Transport optimal dans le groupe de Heisenberg

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Séminaire GT3

Nicolas JUILLET

Institut Fourier (Grenoble), Institut für angewandte Mathematik (Bonn)

Nicolas JUILLET Transport optimal dans le groupe de Heisenberg

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Plan de l’exposé

1 Notations et définitions du transport optimal

2 Le premier groupe de Heisenberg, estimée clef

3 Deux résultats

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Transport optimal dans le groupe de Heisenberg Notations et définitions du transport optimal

Espace géodésique

Dans un espace métrique(X,d),γ: [0,1]→X est une géodésique si pour tout s,s⁰∈[0,1]

d(γ(s),γ(s⁰)) =|s−s⁰|d(γ(0),γ(1)).

Un espace métrique(X,d)est dit géodésique si pour tout(p,q)il y a une géodésiqueγ^{de p à q.}

Quandγest unique, on définit la function interpolation par

M

^s₍_p_,_q_{) =}_γ(_s₎_.

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Entropie de Boltzmann

L’ entropie d’une mesure de probabilitéµde densitéρest donnée par Ent(ρν|ν) =^Z ρ^ln(ρ)(^x)dν(^x).

Siµest singulière, Ent(µ) = +∞^.

Grande entropie:µconcentrée sur peu d’espace.

Petite entropie:µremplit beaucoup d’espace.

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Transport optimal dans le groupe de Heisenberg Notations et définitions du transport optimal

Un espace(X,d,ν)^{vérifie CD}(0,+∞)^si

∀µ₀,µ₁∈

P

₂₍_X₎absolument continues, il existe une géodésique(µ_s)_s_∈[₀_,₁_]telle que s∈[0,1]→Ent(µs|ν)∈Rest convexe.

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Le groupe de HeisenbergHestR³=C×Ravec la structure multiplicative : (x,y,t)·(x⁰,y⁰,t⁰) = (z,t)·(z⁰,t⁰) = z+z⁰,t+t⁰−^Im(zz⁰)

2

! .

La mesure de Lebesgue

L

³est invariante par translation à gauche.

Les champs de vecteurs invariants à gauche X= ∂

∂^x−^y 2

∂

∂^t ^et ^Y= ∂

∂^y+^x 2

∂

∂^t et T= [X,Y] =_∂^∂_tengendrent l’espace tangent en tout point.

d_c(p,q) =inf γ

Z₁

0

q

a²(s) +b²(s)ds

oùγest horizontale:

γ˙(s) =a(s)X(γ(s)) +b(s)Y(γ(s)).

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Transport optimal dans le groupe de Heisenberg Le premier groupe de Heisenberg, estimée clef

Géodésiques de H _.

Une courbe est horizontale si et seulement si la troisième coordonnée évolue comme l’aire algébrique balayée par la projection complexe.

La longueur des courbes horizontales est exactement la longueur de leurs projetées surC_.

Les géodesiques deH₁sont les courbes horizontales dont la projection surC est un arc cercle ou une droite.

(8)

Géodésiques de H _.

(9)

Transport optimal dans le groupe de Heisenberg Le premier groupe de Heisenberg, estimée clef

Géodésiques de H _.

(10)

L’estimée clef

Estimée clef

Pour tout e∈H, L’application de contraction

M

^s

e :f→

M

^s₍_e_,_f₎est différentiable et Jac(

M

^s

e)(f)≥s⁵. Cas d’égalité : e and f sont sur une droite.

Par conséquent(H,d_c,

L

³₎vérifie MCP(0,5):

Propriété de Contraction de Mesure MCP(0,N)pour un espace(X,d,ν)^: Pour tout point e∈X , pour tout F⊂X et pour tout s∈[0,1],

ν(

M

^s₍_e_,_F₎₎_≥_s^N_ν(_F_).

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Transport optimal dans le groupe de Heisenberg Deux résultats

Premier résultat

Théorème (Ambrosio, Rigot, 2004)

Soitµ₀,µ₁∈

P

₂₍H)tels queµ₀est absolument continue. Alors il existe un unique couplage optimalπ. Il s’agit deπ= (Id⊗T)#µ₀où T est une application. De plus il existe une unique géodesique entre p et T(p)(µ0-presque surement).

Soit T_s(p) =

M

^s₍_p_,_T₍_p₎₎. Il y a une unique géodésique(µ_s)_s_∈[₀_,₁_]entreµ₀etµ₁. Celle-ci est définie parµ_s=

M

^s_(µ₀_,µ₁_{) = (}_T_s₎_#_µ₀_.

