Nous pouvons présenter nos contributions en les quatre points suivants :

(i) Premièrement, il est bien connu qu’à tout processus stationnaire, on peut lui associer différents outils spectraux tels que la mesure aléatoire, la mesure spectrale à valeurs projecteurs et un opérateur unitaire. Nous réalisons alors un travail de synthèse sur les produits tensoriel et de convolution de mesures aléatoires et spec-trales. Cet investissement permet de répondre, dans la pratique, à des problèmes d’interpolation, d’identification de processus spatial ou encore de tranformations de Fourier inverses.

(ii) Deuxièmement, étant donné un processus stationnaire périodique, on s’inté-resse à la spécificité de ses outils spectraux. Nous définissons une notion de quasi-périodicité et quantifions la proximité entre les mesures aléatoires associées à un processus quasi-périodique et sa version périodique. Nous étudions alors la proxi-mité des ACP, dans le domaine des fréquences, correspondantes.

(iii) Ensuite, nous nous intéressons, en troisième lieu, aux outils spectraux associés à un processus cyclostationnaire et, particulièrement, à la mesure aléatoire associée. De plus, nous nous intéressons au produit tensoriel de processus cyclostationnaires en étudiant les propriétés des outils spectraux associés.

(iv) Enfin, nous avons porté une attention particulière sur les ACP, dans le do-maine des fréquences, centrée et non centrée en établissant une relation explicite entre ces analyses. Quelques applications et perspectives sont proposées en guise de conclusion.

PUBLICATIONS ET COMMUNICATIONS ORALES 11

Publications et communications orales

Ces travaux ont donné lieu aux publications suivantes :

1. Boudou, A., Cabral, E.N., Romain, Y. (2008) Recent results on random and spectral measures with some applications to Statistics. In Functional and Ope-ratorial statistics, 77-83, Contrib. Statist., Physica-Verlag, Springer, Heidel-berg.

2. Boudou, A., Cabral, E.N., Romain, Y. (2010) Centered and non-centered prin-cipal component analyses in the frequency domain, Statistics and Probability Letters 80, 96-103.

Ils ont également été exposés au cours des communications orales suivantes :

1. Sur l’Analyse en Composantes Principales de processus stationnaires pério-diques à temps continu, Séminaire STAPH, 16 Octobre 2006 ; Université Tou-louse III.

2. Quelques résultats récents sur les processus stationnaires à travers leurs mesures aléatoires et spectrales associées, Journées Franco-Tchèques, 05 Mai 2008 ; Tou-louse FRANCE.

3. Des résultats récents sur les mesures aléatoires et spectrales avec quelques appli-cations en Statistiques, International Workshop on Functional and Operatorial Statistics, 19-21 Juin 2008 ; Toulouse FRANCE.

4. ACP centrée et non centrée, Séminaire STAPH, Décembre 2009 ; Université Toulouse III.

English summary

Multidimensional statistical methods knew in these last decades very important developments both for theoretical (particularly in operatorial statistics) and appli-cation fields, allowing functional data treatments. The frequency domain’s field (and its important tool the Fourier transform) allows particularly to permit the treatment of random functions and particular stochastic processes (stationary for example). In the study of random phenomenons which can be modelled by a p-dimensional pro-cess (Xt)_t∈T, where each Xt belongs to Cp, it should be interesting, in one hand, to

control the spectral tools associated with (Xt)_t∈T and, in other hand, to obtain, in

view of clarification, a q-dimensional process (with q < p) which best summarizes as possible (Xt)_t∈T in a certain sense.

There exists methods which allow to summarize a p-dimensional stationary conti-nuous random function, defined on T = Z, R, [−π, π[ or, more generally, on a locally compact Abélian group. They lean on a criterion strictly closed to stationarity and their implementation is the Principal Component Analysis (PCA) of random mea-sure associated with (Xt)_t∈T. This PCA, also called, PCA in the frequency domain

of (Xt)_t∈T, consists on the PCA of each spectral component of (Xt)_t∈T.

We can present our contributions in the following four points :

(i) At first, it is well known that any stationary process can be associated with various spectral tools such as the random measure, the spectral measure with projec-tor values and a unitary operaprojec-tor. We carry out a synthetic work about tensor and convolution products of random and spectral measures. This investment allows to answer, in practice, to interpolation problems, to identification of a spatial process, or to inverse Fourier transform problem.

(ii) Secondly, given a periodic stationary process, we are interested in the speci-ficity of its spectral tools. We define a notion of quasi-periodicity and quantify the closeness between the associated random measures of a quasi-periodic process and its periodic version. We study then the proximity between the corresponding PCA’s in the frequency domain.

iii) Third, we are interested in the spectral tools associated with periodically correlated process and, in particular, to its associated random measure. Moreover, we are interested in the tensor product of cyclostationary processes by studying their associated spectral tools properties.

iv) At last, we are interested in the centered and non-centered PCA’s in the frequency domain by establishing an explicit link between these analyses. Some applications and perspectives are proposed as conclusion.

WRITTEN AND ORAL COMMUNICATIONS 13

Written and oral communications

These works have led to the following publications :

1. Boudou, A., Cabral, E.N., Romain, Y. (2008) Recent results on random and spectral measures with some applications to Statistics. In Functional and Ope-ratorial Statistics, 77-83, Contrib. Statist., Physica-Verlag, Springer, Heidel-berg.

2. Boudou, A., Cabral, E.N., Romain, Y. (2010) Centered and non-centered prin-cipal component analyses in the frequency domain, Statistics and Probability Letters 80, 96-103.

They have also been presented through the following oral communications :

1. Principal component analysis of stationary periodic processes, STAPH group, October, 16, 2006 ; Université Toulouse III.

2. Some recent results for stationary processes via their associated measures., Jour-nées Franco-Tchèques, May, 5, 2008 ; Toulouse FRANCE.

3. Recent results on random and spectral measures with some applications to Sta-tistics, International Workshop on Functional and Operatorial StaSta-tistics, June, 19-21, 2008 ; Toulouse FRANCE.

4. Centered and non-cenred PCA in frequency domain, STAPH group, December, 2009 ; Université Toulouse III.

De plus en plus fréquemment, les unités statistiques ont un caractère multidimen-sionnel. La taille de la dimension sous-jacente peut être telle que, naturellement, on parle de données fonctionnelles. Cette évolution est due aux récentes innovations réalisées sur les appareils de mesure. En effet, les méthodes d’acquisition ainsi que l’utilisation intensive de moyens informatiques, permettent de collecter des données discrétisées de plus en plus finement, les rendant intrinsèquement fonctionnelles. Les enregistrements sonores, les images satellitaires, les séries chronologiques ne sont que quelques exemples de la diversité des données à caractère fonctionnel auxquelles le statisticien peut être confronté. C’est une des raisons pour lesquelles ce domaine de la statistique, en plein essor, a suscité un fort engouement dans les années quatre-vingt, avec l’apport notamment de la théorie des opérateurs dans les travaux de Grenander (1981) et Dauxois et al. (1982). L’analyse de données fonctionnelles a été développée aussi par Ramsey (1982), Ramsey et Dalzell (1991), Ramsey et Silver-man (1997), puis par les travaux de Bosq (2000), Ramsey et SilverSilver-man (2002, 2005) et Ferraty et Vieu (2006). Ces différentes contributions à la statistique fonctionnelle et opératorielle ont permis l’extension des méthodes classiques d’analyse de données. Les variables aléatoires fonctionnelles sont par définition à valeurs dans un espace de dimension infinie. L’Analyse des données fonctionnelles concerne, en effet, les données pour lesquelles la ieme _{observation décrit un ou plusieurs objets d’un espace}

