Universit´e Claude Bernard Lyon 1 M1 EADM
Ann´ee 2012-2013 UE MAT1076M
UE2 - Probabilit´es : Partiel du 9/11/2012 Dur´ee : 1h30
Les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es. La qualit´e de la r´edaction sera prise en compte dans la notation.
Questions de cours
1. Donner la d´efinition d’un syst`eme complet d’´ev´enements sur un espace Ω muni d’une mesure de probabilit´e P.
2. ´Enoncer la formule de Bayes (concernant un ´ev´enement A et un syst`eme complet d’´ev´enements (Bn)).
3. D´evelopper le calcul (fait en cours) de la variance d’une variable al´eatoire X de loi binomiale (n, p), `a partir de l’expression de la loi. On pourra supposer l’esp´erance connue.
4. Soit X une variable al´eatoire `a densit´e. Donner la d´efinition de la densit´e f de X ainsi qu’une expression de la fonction de r´epartition F de la loi de X et des esp´erances E(X) et de E(X2), `a l’aide de f . 5. Donner la d´efinition de la loi conjointe et des lois marginales d’un couple de variables al´eatoires discr`etes
(X, Y ). Comment calcule-t-on les lois marginales `a partir de la loi conjointe ? Peut-on d´eterminer la loi conjointe `a partir des seules lois marginales ?
Exercice 1. On consid`ere la fonction f : R → R, d´efinie pour tout x ∈ R, par f (x) = ae−x1[0,20[(x),
o`u a est une constante.
1. Pour quelle valeur de a la fonction f est-elle la densit´e d’une mesure de probabilit´e sur R ?
A partir de maintenant, la constante a vaut la valeur obtenue `` a la question 1 et on note X une variable al´eatoire de densit´e f .
2. Montrer que X est une variable al´eatoire positive. Calculer P(X = 3), P(X ≥ x) pour tout x ∈ R puis P(X ∈ [1, 2]).
3. Calculer l’esp´erance et la variance de X.
4. D´eterminer la loi de Y = (X − 1)2.
5. D´eterminer la loi de Z = [X], o`u [x] d´esigne la partie enti`ere du r´eel x.
Exercice 2. Trois prisonniers (appelons-les A1, A2 et A3) sont enferm´es dans le couloir de la mort, respec- tivement dans les cellules C1, C2 et C3. Le num´ero de l’une des cellules a ´et´e tir´e au sort, et le prisonnier qui y vit sera graci´e. Deux des prisonniers sont ainsi condamn´es `a mort, le troisi`eme a la vie sauve... mais aucun d’entre eux ne connaˆıt son sort. Le prisonnier A1 demande au gardien, qui, lui, connaˆıt leur destin´ee, de lui d´esigner parmi les deux autres cellules, une cellule conduisant `a la mort. Celui-ci lui montre alors C2. A1 le remercie en lui disant :« Avant, j’avais deux chances sur trois d’ˆetre ex´ecut´e, maintenant, je n’en ai plus qu’une sur deux ».
1. Le prisonnier a-t-il raison de croire que sa probabilit´e d’ˆetre ex´ecut´e a ´et´e modifi´ee par la r´eponse du gardien ? Pour r´epondre `a cette question, on pourra consid´erer les variables al´eatoires G et D donnant respectivement le num´ero de la cellule « graci´ee » et celui de la cellule d´esign´ee par le gardien et r´e´ecrire `a l’aide de ces variables les informations donn´ees dans l’´enonc´e (attention en particulier
`
a la traduction de l’information donn´ee par le gardien !). On suppose bien entendu que le gardien ne ment pas, n’a pas de pr´ef´erence pour l’un ou l’autre des prisonniers, et que le prisonnier graci´e est choisi au hasard.
2. Le gardien propose alors `a A1 changer de cellule. Pensez-vous que si A1 va dans C3, sa probabilit´e de survie augmente ?
Tournez SVP
Exercice 3. Soit p ∈ [0, 1[ un r´eel fix´e. On note q = 1 − p et on consid`ere un couple (X, Y ) de variables al´eatoires discr`etes dont la loi conjointe est donn´ee par :
Pour tout (i, j) ∈ N2, P(X = i, Y = j) =
0 si i<j p2q2i si i=j 2p2qi+j si i>j
1. V´erifier que l’on a bien donn´e la loi conjointe d’un couple de variables al´eatoires `a valeurs dans N2. Repr´esenter graphiquement l’ensemble (X, Y )(Ω) ∩ [0, 5]2.
2. D´eterminer la loi de X et celle de Y .
3. Les variables X et Y sont-elles ind´ependantes ? Justifier !
4. D´eterminer la loi conditionnelle de Y sachant {X = i} pour i = 0 puis pour tout i ∈ N∗ fix´e.
5. Calculer P(X = Y ).
6. D´eterminer la loi de X − Y .
7. Calculer, pour tout x ∈ [0, 1[, la s´erie P
i≥0ixi; en d´eduire E(X) et E(Y ).
8. On consid`ere deux variables al´eatoires U et V ind´ependantes et de mˆeme loi v´erifiant, pour tout i ∈ N, P(U = i) = P(V = i) = pqi. On note ˜X = max(U, V ) et ˜Y = min(U, V ). Montrer que le couple ( ˜X, ˜Y ) est de mˆeme loi que le couple (X, Y ).
9. On rappelle que E(U ) = 1−pp . En utilisant ce rappel et la question pr´ec´edente, d´eterminer E(XY ) puis cov(X, Y ).
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