des outils efficaces pour la résolution exacte de

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COMPLEXIT´ E PARAM´ ETR´ EE

”des outils efficaces pour la r´ esolution exacte de probl` emes difficiles”

Christophe Paul

Journ´ee scientifique du LIRMM 15 juin 2010

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Un peu d’histoire de la complexit´ e

Th´eorie de la NP-Compl´etude

I Th´eor`eme de Cook (1971) : satestnp-complet (2-sat∈P)

I 21 probl`emes NP-complets de Karp (1972)

Idée admise : les problèmes NP-complets sont tous équivalents !

Complexité desaten fonction de différents paramètres

1. nombren de variables 2ⁿ affectations possibles O(1,49ⁿ) pour 3-sat

2. nombrem de clauses O(1,24^m)

3. longueurl de la formule O(1,08^l)

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Un peu d’histoire de la complexit´ e

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Un peu d’histoire de la complexit´ e

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Un peu d’histoire de la complexit´ e

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Vertex Cover v.s. Independent Set

v u

k-Vertex Cover

< k+1

u v

s t u w

x y t z

e"=(u,w) e=(u,v) e’=(s,t)

O(2^k.(m+n))

(n−k)-Independent Set

IS 1

n!k 2

i VC

O(2^(n−k).(m+n))

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Vertex Cover v.s. Independent Set

v u

k-Vertex Cover

< k+1

u v

s t u w

x y t z

e"=(u,w) e=(u,v) e’=(s,t)

O(2^k.(m+n))

IS 1

n!k 2

i VC

O(2^(n−k).(m+n))

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Vertex Cover v.s. Independent Set

v u

k-Vertex Cover

< k+1

u v

s t u w

x y t z

e"=(u,w) e=(u,v) e’=(s,t)

O(2^k.(m+n))

IS 1

n!k 2

i VC

O(2^(n−k).(m+n))

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Vertex Cover v.s. Independent Set

v u

k-Vertex Cover

< k+1

u v

s t u w

x y t z

e"=(u,w) e=(u,v) e’=(s,t)

O(2^k.(m+n))

IS 1

n!k 2

i VC

O(2^(n−k).(m+n))

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I Constat: De nombreux problèmes difficiles(np-complet) peuvent être résolus de manière efficace sur des données pratiques

I “Mesurer la complexité seulement en fonction de la taille de la donnée signifie ignorer toute information structurelle sur l’instance donnée. . . ”

J. Flum and M. Grohe

I “L’id´ee fondamentale est de restreindre l’explosion

combinatoire, semble-t-il inévitable, qui est responsable de la croissance exponentielle du temps de calcul, à un paramètre spécifique au problème. . . ”

R. Niedermeier

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R. Niedermeier

(12)

R. Niedermeier

(13)

Probl` emes FPT (Fixed Parameter Tractable)

´

etablir une”dichotomie” / hi´erarchie entre les probl`emes difficiles

Unproblème Π paramétré par k est FPT s’il peut être résolu par un algorithme de complexité :

O(f(k).n^O(1))

MAISquid de la complexit´e exacte (constante cach´ee) ?

2^k^kk

......kk

.n^O(1)

Les problèmes paramétrés se classent dans une hiérarchie FPT ⊆W[1]⊆W[2] . . .⊆W[i]⊆. . .⊆W[P]

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Probl` emes FPT (Fixed Parameter Tractable)

´

etablir une”dichotomie” / hiérarchie entre les problèmes difficiles Unproblème Π paramétré par k est FPT s’il peut être résolu par un algorithme de complexité :

O(f(k).n^O⁽¹⁾)

2^k^kk

......kk

.n^O(1)

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Probl` emes FPT (Fixed Parameter Tractable)

´

O(f(k).n^O⁽¹⁾)

2^k^kk

......kk

.n^O(1)

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Probl` emes FPT (Fixed Parameter Tractable)

´

O(f(k).n^O⁽¹⁾)

2^k^kk

......kk

.n^O(1)

Les problèmes paramétrés se classent dans une hiérarchie FPT⊆ W[1]⊆W[2] . . .⊆W[i]⊆. . .⊆W[P]

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Exemples de probl` emes param´ etr´ es (1)

Test de circuits VLSI (SysMic)

Int´egration de BILBOs (Built-in Logic Block Observers) dans les circuits

Feedback Vertex Set: algorithme paramétré en 5^k.nÔ(1)

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Exemples de probl` emes param´ etr´ es (1)

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Exemples de probl` emes param´ etr´ es (1)

(20)

Exemples de probl` emes param´ etr´ es (2)

Découpe par un cutter / contrôle qualité de pièces (ROB)

Objectif : minimiser le nombre de changements de direction

Discrete Milling with Turn Cost algorithme param´etr´e en O(2^k²^log^k.n)

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Exemples de probl` emes param´ etr´ es (2)

Découpe par un cutter / contrôle qualité de pièces (ROB)

Objectif : minimiser le nombre de changements de direction Discrete Milling with Turn Cost

algorithme param´etr´e en O(2^k²^log^k.n)

(22)

Exemples de probl` emes param´ etr´ es (3)

Reconstruction phylog´en´etique (MAB)

Minimum Quartet Inconsistency algorithme param´etr´e en 4^k.n+n⁴

(23)

Exemples de probl` emes param´ etr´ es (3)

Reconstruction phylog´en´etique (MAB)

Minimum Quartet Inconsistency algorithme param´etr´e en 4^k.n+n⁴

(24)