de dimension infinie tels que des courbes ou surfaces (voir Ramsay et Silvermann, 1997). Dans plusieurs cas, ce sont des éléments aléatoires d’un certain espace fonc-tionnel et bon nombre de questions de l’ordre de la recherche et de la modélisation statistique ont ainsi été étudiées. Parmi ces questions, on trouve à la fois des adapta-tions de méthodes (d’analyse de données fonctionnelles) bien connues en statistique multivariée (sous l’impulsion de Ramsey, 1982) mais aussi des résultats répondant à des problèmes liés à la nature fonctionnelle des données. On pourra se reporter aux monographies de Ramsay et Silvermann (1997, 2002, 2005), Bosq (2000) et Ferraty et Vieu (2006) pour avoir un aperçu complet de la statistique fonctionnelle et opé-ratorielle. On est ainsi amené à approcher des variables aléatoires fonctionnelles par leurs projections sur une base finie de fonctions trigonométriques, polynômiales, de splines, . . . Toutefois, le choix de la base de fonctions sur laquelle on projette est important et nécessite d’avoir un a priori sur la nature des variables que l’on étu-die. Cette approche est appelée analyse en composantes principales fonctionnelles. Elle consiste à construire, à partir de l’étude des valeurs propres et des fonctions propres des opérateurs de covariance, une base de composantes fonctionnelles ortho-gonales qui maximisent (pour une dimension fixée donnée) la quantité de “variance expliquée”. C’est une adaptation au cas fonctionnel de la méthode d’analyse en com-posantes principales très couramment utilisée en statistique multivariée. L’analyse en composantes principales fonctionnelles est l’une des méthodes les plus utilisées en statistique fonctionnelle et opératorielle car elle permet dans certaines situations de se ramener à un problème de statistique multivariée. L’Analyse en composantes principales est envisagée par Rao (1958) et elle a été depuis étudiée aux travers de nombreux travaux parmi lesquels on peut citer Deville (1974), Dauxois et al. (1982) dans le cas de fonctions de carré intégrables, Ramsay (1982) pour des variables à valeurs dans un espace de Hilbert, Besse et Ramsay (1986) dans le cas où on a des

ANALYSE FRÉQUENTIELLE 17

hypothèses de régularité supplémentaires sur certaines dérivées, Bosq (1991) et Agui-lera et al. (1997, 1999) dans le cas de l’étude des processus. On trouve également les travaux de Ramsay et Dalzell (1991) qui proposent d’utiliser des L-splines pour trai-ter séparément la partie structurelle et la partie résiduelle des courbes. Notons aussi que Pezzuli et Silverman (1993) donnent des résultats de consistance pour certains processus gaussiens et que Silverman (1995) étudie le cas où la variable fonctionnelle peut dépendre de paramètres. On peut trouver des variantes à ces travaux proposées par Silverman (1996) qui construit des composantes orthogonales relativement à des produits scalaires autres que le produit scalaire naturel de L2_{, ou bien encore par}

Locantore et al. (1999) qui proposent une approche robuste, Ocaña et al (1999) qui s’intéressent à l’importance du produit scalaire utilisé, Boente et Fraiman (2000) qui utilisent des méthodes à noyau, Cardot (2000) qui utilise des B-splines, James et al (2000) et Yao et al. (2005a) qui proposent une méthode adaptée à des données longitudinales. Citons également les travaux de Ramsay et Silverman (1997, 2005, Chapitre 8) ainsi que Spitzner et al. (2003) qui proposent des méthodes d’analyse en composantes principales de données fonctionnelles bi-variées. Les monographies de Ramsay et Silverman (1997, 2005) donnent un aperçu général de l’état de l’art de l’analyse en composantes principales fonctionnelles. Plus récemment on trouve des travaux dans lesquels Benko et al. (2006) développent des tests portant sur les analyses en composantes princpales de deux échantillons de courbes, Boudou (2006) propose, dans le domaine fréquentiel, une approximation d’analyse en composantes principales d’une fonction aléatoire à temps continu, Hall et al. (2006) étudient l’influence de la discrétisation sur l’estimation des valeurs propres et des vecteurs propres, Hall et Hosseini-Nasab (2006) s’intéressent aux propriétés d’approximation d’une analyse en composantes principales en fonction de l’espacement des valeurs propres, Cardot (2007) propose une analyse en composantes principales fonction-nelles conditionelle et Ocaña et al. (2007) proposent une méthode algorithmique générale. Notons qu’une compilation des récents travaux dans le domaine de la sta-tistique fonctionnelle et opératorielle peut être consultée en Dabo-Niang et Ferraty (2008) ainsi qu’à la référence STAPH (2009).

L’analyse dans le domaine des fréquences : un outil statistique d’analyse de processus

Lorsque l’on dispose de données caractérisant plusieurs variables, il est naturel de souhaiter disposer d’outils qui, par une réduction de leur nombre, permettraient une première analyse rapide. Les techniques d’analyse fonctionnelle telles que les ana-lyses factorielles ont investi beaucoup de disciplines scientifiques lorsqu’un jeu de données qualitatives ou quantitatives affectent un ensemble d’individus. Par analyse factorielle, nous entendons évoquer les méthodes d’analyses de données fonctionnelles basées sur l’étude d’éléments propres de différents opérateurs telles notamment l’ana-lyse en composantes principales classique qui est encore très utilisée. Cette notion est une technique descriptive permettant d’étudier les relations entre données sans tenir compte, a priori, d’une quelconque structure des variables ou des individus. Elle est apparue au début des années trente et a été surtout développée en France dans les années soixante, en particulier par Benzecri (1980a,b) qui a beaucoup exploité les

aspects géométriques et de représentations graphiques. Les domaines d’application de ces méthodes sont très variés et de nombreux exemples sont proposés notam-ment par Press (1972), Jackson (1991) et Brillinger (1975, 2001). Une présentation de cette analyse peut être trouvée dans la plupart des ouvrages relatifs à l’analyse multivariée et la monographie de Jackson (1991) est entièrement consacrée à ce sujet avec une importante bibliographie. L’analyse en composantes principales est d’un usage courant grâce en particulier à l’existence de logiciels performants et faciles d’emploi. Rappelons qu’elle se fonde sur la décomposition de Karhunen-Loeve. Elle permet de représenter un processus sous forme de somme d’éléments composés d’une partie déterministe et d’une partie aléatoire. L’article de Deville (1981) marque une étape importante de l’application de la décomposition de Karhunen-Loeve dans une optique d’analyse de données liée à l’analyse harmonique. Lorsqu’on étudie un phé-nomène aléatoire qui peut être modélisé par un processus p-dimensionnel (Xt)_t∈T, il

est commode, voire indispensable pour clarifier la situation, d’obtenir un résumé de moindre dimension. On sait que sous certaines hypothèses, les techniques d’analyse en composantes principales d’une variable aléatoire hilbertienne ou celles d’analyse harmonique d’un processus permettent de répondre à la question. Tel a été l’objet du travail de Dauxois et Pousse (1976) qui ont développé la théorie abstraite de l’analyse factorielle d’un processus multidimensionnel dans un cadre linéaire et non linéaire. Leur travail a été complété sur le plan théorique par Besse (1979), Romain (1979) et bien d’autres.