Question ouverte (Ambrosio, Rigot)

Soitµ₀une mesure absolument continue et s<1. la mesureµ_sest-elle aussi absolument continue?

Théorème (Figalli, J.)

Soit(µs)_s_∈[₀_,₁_]une géodésique de

P

₂₍H)etµ0absolument continue par rapport à

L

³. Alors pour tout s∈[0,1),µsest aussi absolument continue.

(12)

Premier résultat

P

Soit T_s(p) =

M

^s_(µ₀_,µ₁_{) = (}_T_s₎_#_µ₀_.

P

L

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Premier résultat

P

Soit T_s(p) =

M

^s_(µ₀_,µ₁_{) = (}_T_s₎_#_µ₀_.

P

L

(14)

Courbure de Ricci synthétique

Nouvelles définitions de courbure de Ricci positive pour les espaces métriques mesurés(X,d,ν):

Propriété de Contraction de Mesure MCP(K,N)(Sturm; Ohta 2006) Courbure-Dimension CD(K,N)(Lott - Villani; Sturm 2006)(Bakry - Émery)

CD(0,N)⇒Brunn-Minkowski(0,N)⇒MCP(0,N).

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Courbure de Ricci synthétique

Nouvelles définitions de courbure de Ricci positive pour les espaces métriques mesurés(X,d,ν):

Propriété de Contraction de Mesure MCP(K,N)(Sturm; Ohta 2006) Courbure-Dimension CD(K,N)(Lott - Villani; Sturm 2006)(Bakry - Émery)

CD(0,N)⇒Brunn-Minkowski(0,N)⇒MCP(0,N).

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Second résultat

Théorème (J.)

Pour(H,

L

³_,_d_c₎, le groupe de Heisenberg avec la mesure de Lebesgue et la distance de Carnot-Carathéodory

MCP(0,N)est vraie si et seulement si N≥5, CD(0,N)et BM(0,N)sont faux pour tout N.

(17)

Inégalité de Brunn-Minkowski BM ( 0 ,

N

) :

Un espace(X,d,ν)satisfait l’inégalité de Brunn-Minkowski BM(0,N)si Pour tout E,F⊂X et pour tout s∈[0,1],

ν¹^/^N(

M

^s₍_E_,_F₎₎_≥₍₁₋_s_)ν¹^/^N₍_E_{) +}_s_ν¹^/^N₍_F_).

En particulier siν(E) =ν(F), ν(

M

¹^/²₍_E_,_F₎₎_≥^ν

1/N(E) +ν¹^/^N(F)

2 =ν(E) =ν(F).

(18)

Éléments de démonstration

p

p⁰ 0_H

a

b⁰ b

a⁰ E F

Soit F une petite boule de centre p telle que 0_Het p sont sur une “mauvaise”

géodésique. Pour E on prend l’“inverse géodésique” de F .

(19)

Éléments de démonstration

p

p⁰ 0_H

a

b⁰ b

a⁰ E F

Soit F une petite boule de centre p telle que 0_Het p sont sur une “mauvaise”

géodésique. On prend E l’“inverse géodésique” de F . Or

L

³₍_E_{) =}

L

³₍_F₎_.

On veut démontrer

L

³

M

¹^/²₍_E_,_F₎_<

L

³₍_F₎et ainsi que BM(0,+∞)est absurde.

(20)

Éléments de démonstration

p

p⁰ 0_H

a

b⁰ b a⁰

Pour tout e∈E, l’ensemble contracté

M

¹^/²₍_e_,_F₎est une sorte d’ellipsoïde qui contient 0_H. Le volume d’une telle ellipsoïde est

2⁻⁵

L

³₍_F_).

(21)

Éléments de démonstration

p

p⁰ 0_H

a

b⁰ b a⁰

M

2⁻⁵

L

³₍_F_).

(22)

Éléments de démonstration

p p⁰

0_H

a

b⁰ b a⁰

M

2⁻⁵

L

³₍_F_).

(23)

Éléments de démonstration

p

p⁰ 0_H

a

b⁰ b a⁰

L’ensemble milieu

M

¹^/²₍_E_,_F₎est la réunion de ces ellipsoïdes.

(24)

Éléments de démonstration

p

p⁰ 0_H

a

b⁰ b a⁰

Toutes contiennent 0_H:

M

¹^/²₍_E_,_F₎est une ellipsoïde de taille 2. Son volume est 2³ ·2⁻⁵

L

³₍_F₎₌

L

³₍_F₎

4 . Alors

L

³₍

M

¹^/²₍_E_,_F₎₎_<

L

³₍_F_{) =}

L

³₍_E_).

Transport optimal dans le groupe de Heisenberg