Exemples de probl` emes param´ etr´ es (4)

Intelligence Artificielle - Contraintes (COCONUT)

(a∨b)∧(a∨c)∧(c∨d)∧(a∨d)∧(b∨e)∧(c ∨e)∧(a∨e)

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Exemples de probl` emes param´ etr´ es (4)

Intelligence Artificielle - Contraintes (COCONUT)

(a∨b)∧(a∨c)∧(c∨d)∧(a∨d)∧(b∨e)∧(c ∨e)∧(a∨e)

Almost 2-sat

algorithme param´etr´e en O(15^k∗k∗m³) Mais aussi

I propagation de contraintes

I programmation logique / model checking

I bases de donn´ees

I syst`eme de votes

I optimisation dans les r´eseaux

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Preprocessing - data reduction (kernelisation)

Id´ee - principe

I simplification / filtrage des donn´ees

I r´eduction de la taille des donn´ees

Objectifs

I efficacit´e

I garantie de l’existence d’une solution

I contrˆole de la taille de l’instance r´eduite

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Kernel (1): un probl` eme g´ eom´ etrique

Existe-t-il k lignes couvrant l’ensembleS de points ?

(28)

Kernel (1): un probl` eme g´ eom´ etrique

Existe-t-il k lignes couvrant l’ensembleS de points ? Observation 1: On peut se restreindre aux lignes générées par les paires de points deS

(29)

Kernel (1): un probl` eme g´ eom´ etrique

Observation 2: Si une ligneL contient au moinsk+ 1 points, alors elle appartient la solution (si elle existe) (e.g. ici k = 3)

⇒ supprimerLet soustraire 1 `a k

(30)

Kernel (1): un probl` eme g´ eom´ etrique

Observation 2: Si une ligneL contient au moinsk+ 1 points, alors elle appartient la solution (si elle existe) (e.g. ici k = 3)

⇒ supprimerLet soustraire 1 `a k

⇒ l’instance r´eduite contient au plusk² points.

(31)

Kernel (2)

(G’,k’)

|G’¦=f(k) poly time

(G,k)

Unekernelisationpour un problème paramétré Π est un algorithmepolynomialqui étant donnée une instance (G,k) calcule une instanceéquivalente (G⁰,k⁰) telle quek⁰ =f(k).

Un probl`emeπestFPT ssiil admet unekernelisation

I Quels probl`emes admettent un noyau / kernel de taille polynomiale ?

O( I + k)j

(J,k’) (I ,k)t

(I ,k)

(I ,k)₁ ₂ (I ,k)₃

Théorème [Bodlaender et al.] Tout problème NP-completcomposable n’admet pas de noyau polynomial sauf siPH = Σ³_p

(32)

Kernel (2)

(G’,k’)

(G,k)

O( I + k)j

(J,k’) (I ,k)t

(I ,k)

(I ,k)₁ ₂ (I ,k)₃

(33)

Kernel (2)

(G’,k’)

(G,k)

O( I + k)j

(J,k’) (I ,k)t

(I ,k)

(I ,k)₁ ₂ (I ,k)₃

(34)

Kernel (2)

(G’,k’)

(G,k)

O( I + k)j

(J,k’) (I ,k)t

(I ,k)

(I ,k)₁ ₂ (I ,k)₃

(35)

L’exemple de Edge Clique-Cover

y x

Peut-on couvrir les arˆetes d’un graphe par au plusk cliques ?

Edge Clique-Coveradmet un noyau de taille 2^k sommets.

Supposons qu’il existek cliquesC1. . .Ck couvrant E.

A chaque sommetx on asscocie un verteur C de k bits tel que C[x,i] = 1 ⇐⇒ x∈Ci

Obs. : ∀i ∈[k]C[x,i] =C[y,i] ssiN[x] =N[y] Probl`eme ouvert

Edge Clique-Coveradmet-il un noyau polynomial ?

(36)

L’exemple de Edge Clique-Cover

y x

R`egles de r´eduction

1. Supprimer les sommets isol´es

2. S’il existe deux sommetsx ety tels que N[x] =N[y], supprimer l’un des deux sommets.

Supposons qu’il existek cliquesC₁. . .C_k couvrant E.

A chaque sommetx on asscocie un verteur C de k bits tel que C[x,i] = 1 ⇐⇒ x∈C_i

Obs. : ∀i ∈[k]C[x,i] =C[y,i] ssiN[x] =N[y] Probl`eme ouvert

(37)

L’exemple de Edge Clique-Cover

y x

A chaque sommetx on asscocie un verteurC de k bits tel que C[x,i] = 1 ⇐⇒ x∈Ci

Obs. : ∀i ∈[k]C[x,i] =C[y,i] ssiN[x] =N[y]

Probl`eme ouvert

(38)

L’exemple de Edge Clique-Cover

y x

A chaque sommetx on asscocie un verteurC de k bits tel que C[x,i] = 1 ⇐⇒ x∈Ci

Obs. : ∀i ∈[k]C[x,i] =C[y,i] ssiN[x] =N[y]

Probl`eme ouvert

(39)

Conclusion

I Algorithmes FPT :techniques efficaces (et souvent assez simples) pour la r´esolutionexactede probl`emes difficiles

I Kernels : cadre th´eorique pour ´etudier la notion de pre-processing

I Méthodes opérationellessur des grandes données (e.g.

clustering) en mixant les techniques de kernelisation et arbres de recherche born´ee