Cependant, ces méthodes ne sont pas applicables lorsque le processus est sta-tionnaire (au sens faible). D’où l’investissement de Saporta (1981) qui a dressé une synthèse des apports de l’analyse de données dans le domaine des données tempo-relles individuelles observées sur l’intervalle de temps [0, t] : l’analyse en composantes principales est alors appliquée à un processus continu, stationnaire au sens faible et centré. Dans le cas où T est l’ensemble Z, Brillinger (1975, 2001) propose de re-duire (la dimension de) (Xt)_t∈T en cherchant un filtré adéquat de (Xt)_t∈T qui soit

q-dimensionnel (q < p), stationnaire et stationnairement corrélé avec (Xt)_t∈T. Il a

ap-pelé cette méthode “analyse en composantes principales”, elle se ramène à une famille d’analyses en composantes principales. D’autres auteurs, notamment Deville (1981), Abouabassi (1984) ou encore Thiam (1984), se sont intéressés au travail innovateur de Brillinger qu’est cette analyse que l’on peut qualifier d’analyse en composantes principales dans le domaine des fréquences. Cette nouvelle méthode fournit un outil de représentation d’un processus p-dimensionnel, stationnaire et centré, il nécessite que la fonction de covariance soit absolument sommable. Le processus (Xt)_t∈T est

résumé grâce à un filtre linéaire qui transforme le processus p-dimensionnel en un processus q-dimensionnel. Boudou et Dauxois (1988, 1989, 1994) ont repris l’idée de Brillinger en se plaçant dans un contexte plus large : lorsque le processus est indicé par R ou plus généralement par un groupe Abélien localement compact. Ils définissent ainsi l’analyse en composantes principales de la mesure aléatoire dont la transformée de Fourier est le processus analysé. Cette analyse est dénommée ana-lyse en composantes principales (ACP) dans le domaine des fréquences car elle se ramène à l’ACP de chacune des composantes spectrales. Il est à noter qu’il existe une certaine proximité entre l’ACP dans le domaine des fréquences et l’analyse en com-posantes principales classique dans le domaine temporel. Tel est l’objet du travail de Boudou et Viguier-Pla (2006).

PROBLÉMATIQUE ET PLAN DE THÈSE 19

Problématique et plan de thèse

Dans le premier chapitre, nous faisons un bref rappel historique de l’objet de notre étude : la fonction aléatoire. Nous présentons les différents outils spectraux qui sont classiquement associés à une fonction aléatoire continue stationnaire, d’une façon plus précise, la mesure aléatoire, la mesure spectrale (à valeurs projecteurs) et la famille des opérateurs unitaires. Les fonctions aléatoires considérées ici sont définies sur groupe Abélien localement compact G. Nous étudions les relations existant entre ces différents éléments. Bien entendu, il est légitime d’étudier par la suite quelques cas particuliers que l’on rencontre très souvent dans la pratique, lorsque le groupe G est Zk_{, R}k _{ou encore [−π, π[}k

, avec k ∈ N∗_.

Dans le deuxième chapitre, est présentée une synthèse de quelques résultats récents sur les mesures aléatoires et spectrales appliqués à des problèmes d’interpolation, d’identification de processus spatiaux et de transformations de Fourier inverses que l’on peut rencontrer souvent dans la pratique. Ces résultats concernent principale-ment les produits tensoriels et de convolution de mesures aléatoires et spectrales.

Dans le troisième chapitre, nous présentons l’ACP dans le domaine des fréquences d’une fonction aléatoire continue stationnaire (Xg)_g∈G p-dimensionnelle définie sur

un groupe Abélien localement compact G. Cette analyse se résume en la recherche d’une fonction aléatoire q-dimensionnelle (q < p) stationnaire et stationnairement corrélée avec (Xg)_g∈G, la résumant au mieux. Et grâce à la correspondance

biuni-voque qui existe entre une fonction aléatoire continue stationnaire et sa mesure aléatoire, évoquée au chapitre 1, nous montrons que cette analyse (cf. Boudou et Dauxois, 1994) est équivalente à l’ACP d’une mesure aléatoire. On obtient une tech-nique de réduction de la dimension d’une fonction aléatoire continue stationnaire qui généralise celle proposée par Brillinger (1975, 2001) pour les séries chronologiques stationnaires.

L’objet du chapitre 4 est l’étude des processus stationnaires périodiques et η-quasi-périodiques (dont nous proposons une définition). Une relation de proximité entre ces deux types de processus est établie pour les mesures aléatoires associées. Nous élargissons ensuite ces résultats, dans le cadre des fonctions aléatoires conti-nues, produit tensoriel de processus stationnaires périodiques et η-quasi-périodiques. Nous montrons, enfin, qu’il existe aussi une proximité entre les analyses en com-posantes principales, dans le domaine des fréquences, des processus stationnaires η-quasi-périodiques et de leur version périodique ; ce qui illustre la correspondance biunivoque qui existe entre un processus stationnaire et sa mesure aléatoire associée. Dans plusieurs domaines tels que la communication, le traitement de la parole, des signaux ou encore la mécanique et la météorologie, les hypothèses simplifica-trices permettant de travailler dans un contexte stationnaire ne sont plus valables. Tel est l’intérêt de ce cinquième chapitre où nous abordons une classe de fonctions aléatoires non stationnaires très utilisées de nos jours : les séries cyclostationnaires ou périodiquement corrélées. Par le biais d’une méthode de stationnarisation, nous

étudions cette classe de processus sous un nouvel angle et étudions les outils spec-traux que nous pouvons lui associer. Certains de ces résultats sont alors étendus au produit tensoriel de séries cyclostationnaires.

Dans les sixième et septième chapitres, nous nous intéressons aux liens pouvant exister entre les différents outils spectraux d’un processus stationnaire centré et non centré. Cette préoccupation est banale mais occultée puisque dans la majorité des cas, les données sont supposées centrées ou, sinon, le deviennent par une simple transformation. La question du centrage a été étudiée dans le cas classique temporel par Dauxois et Pousse (1976) où ils donnent une condition nécessaire et suffisante entre les analyses en composantes principales centrée et non centrée. Dans ces cha-pitres, supposant qu’une fonction aléatoire continue p-dimensionnelle (Xg)_g∈G et sa

version centrée (Xc

g)_g∈G = (Xg− IE(Xg))_g∈G sont toutes deux p-stationnaires, nous

étudions les liens entre leurs analyses en composantes principales dans le domaine des fréquences. Précisons que ces relations sont fortes car les composantes spectrales des deux versions sont égales sauf pour une fréquence, et que l’ACP dans le domaine des fréquences se ramène à l’ACP de chacune des composantes spectrales.

Enfin, nous proposons, en guise de conclusion, quelques perspectives et suggestions qui nous semblent importantes à approfondir dans le futur.

PARTIE I

ANALYSE SPECTRALE DES

FONCTIONS ALÉATOIRES

CONTINUES STATIONNAIRES

CHAPITRE 1

FONCTIONS ALÉATOIRES CONTINUES

STATIONNAIRES ET OUTILS SPECTRAUX

ASSOCIÉS

Après un bref historique du sujet, nous nous intéressons aux fonctions aléatoires continues stationnaires définies sur un groupe Abélien localement compact. Grâce à une intégrale stochastique, on associe, d’une façon biunivoque, une mesure aléa-toire à un processus stationnaire dont il est la transformée de Fourier. L’usage de cette dernière nécessite que le corps de référence soit le corps des complexes. Nous parvenons à définir une “boîte à outils” qui fait le lien entre les différents éléments spectraux classiquement associés à un processus stationnaire.

