L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚13
Calculs dans l’ensemble des nombres complexes
Exercice 196 : Soitz=−
√2 2 +i
√2
2 . Calculerzn pour toutn∈N.
Exercice 197 : D´eterminer la forme alg´ebrique des nombres complexes suivants.
z1= (1−i)(1−2i)(1−3i) ; z2= (2 +i)5 ; z3= 1
12−5i ; z4= 1−i 3 + 2i
Exercice 198 : On posej=−1 2 +
√3 2 . 1. Calculerj2.
2. En d´eduire les relations suivantes.
a) 1 +j+j2= 0 b) j3= 1 c) 1
j =j2=j
Exercice 199 : D´ebusquer l’intrus parmi les nombres complexes suivants.
z1= (2−i)3 z2= 8 +i z3= 9 + 13i
i−1 z4= 2−11i z5= 4 1 +i +9
i
Exercice 200 : Soitα= 3−i
5 + 7i et β = 3 +i
5−7i. D´emontrersans calcul queα+β est un nombre r´eel et que α−β est un nombre complexe imaginaire pur.
Exercice 201 : R´esoudre dansCles ´equations suivantes.
(E1) : (3 + 5i)z= 1−z (E2) : 1
z+i = 3 +i (E3) : z+ 1 z−1 = 2i (E4) : iz= 1−i (E5) : (iz+ 1)(z+ 3i) = 0 (E6) : 1 + 2iz
1 + 2z =i z−1 z+ 3
Exercice 202 : R´esoudre dansCle syst`eme lin´eaire (S) d´efini par : (S) :
(1 +i)z1 − 2i z2 = 2 +i 2i z1 − (1−i)z2 = 3i .
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Exercice 203 : Montrer que la matriceA=
i 1 2−i 1−i
∈ M2(C) est inversible et calculerA−1.
Exercice 204 : R´esoudre dansCles ´equations suivantes.
(E1) : z2+ 106= 0 (E2) : z2=z+ 1
(E3) : z2=z−1 (E4) : z2+ 2z+ 5 = 0
(E5) : z2−√
3z+ 31 = 0 (E6) : z2−4z+ 13 = 0
(E7) : (z2+ 1)(z2+ 2). . .(z2+ 10) = 0 (E8) : (z2−6z+ 10)(z2+ 3z+ 1) = 0
F Exercice 205 : Le but de cet exercice est de r´esoudre dansCl’´equation (E) : z4−(1 +√
2)z3+ (2 +√
2)z2−(1 +√
2)z+ 1 = 0.
1. R´esoudre dansCl’´equation :
z2−(1 +√
2)z+√ 2 = 0.
On pourra utiliser l’identit´ep 3−2√
2 =√
2−1, qui d´ecoule du fait que√
2−1>0 et (√
2−1)2= 3−2√ 2.
2. R´esoudre dansCles ´equations : z+1
z = 1 et z+1
z =√ 2.
3. Pour toutz∈C, on pose
P(z) =z4−(1 +√
2)z3+ (2 +√
2)z2−(1 +√
2)z+ 1.
(a) Soitz∈C∗. Exprimer P(z)
z2 en fonction deZ=z+1 z. (b) R´esoudre l’´equation (E).
2