1.1. Introduction

Dans la théorie mathématique des statistiques, l’on s’occupe de phénomènes ou ob-servations (des expériences) pouvant se répéter plusieurs fois dans les mêmes condi-tions. En effet, les caractéristiques numériques de ces phénomènes y sont étudiées, c’est à dire les quantités prenant différentes valeurs dépendant du résultat des ob-servations. De telles quantités sont connues sous le vocable de variables aléatoires, dont voici quelques exemples :

– le nombre de points qui apparaît lorsque l’on jette un dé à six faces ;

– le nombre d’appels reçus (ou émis) dans une station téléphonique durant un intervalle de temps donné ;

– l’erreur commise dans la mesure d’une quantité physique lorsqu’un dispositif de sécurité est donné ;

– etc...

En théorie des probabilités classiques, la loi d’une variable aléatoire X est déter-minée par sa fonction de répartition FX(x) = P(X ≤ x). Dans le cas où le

ré-sultat de l’observation concerne un n-uplet X = (X1, X2,· · · , Xn), on est en

pré-sence d’une variable aléatoire multidimensionnelle dont la fonction de répartition FX(x1, x2,· · · , xn) = P(X1 ≤ x1, X2 ≤ x2,· · · , Xn ≤ xn) est, bien sûr, une fonction

à plusieurs variables. Cependant, il est des processus que, par nature, l’on ne peut connaître avec certitude à tout instant. Tout comme il est des phénomènes que, par manque d’informations ou par méconnaissance des mécanismes sous-jacents, on se borne à modéliser de façon non déterministe. C’est le cas par exemple du traitement

du signal ou de la météorologie. Si on maîtrisait à un instant précis toutes les don-nées d’un phénomène naturel et si on était capable de modéliser parfaitement les mécanismes d’évolution, on pourrait prévoir de façon certaine le futur de ce phéno-mène. Mais pour diverses raisons, on ne peut accéder à ce niveau de connaissance. Et donc les grandeurs et mécanismes sont modélisés de façon à y intégrer une part d’in-certitude. Depuis quelques décennies, de nombreux domaines d’application en plein essor comme la physique, l’ingénierie et aussi et surtout la statistique fonctionnelle et opératorielle, font appel à ce type de notion pour plusieurs raisons. En premier, comme sus-mentionné, lorsqu’un processus contient de l’information aux yeux du statisticien, il contient nécessairement une part d’incertitude. Par ailleurs, pour le physicien par exemple, un signal émis est corrompu par du bruit et des interférences qui ne peuvent être connus de façon certaine et sont donc modélisés comme des si-gnaux aléatoires ou comme la sortie d’un processus stochastique. De tels outils, qui prennent en compte les variables aléatoires uni et multidimensionnelles, sont appelés fonctions aléatoires. Elles sont caractérisées par les résultats d’une observation qui prennent différentes valeurs lorsque l’observation est répétée plusieurs fois. L’un des exemples types d’une telle situation se rencontrent dans la théorie des mouvements browniens où chaque coordonnée de la particule brownienne est une fonction aléa-toire dépendant du temps. On peut par exemple consulter les travaux innovateurs de Leontévich (1944), de Wang et al. (1949), Chandrasekhar (1954), Lévy (1954), ou encore Einstein (1956) et Landau et al. (1958). Par ailleurs, un autre phénomène qui est tout aussi proche du mouvement brownien est la fluctuation dans les circuits électriques que l’on peut retrouver dans les travaux notamment de Blanc-Lapierre (1945), Davenport et Root (1958) et aussi Middleton (1960). La première tentative d’investigation mathématique des modèles menant à la notion de fonction aléatoire se trouve notamment dans les travaux de Bachelier (1912). Mais la formulation de la théorie générale correspondant aux fonctions aléatoires prit forme avec les inves-tigations de Slutski (1960). Cependant on peut admettre que le plus grand succès de cette théorie est apparu avec le développement des processus de Markov avec les travaux de Kolmogorov (1931) et les processus stationnaires avec Khinchin (1934). Dans ce chapitre, nous nous intéressons particulièrement aux fonctions aléatoires qui sont continues et stationnaires. Introduite notamment par Blanc-Lapierre et Fortet (1947), nous rappelons la définition de cette notion. L’association biunivoque me-sure aléatoire et processus stationnaire nous permet de construire une “boîte à outils” spectraux.

La possibilité d’une telle association, plus connue sous le nom de représentation spec-trale, a été, pour la première fois, l’oeuvre, d’une part, de Wiener (1930) et, d’autre part de Kolmogorov (1940, 1941) où les résultats sont formulés dans un espace de Hilbert et sont déduits de l’utilisation de la théorie spectrale d’opérateurs. Et depuis, une vaste littérature est apparue, qui interprète et justifie cette représentation dans le contexte de la théorie des probabilités et statistiques. On peut citer notamment les travaux de Cramer (1942), Blanc-Lapierre et Fortet (1947), Maruyama (1949), Doob (1953), Bartlett (1955), Grenander et Rosenblatt (1957) ou encore Loève (1960), Ro-senblatt (1962) et Brillinger (1975).

L’intérêt statistique de la représentation spectrale d’une fonction aléatoire réside dans la possibilité d’exprimer cette dernière sous la forme d’une “somme” de proces-sus périodiques non corrélés.

1.2. MESURE ALÉATOIRE (M.A.) 25

Dans toute la suite de ce texte, H désigne un C-espace de Hilbert séparable (qui, par la suite, sera du type L2_{(Ω,A, P) ou L}2

Cp(Ω,A, P)) et P(H) l’ensemble des

projecteurs orthogonaux de H.

Par Π on désigne l’intervalle [−π, π[ et par [x] la partie entière du réel x. L’espace (Ω,_{A, P) est un espace probabilisé tel que L}2_{(P) = L}2_{(Ω,A, P) soit séparable.}

Lorsque ϕ est un opérateur linéaire continu, on désigne par ϕ∗ _{l’opérateur adjoint.}

Par σ2(H1, H2) (resp. σ2(H1)), on désigne l’ensemble des opérateurs de

Hilbert-Schmidt de H1 dans H2 (resp. H1), H1 et H2 étant des C-espaces de Hilbert

sépa-rables, muni du produit scalaire

<_{·, · >2} : (L, K)_{∈ (σ}2(H1, H2))2 7→ < L, K >2 = trL◦ K∗.

Pour tout couple (u, v) de H1× H2, on définit l’opérateur de rang 1,

h∈ H1 7→ < h, u >H1v ∈ H2,

qui est noté u ⊗ v. Si (X, Y ) est un couple d’éléments de L2

H(Ω,A, P), il est facile de

vérifier que l’application ω ∈ Ω 7→ X(ω) ⊗ Y (ω) ∈ σ2(H) est mesurable et de norme

P-intégrable, etR X(ω)_{⊗ Y (ω)dP(ω) est noté IE(X ⊗ Y ).}

1.2. Mesure aléatoire (m.a.)

Désignons par E une tribu de parties d’un ensemble E.

Définition 1.2.1. — Une mesure aléatoire (m.a.) Z définie sur E à valeurs dans H est une application de _{E dans H telle que :}

(i) pour tout couple (A, B) d’éléments disjoints de _{E :}

Z(A_{∪ B) = Z(A) + Z(B) et < Z(A), Z(B) >H} = 0 ;

(ii) pour toute suite (An)_n∈N d’éléments de E qui converge en décroissant vers ∅,

on a :

lim

n kZ(An)kH = 0.

Remarque. Cette notion de “mesure aléatoire" acquiert tout son sens du fait que, généralement, l’espace H est du type p-dimensionnel L2

Cp(Ω,A, P) (espace de

variables aléatoires).

Notons par HZ la fermeture de vect{Z(A); A ∈ E}, sous-espace de H engendré

par les Z(A). De la définition 1.2.1, il découle la propriété suivante qui est classique lorsqu’il s’agit d’une “mesure".

Propriété 1.2.2. — _{(i) Si Z est une m.a. sur E à valeurs dans H et si (A}n)_n∈N

est une suite d’éléments de_{E deux à deux disjoints alors la famille {Z(A}n); n∈

N} d’éléments de H est sommable et P_n∈NZ(An) = Z(S_n∈NAn).

(ii) Si Z est une m.a. sur E à valeurs dans H alors pour toute suite croissante (An)_n∈N d’éléments de E, limnZ(An) = Z(S_n∈NAn) ;

(iii) Soit C une famille de parties de E stable par intersection finie, contenant E et engendrant E. Si Z et Z′ _{sont deux m.a. sur E à valeurs dans H et telles}

que Z(A) = Z′_{(A), pour tout A de C, alors Z = Z}′_.

Ces propriétés (que l’on peut retrouver dans tous les livres traitant sur la théorie de la mesure) ci-dessus seront très utiles dans la suite de ce texte. Notons seulement que la propriété (iii) n’est pas un résultat standart, elle est inspirée d’une démonstration que l’on peut trouver dans Dacunha-Castelle et Duflo (1990).

De plus, nous dirons que

Définition 1.2.3. — Deux m.a. Z et Z′ _{définies sur E à valeurs dans H sont}

sta-tionnairement corrélées lorsque

< Z(A), Z′(B) >_H = 0 pour tout couple (A, B) d’éléments disjoints de E.

1.3. Intégrale stochastique et m.a. image

Théorème-Définition 1.3.1. — Si Z est une m.a. sur _{E à valeurs dans H alors :} (i) l’application µZ : A∈ E 7→ kZ(A)k2_H ∈ R+ est une mesure bornée dite mesure

spectrale ;

(ii) il existe une et une seule isométrie de L2

C(E,E, µZ) sur HZ qui, pour tout A

de E, associe Z(A) à 1IA. L’image d’un élément f de L2(µZ) par cette isométrie est

appelée intégrale stochastique de f par rapport à Z et est notée R f dZ. Si nous notons par (F, F) un deuxième espace mesurable, on a le

Théorème-Définition 1.3.2. — Si f est une application de E dans F mesurable et Z une m.a. sur _{E à valeurs dans H alors}

(i) l’application fZ : A ∈ F 7→ Z(f−1(A))∈ H est une m.a. dite m.a. image de

Z par f et µfZ = fµZ;

(ii) si ϕ est un élément de L2_{(F,F, µ}

fZ), alors ϕ◦ f appartient à L

2_{(E,E, µ} Z) et

R

ϕdfZ =R ϕ◦ fdZ.

L’égalité de la relation (i) est légitimée par : µfZ(A) =kfZ(A)k

2

1.4. FONCTION ALÉATOIRE CONTINUE (F.A.C.) STATIONNAIRE 27

La relation (ii) se vérifie facilement pour les indicatrices puis, grâce à la linéarité, pour tout élément de vect{1IA; A∈ F} et enfin, en utilisant des arguments de

conti-nuité, compte-tenu des propriétés de densités des indicatrices, pour tout élément de L2_{(F,F, µ}

fZ).

Soit Z une m.a. sur E à valeurs dans H, et ϕ un élément quelconque de L2_{(E,E, µ}

Z). Notons µ la mesure bornée A ∈ E 7→

R

1IA|ϕ|2dµZ ∈ R+ et Zϕ

l’application A ∈ E 7→R 1IAϕdZ ∈ H.

Si l’on remarque que < Zϕ(A), Zϕ(B) >_H = µ(A∩ B), pour tout couple (A, B)

d’éléments de E, on peut facilement vérifier que Zϕ est une m.a. et que µZϕ = µ.

Lorsque f est un élément de L2_{(E,E, µ}

Zϕ), donc de L

2_{(E,E, µ), il est clair que fϕ}

appartient à L2_{(E,E, µ}

Z). Compte-tenu des propriétés de densités des indicatrices,

f peut se mettre sous la forme

f = lim m X j∈Jm αjm1IAjm dans L2_{(µ), avec |J}

m| < +∞ et Ajm élément de E ; ce dont on déduit

f.ϕ = lim m X j∈Jm αjm1IAjmϕ dans L2_(µ Z), et donc Z f.ϕdZ = lim m X j∈Jm αjmZϕ(Ajm) = Z f dZϕ.

Nous pouvons donc affirmer la

Propriété 1.3.1. — Lorsque Z est une m.a. sur E à valeurs dans H et ϕ un élé-ment quelconque de L2_{(E,E, µ}

Z) alors

(i) l’application Zϕ : A∈ E 7→

R

1IAϕdZ ∈ H est une m.a.,

(ii) si f est un élément de L2_{(E,E, µ}

Zϕ), f.ϕ appartient à L

2_{(E,E, µ} Z) et

R

f dZϕ=R f.ϕdZ.

1.4. Fonction aléatoire continue (f.a.c.) stationnaire

1.4.1. Définition et association. — Les fonctions aléatoires considérées ici sont définies sur un groupe Abélien localement compact dont le dual est supposé être à base dénombrable, ceci pour assurer la régularité de la mesure spectrale µZdefinie au

Théorème-définition 1.3.1. Nous verrons par la suite l’intérêt d’une telle hypothèse et, pour plus d’informations sur cette régularité, on peut consulter notamment Boudou et Dauxois (1994).

Soit G un tel groupe, bG son groupe dual et _BGb la tribu de Borel de bG. Nous dirons

Définition 1.4.1. — Une fonction aléatoire continue (f.a.c.) stationnaire définie sur G et à valeurs dans H est une famille d’éléments de H, (Xg)_g∈G, telle que :

(i) l’application g_{∈ G 7→ X}g ∈ H est continue ;

(ii) pour tout couple (g1, g2) d’éléments de G :

< Xg1, Xg2 >H = < Xg1−g2, X0 >H.

Il est bien connu (cf. notamment Azencott et Dacunha-Castelle, 1984 et Bou-dou et Romain, 2001, 2002) qu’une f.a.c. stationnaire peut être considérée comme la transformée de Fourier d’une m.a. Nous présentons alors cette correspondance biunivoque à partir du résultat suivant :

Théorème-Définition 1.4.1. — Si (Xg)_g∈G est une f.a.c. stationnaire définie sur

G à valeurs dans H, il existe une m.a. et une seule Z, dite m.a. associée à (Xg)_g∈G,

définie sur _{E = B}Gb à valeurs dans H, telle que :

Xg =

Z

(·, g)GGb dZ(·),

pour tout élément g de G et où (·, g)GGb est le crochet de dualité.

Remarque. Lorsque Z est la m.a. associée à une f.a.c. stationnaire (Xg)_g∈Galors

HZ = vect{Xg; g∈ G}.

En effet, comme Xg =R (·, g)GGb dZ(·), il est clair que pour tout g de G, Xg appartient

à HZ = vect{Z(A); A ∈ Bb

G}. Et donc vect{Xg; g ∈ G} ⊂ HZ.

Comme vect{(·, g)GGb ; g ∈ G} = L 2_(µ

Z), pour tout A deBGb, 1IApeut se mettre sous

la forme 1IA= lim m X j∈Jm αjm(·, gjm)GGb dans L2_(µ

Z) ; |Jm| < +∞. En intégrant donc par rapport à Z, on a

Z(A) = lim

m

X

j∈Jm

αjmXgjm;

d’où Z(A) appartient à vect{Xg; g ∈ G} et donc HZ ⊂ vect{Xg; g ∈ G}.

Lorsque bG n’est pas à base dénombrable, étant donnée une f.a.c. stationnaire (Xg)_g∈G, il existe une et une seule m.a. Z telle que Xg =

R

(·, g)b

GGdZ(·) (pour tout

g de G) et telle que µZ soit régulière. Dès lors que bG est à base dénombrable, toute

mesure bornée définie sur BGb est régulière et l’on obtient alors le résultat énoncé

précédemment, d’où l’intérêt de l’hypothèse effectuée sur bG. Rappelons que R (resp. Rk_{), dual de R (resp. R}k_{), et Π (resp. Π}k_{) dual de Z (resp. Z}k_{), sont effectivement}

à base dénombrable.

1.4. FONCTION ALÉATOIRE CONTINUE (F.A.C.) STATIONNAIRE 29

Propriété 1.4.2. — Si Z est une m.a. définie sur _BGb à valeurs dans H alors la

famille (Xg)_g∈G, où Xg =

R

(·, g)GGb dZ(·) pour tout g de G, est une f.a.c. stationnaire

de m.a. associée Z.

Terminons le paragraphe par la

Définition 1.4.3. — Deux f.a.c. stationnaires (Xg)_g∈G et (Yg)_g∈G sont

stationnai-rement corrélées lorsque < Xg1, Yg2 >_H = < Xg1−g2, Y0 >_H pour tout couple (g1, g2)

d’éléments de G.

Il vient alors la correspondance suivante :

Propriété 1.4.4. — Deux f.a.c. stationnaires (Xg)_g∈G et (Yg)_g∈G sont

stationnai-rement corrélées si et seulement si les m.a. associées, ZX _{et Z}Y_{, le sont.}

Démonstration. Notons Q le projecteur orthogonal de H sur vect{Xg; g ∈ G}.

Supposons que les f.a.c. stationnaires (Xg)_g∈G et (Yg)_g∈G soient stationnairement

corrélées. QY0 étant un élément de vect{Xg; g ∈ G}, il existe un et un seul élément

ϕ de L2_(µ ZX) tel que QY₀ =R ϕdZX. Pour tout g de G, on a : < QYg, Xg′ > = < Y_g, X_g′ >=< Y₀, X_g′_−g > = < Z ϕdZX, Z (_{·, g}′_{− g)}GGb dZ X _{>= < ϕ, (} ·, g′− g)GGb > L2_(µ ZX) = Z (_{·, g − g}′)GGb ϕ(·)dµZ X = < (·, g) b GGϕ, (·, g′)GGb > L2_(µ ZX) = < Z (_{·, g)}GGb ϕ(·)dZ X_,Z ₍ ·, g′)GGb dZ X _> = < Z (·, g)b GGϕ(·)dZ X_{, X} g′ > . Donc QYg =R (·, g)GGb ϕ(·)dZ X_{, pour tout g de G.} Puisque µZY + µ_(ZX₎

ϕ est une mesure positive bornée et régulière ( bG étant à base

dénombrable), vect{(·, g)GGb ; g ∈ G} = L 2_{( bG,B}

b

G, µZY + µ_(ZX₎

ϕ). Donc, pour tout A

de BGb, 1IA peut se mettre sous la forme

1IA = lim m X j∈Jm αjm(·, gjm)GGb , (1.1) dans L2_(µ ZY + µ_(ZX₎ ϕ), avec |Jm| < +∞.

L’égalité (1.1) est exacte dans L2_(µ

ZY) et L2(µ_(ZX₎

ϕ). En intégrant donc (1.1) par

rapport à ZY _{et (Z}X₎ ϕ, respectivement, il vient : ZY(A) = lim m X j∈Jm αjmYgjm (ZX)_ϕ(A) = lim m X j∈Jm αjm Z (_{·, g}jm)GGb ϕ(·)dZ X_,

d’où, pour tout A de BGb, QZY(A) = lim m X j∈Jm αjm Z (·, gjm)GGb ϕ(·)dZ X = (ZX)_ϕ(A).

Pour tout couple (A, B) d’éléments disjoints de Bb

G, on a donc

< ZY(A), ZX(B) >=< QZY(A), ZX(B) >=< (ZX)_ϕ(A), ZX(B) >= 0

car ZX _{et (Z}X₎

ϕ sont stationnairement corrélées.

Réciproquement, supposons que les m.a. ZX _{et Z}Y _{soient stationnairement corrélées.}

QZY_{( bG) appartenant à vect{X}

g; g ∈ G}, il existe donc un et un seul élément ϕ de

L2_{( bG,B} b

G, µZX) tel que QZY( bG) =R ϕdZX. Démontrons que QZY(A) = (ZX)

ϕ(A),

pour tout A de BGb. Comme HZ

X = vect{X_g; g ∈ G}, il suffit de démontrer que,

pour tout B de Bb G, < QZY(A), ZX(B) >=< (ZX)ϕ(A), ZX(B) >. Or < QZY(A), ZX(B) > = < ZY(A), ZX(B) >=< ZY( bG), ZX(A∩ B) > = < Z ϕdZX, Z 1I_A∩BdZX >= < ϕ, 1I_A∩B >L2_(µ ZX) = < 1IAϕ, 1IB >L2_(µ ZX) =< (Z X₎ ϕ(A), Z X_{(B) > .}

Comme vect{1IA; A∈ BGb} est dense dans L 2_(µ ZY + µ_(ZX₎ ϕ), (·, g)GGb peut se mettre sous la forme : (·, g)GGb = lim m X j∈Jm αjm1IAjm, (1.2) avec |Jm| < +∞ dans L2(µZY + µ_(ZX₎ ϕ).

L’égalité (1.2) est exacte dans L2_(µ

ZY) et L2(µ_(ZX₎

ϕ). En l’intégrant donc par rapport

à ZY _{et (Z}X₎ ϕ, respectivement, on a : Yg = lim m X j∈Jm αjmZY(Ajm) Z (_{·, g)}GGb ϕ(·)dZ X _{= lim} m X j∈Jm αjm(ZX)_ϕ(Ajm).

1.4. FONCTION ALÉATOIRE CONTINUE (F.A.C.) STATIONNAIRE 31 Donc QYg = limmP_j∈Jmαjm(Z X₎ ϕ(Ajm) = R (_{·, g)}GGb ϕ(·)dZ X_{, pour tout g de G. Il} vient alors : < Yg, Xg′ > = < QY_g, X_g′ > = < Z (_{·, g)}GGb ϕ(·)dZ X_,Z ₍ ·, g′)GGb dZ X _> = < (_{·, g)}GGb ϕ(·), (·, g ′₎ b GG>L2_(µ ZX) = Z (_{·, g − g}′)GGb ϕ(·)dµZ X = < (_{·, g − g}′₎ b GGϕ(·), 1Ib G(·) >L2_(µ ZX) = < Z (_{·, g − g}′₎ b GGϕ(·)dZX, Z 1IGbdZ X _> = < QY_g−g′, X₀ > = < Y_g−g′, X₀ >,

d’où la stationnarité corrélée de (Xg)_g∈G et (Yg)_g∈G. ⊓⊔

1.4.2. Cas particuliers de f.a.c. stationnaires. —

1.4.2.1. Processus stationnaires à temps continu. — Lorsque G = R, son groupe dual bG est identifiable à R et la m.a. Z associée à une f.a.c. stationnaire (Xt)_t∈R est

définie sur BR, tribu borélienne de R ; elle est telle que

Xt=

Z

R

ei·tdZ(_·) pour tout réel t.

1.4.2.2. Séries stationnaires. — Soit (Xn)_n∈Z une série stationnaire d’éléments de

H. Cette série peut être considérée comme une f.a.c. stationnaire puisque, Z étant muni de la topologie discrète (toute partie de Z est un ouvert, donc {n} ouvert est un voisinage de n), l’application n ∈ Z 7→ Xn∈ H est continue.

Lorsque G = Z, le dual est identifiable à Π qui possède une structure de groupe Abélien pour la loi λ ⊕ λ′ _{= λ + λ}′_{− 2π[}λ+λ′_+π

2π ].

En effet, munissons Π de la topologie associée à la distance dΠ: (λ, λ′)∈ Π2 7→ |λ − λ′− 2π[

λ_{− λ}′_{+ π}

2π ]| ∈ R+.

La loi interne λ ⊕ λ′ _{confère à Π une structure de groupe qui est compatible avec la}

topologie précédente. Ainsi Π est un groupe topologique.

Pour montrer que bZ et Π sont isomorphes, considérons l’application L : λ ∈ Π → (n ∈ Z 7→ eiλn ∈ {z ∈ C : |z| = 1}) ∈ bZ

qui est un homomorphisme continu et bijectif. Son inverse L−1 _{est également un}

homomorphisme continu. Les groupes bZ et Π sont donc isomorphes. b

Z est compact comme dual de Z, donc Π = L−1_{(bZ) est également compact. Puisque}

Pour tout (λ, n) de Π × Z, on a (Lλ, n)bZZ = e iλn_. Pour tout n de Z : (·, n)ZZb ◦ L = (λ ∈ Π 7→ e iλn _{∈ C) = e}i·n (·, n)bZZ = (e i·n_{)◦ L}−1_.

Il existe donc une m.a. Z′ _{et une seule (cf. Théorème 1.4.1), définie sur B} b

Z à valeurs

dans H telle que Xn=

R

(·, n)ZZb dZ

′_{(·) pour tout n de Z.}

L’application L−1 _{étant continue et mesurable, L}−1_(Z′_{) = Z est une m.a. définie sur}

BΠ (tribu de Borel de Π) et pour tout n de Z, il vient

Z Π ei·ndZ(·) = Z Π ei·ndL−1_(Z′_{)(·) =} Z (ei·n)◦ L−1_dZ′_(·) = Z (_{·, n)}ZZb dZ ′_{(·) = X} n.

Soit Z1 une autre m.a. sur BΠ à valeurs dans H telle que R_Πei·ndZ1(·) = Xn pour

tout n de Z. L(Z1) étant une m.a. définie sur BbZ, on a

Z (·, n)ZZb dL(Z1)(·) = Z (·, n)ZZb ◦ LdZ1(·) = Z ei·ndZ1(·) = Xn

pour tout n de Z. Donc (par unicité) L(Z1) = Z′, d’où Z1 =L−1(Z′) = Z. On peut

ainsi affirmer que

Théorème 1.4.5. — Soit (Xn)_n∈Z une série stationnaire d’éléments de H, il existe

une m.a. Z et une seule définie sur _BΠ à valeurs dans H telle que

Xn=

Z

Π

ei·ndZ(_·) pour tout n de Z.

1.4.2.3. f.a.c stationnaires indicées doublement. — Lorsque G = G1× G2, G1 et G2

étant des groupes Abéliens localement compacts dont les duaux cG1 et cG2 sont à base

dénombrable, le dual bG identifiable à cG1× cG2 est également à base dénombrale. Il a

pour tribu borélienne BG

1⊗BG

2. Signalons que ce dernier point est dû à l’hypothèse :

c

G1 et cG2 à base dénombrable.

Un élément de bG peut se mettre sous la forme (γ1,·)G

1G1(γ2,·)G

2G2 : (g1, g2) ∈ G1× G2 7→ (γ1, g1)G

1G1(γ2, g2)G

2G2 ∈ {z ∈ C : |z| =

1_{}. La m.a. Z associée à une f.a.c. stationnaire (X}g1,g2)_{(g1,g2)∈G1×G2} est donc telle que

Xg1,g2 = Z (·, g1)G 1G1(·, g2)G 2G2dZ(·) pour tout (g1, g2) de G1× G2.

Notons que lorsque G1 = G2, l’application SG

1 : (γ1, γ2)∈ cG1× cG1 7→ γ1+γ2 ∈ cG1,

1.5. MESURES SPECTRALES À VALEURS PROJECTEURS (M.S.V.P.) 33

Aussi, dans le cas où G = Z × Z, un élément du dual est donc du type (n, m)_{∈ Z × Z 7→ e}i(λ1n+λ2m) _{∈ {z ∈ C : |z| = 1}.}

La m.a. associée à une série double stationnaire (Xn,m)_(n,m)∈Z×Z est l’unique m.a. Z

définie sur BΠ⊗ BΠ telle que Xn,m=R ei(·n+·m)dZ(·), pour tout (n, m) de Z × Z.

1.5. Mesures spectrales à valeurs projecteurs (m.s.v.p.)

Définition 1.5.1. — Une mesure spectrale à valeurs projecteurs (m.s.v.p.), notée ε, sur E pour H est une application de E dans P(H) telle que :

(i) ε(A_{∪ B) = ε(A) + ε(B), pour tout couple (A, B) d’éléments disjoints de E ;} (ii) pour toute suite (An)_n∈N d’éléments de E qui converge en décroissant vers ∅,

on a limnkε(An)Xk_H = 0, pour tout X de H ;

(iii) ε(E) = IH.

Reprenant les notations du paragraphe 1.3, on peut alors énoncer la

Théorème-Définition 1.5.1. — On appelle mesure spectrale à valeurs projecteurs image de ε par f , l’application

fε : A∈ E 7→ ε(f−1(A))∈ P(H)

et on vérifie que c’est une m.s.v.p. sur F pour H.

En introduisant par la suite le concept de famille de m.a., il est possible d’associer une m.s.v.p. à un ensemble de m.a. possédant certaines propriétés. De même, nous rappellerons qu’un opérateur unitaire peut s’exprimer (cf. notamment Riesz et Nagy, 1968) comme intégrale stochastique d’une m.s.v.p. et que le Shift-operator (opérateur de décalage) est un opérateur unitaire qui joue un grand rôle dans l’étude d’une série stationnaire. Grâce à l’association famille de m.a. et m.s.v.p. enoncée ci-dessous, nous pourrons expliciter la correspondance entre m.s.v.p. et opérateur unitaire en associant à un opérateur unitaire U la famille de m.a. qui correspondent aux séries (Un_X)

n∈Z.

1.5.1. Mesure spectrale à valeurs projecteurs et mesures aléatoires. — Nous dirons que

Définition 1.5.2. — Une famille de mesures aléatoires stationnairement corrélées (f.m.a.s.c.) _{ZX_{, X ∈ H}, définie sur E à valeurs dans H, est un ensemble de m.a.}

deux à deux stationnairement corrélées et telles que ZX_{(E) = X, pour tout X de H.}

Théorème-Définition 1.5.2. — Si _{ZX_{, X ∈ H} est une f.m.a.s.c. définie sur E}

à valeurs dans H, alors :

(i) pour tout A de _{E, l’opérateur ε(A) : X ∈ H 7→ Z}X_{(A)∈ H est un projecteur}

orthogonal ;

(ii) l’application ε : A ∈ E 7→ ε(A) ∈ P(H) est une m.s.v.p. sur E pour H dite mesure spectrale à valeurs projecteurs associée à la f.m.a.s.c. _{ZX_{, X ∈ H}.}

Démonstration. Pour démontrer le point (i), il suffit de remarquer la propriété suivante

< ZX(A), X′ > = < X, ZX′(A) > (1.3)

pour tout (A, X, X′_{) de E × H × H.}

La linéarité de ε(A) se déduit de la définition même de ε(A) ; quant à sa continuité, elle résulte des relations

kε(A)Xk2 =kZX_(A)k2 _{= µ}

ZX(A)≤ µ_ZX(E) =kZX(E)k

2

=kXk2. Grâce à l’égalité (1.3), on démontre également la symétrie de ε(A) :

< ε(A)X, Y >=< ZX(A), Y >=< X, ZY(A) >=< X, ε(A)Y > .

Le point (i) est donc démontré dès lors que l’idempotence de ε(A) est vérifiée, or : < ε(A)◦ ε(A)X, Y > = < ε(A)X, ε(A)Y >=< ZX_{(A), Z}Y_{(A) >}

= < ZX_{(A), Z}Y_{(E) >=< ε(A)X, Y > .}

Quant au point (ii), il provient du fait que les ZX _{sont des m.a. et que ε(E)X =}

ZX_{(E) = X. ⊓⊔}

La notion que nous venons de développer permet d’associer une m.s.v.p. à une m.a. et, par le Théorème-Définition 1.3.1 et le fait que l’intégrale stochastique est une bijection entre L2_(µ

Z) et HZ, nous vérifions facilement que

Théorème-Définition 1.5.3. — `A toute m.a. Z définie sur E à valeurs dans H, on peut faire correspondre une m.s.v.p. ε, et une seule, sur E pour HZ, telle que

ε(A)( Z

ϕdZ) = Z

1IAϕdZ,

pour tout (A, ϕ) de _{E × L}2

C(E,E, µZ).

Cette m.s.v.p. ε est appelée mesure spectrale à valeurs projecteurs associée à Z et on a

ε(A)(Z(E)) = Z(A).

1.5.2. Mesure spectrale et opérateur unitaire. — Lorsque U est un opérateur unitaire de H (une isométrie de H sur lui même telle que U ◦ U∗ _{= U}∗_{◦ U = I}

H)

et si l’on convient de noter Un _{l’opérateur (U}−1₎−n _{lorsque n est négatif, on établit}

facilement que Un_{◦ U}m _{= U}n+m _{quel que soit (n, m) de Z × Z. Etant donné que}

1.6. FONCTION ALÉATOIRE CONTINUE MULTIDIMENSIONNELLE STATIONNAIRE 35

de H × H, les séries (Un_X)

n∈Z et (UnY )n∈Z sont stationnaires et stationnairement

corrélées.

Si l’on désigne par ZX _{la m.a. associée à (U}n_X)

n∈Z, il est clair que {ZX, X ∈ H}

est une f.m.a.s.c. ; on appelle alors mesure spectrale à valeurs projecteurs associée à U la m.s.v.p. associée à _{ZX_{, X ∈ H}.}

On montre, de façon réciproque en quelque sorte, que lorsque ε est une m.s.v.p. sur BΠ pour H, alors :

(i) pour tout X de H, l’application ZX _{: A∈ B}

Π7→ ε(A)X ∈ H est une m.a. ;

(ii) l’opérateur U : X ∈ H 7→R eiλ1_dZX_{(λ) ∈ H est unitaire de m.s.v.p. associée}

ε.

U est appelé opérateur unitaire déduit de ε.

1.6. Fonction aléatoire continue multidimensionnelle stationnaire

Nous nous plaçons maintenant dans le cas où le C-espace de Hilbert H est un espace de variables aléatoires du type L2

Cp(Ω,A, P), espace noté L2_p, et nous

définis-sons les outils classiquement associés à une f.a.c. stationnaire définie sur cet espace et dite aussi p-dimensionnelle, ainsi que les différentes relations existant avec le cas général standard présenté antérieurement.

Si X est un élément de L2

p, on désigne par eX l’opérateur de Hilbert-Schmidt de

L2_{(P) dans C}p _{qui à f associe IE(fX) =} R _{f XdP et l’application X ∈ L}2

p 7→ eX ∈

σ2(L2(P), Cp) est une isométrie.

Définition 1.6.1. — On dit que Z est une mesure aléatoire p-dimensionnelle (p-m.a.) si Z est une application de E dans L2

p telle que

(i) pour tout couple (A, B) d’éléments disjoints de E :

Z(A_{∪ B) = Z(A) + Z(B) et ]}Z(A)_{◦ ]}Z(B)∗ = 0;

(ii) pour toute suite (An)n∈N d’éléments de E convergeant en décroissant vers ∅,

on a :

lim

n kZ(An)kL2p = 0.

De cette définition, on peut déduire la

Propriété 1.6.2. — Une p-m.a. Z définie sur _{E à valeurs dans L}2

p est une m.a.

définie sur _{E à valeurs dans L}2 p.

Effectivement, du fait que tr[ ]Z(A)_{◦ ]}Z(B)∗] = < Z(A), Z(B) >_L2

p, on déduit

faci-lement qu’une p-m.a. est une aussi une m.a..

De plus, lorsque Z est une p-m.a. définie sur E, on vérifie que l’application MZ : A∈ E 7→ ]Z(A)◦ ]Z(A)

∗

∈ σ2(Cp)

est une mesure “opératorielle” dite mesure spectrale de la p-m.a. Z. Notons, ici, qu’il ne s’agit pas de la notion de mesure spectrale à valeurs projecteurs, abordée ci-dessus.

On peut alors établir l’existence d’une application dMZ

dµZ ∈ [σ2(C

p_)]E _mesurable

de norme µZ-intégrable, telle que pour tout A ∈ E, MZ(A) =

R

1AdM_dµZZdµZ. Cette

application est dite dérivée de MZ par rapport à µZ et est notée par MZ′.

Étant donné une p-m.a. Z, il est défini sur un sous-espace vectoriel de [σ2(Cp)]E

une relation d’équivalence liée à MZ. L’ensemble des classes d’équivalence ainsi

ob-tenues, noté L2

pq(MZ), possède (cf. Boudou et Dauxois, 1994) une structure d’espace

de Hilbert pour le produit scalaire (ϕ, ψ)_{∈ [L}2 pq(MZ)]2 7→ Z tr[ϕ(λ)_{◦ (}dMZ dµZ (λ))_{◦ ψ}∗_(λ)]dµ Z(λ)∈ C.

L’intégrale stochastique, relativement à la p-m.a. Z, peut se définir comme l’unique isométrie de L2

pq(MZ) sur HZ(p, q) = vect{K ◦ Z(A); (A, K) ∈ E ×σ2(Cp, Cq)},

sous-espace fermé de L2

q, qui à 1IAK associe K◦ Z(A) =

R

1IAKdZ, pour tout A ∈ E et

tout K ∈ σ2(Cp, Cq).

On peut alors énoncer la

Définition 1.6.3. — Une f.a.c. stationnaire (Xg)_g∈G définie sur G à valeurs dans

L2

p est appelée f.a.c. stationnaire p-dimensionnelle lorsque

g Xg1 ◦ gXg2

∗

= ^Xg1−g2 ◦ fX0

∗

pour tout couple (g1, g2) d’éléments de G.

Etant donné une f.a.c. stationnaire p-dimensionnelle (Xg)_g∈G (on parle aussi de

f.a.c. p-stationnaire), on montre alors qu’il existe une seule p-m.a. Z, dite p-m.a. associée à (Xg)_g∈G, définie sur BGb à valeurs dans L

2 p telle que Xg = Z (·, g)GGb IC pdZ(·) pour tout g de G.

Réciproquement, si Z est une p-m.a. définie sur BGb alors (

R

(·, g)GGb IC

pdZ(·))

g∈G