1.1 Sous-groupe engendr´ e

108 Exemples de parties g´ en´ eratrices d’un groupe. Applications.

R´ef´erences : Rombaldi, Perrin, Alg`ebre Gourdon, Cortella, Cadre : Soit (G,+) un groupe.

1 G´ en´ eration d’un groupe

1.1 Sous-groupe engendr´ e

Lintersection d’une famille quelquonque de sous-groupe de G est un sous-groupe de G.

D´efinition 1.Soit X une partie de G.

L’intersection des sous-groupes de G qui contiennnent X est un sous-groupe de G.

On l’appelle sous-groupe engendr´e par X, et on le notehXi.

De plus, siG=< X >, alors X est appel´ee partie g´en´eratrice de G.

Th´eor`eme 2.Soit X,Y deux parties de G.

— X ⊂< X >

— si X ⊂Y, alors,< X >⊂< Y >.

— Les ´el´ements de X sont de la formex^a₁¹...x_ra_ravec r∈N^∗,a_i=±1 etx_i∈X.

Exemple 3. — ∀a∈G,< a >={a^m|m∈Z}

— si a et b commutent dans G, < a, b >= {a^mbⁿ | (m, n) ∈ Z²}. On `a une g´en´eralisation pour p ´el´ements qui commutent deux `a deux.

D´efinition 4. — Si G est engendr´e par une partie g´en´eratrice X finie, il est dit de type finie.

— G est dit monog`ene si il est engendr´e par un unique ´el´ement x.

— G est dit cyclique si il est fini et monog`ene

Exemple 5. — Le groupe (Z,+) est monog`ene engendr´e par 1.

— Ses sous-groupes sont les (nZ,+) ( 06=n), qui sont monog`enes engendr´es par n.

D´efinition 6.On appelle groupe d´eriv´ee de G le groupe engendr´e par les commu- tateurs, c’est-`a-dire les ´el´ements de la formeaba⁻¹b⁻¹. Il s’agit d’un sous-groupe de G

Remarque 7.Si G est ab´elien, alors son groupe d´eriv´ee est{e}.

1.2 Ordre d’un ´ el´ ement

D´efinition 8.Un ´el´ement a de G est dit d’ordrep∈N^∗ si le sous-groupe< a >est finie de cardinal p. On `a alors< a >={e, a, a², ..., a^p−1}. Si cet ensemble n’est pas finie, a est dit d’ordre infinie.

Exemple 9. — e est d’ordre 1 dans G

— 1 est d’ordre infini dans (Z,+)

— DansSn, un cycle de longueur l est d’ordre l.

—

Th´eor`eme 10.Si G est fini d’ordre n, alors l’ordre de tout ´el´ement de G divise n.

Th´eor`eme 11. Soit a un ´el´ement de G d’ordre p. On `a l’´equivalence a^q =e ⇐⇒

p|q

Th´eor`eme 12.Soit G d’ordre fini. Soit et g dans G qui commutent.

— hg est d’ordre finie qui diviseθ(h)∨θ(g).

— Si < h >T< g >={e}, alors θ(hg) =θ(h)∨θ(g)

— si les ordres de hetg sont premiers entre eux, alors θ(hg) =θ(h)θ(g)

Th´eor`eme 13.Soit G d’ordre fini ab´elien. Alors il existe un ´el´ement d’ordre le PPCM de tout ses ´el´ements. Il est appel´e l’exposant de G.

2 Etude des groupes ab´ eliens

2.1 Groupes cycliques

Exemple 14. — Le groupe ( Z nZ

,+) est cyclique `a n ´el´ements.

— Le groupe des racines n-`eme de l’unit´en est cyclique `a n ´el´ements.

Th´eor`eme 15.Tout groupe cyclique `a n ´el´ement est isomorphe `a( Z nZ,+).

Th´eor`eme 16.SoitG=< a > cyclique `a n ´el´ement.G=< a^k>⇐⇒ k∧n= 1 Corollaire 17. Soit G cyclique `a n ´el´ements. G poss`edeϕ(n)´el´ements g´en´erateurs.

Corollaire 18.Un groupe de cardinal p premier est cyclique, et tout ´el´ement de G en est un g´en´erateur.

Th´eor`eme 19(Sous-groupe d’un groupe cyclique). Soit G cyclique d’ordre n, G=< a >.

— Les sous-groupes de G sont tous cyclique d’ordre d qui divise n.

— Soit d un diviseur de n. Alors il existe un unique sous-groupe de G d’ordre d, il s’agit de H =< a^nd >= {x ∈ G | θ(x) |}.. Les g´en´erateurs de H sont les

´

el´ements d’ordre d.

Application 20. Soitn∈N^∗.n=X

d|n

ϕ(d).

Application 21. SoitKun corps. Tout sous-groupe du groupe multiplicatif(K^∗,×) est cyclique.

2.2 Th´ eor` eme de structure des groupes ab´ eliens finis

Dans toute cette partie, G est un groupe ab´elien fini.

Lemme 22.Soit H un sous-groupe de G. Tout morphisme de groupe de H dansC^∗ peut se prolonger en un morphisme deG7→C^∗0

Lemme 23. Soitg0 d’ordre m l’exposant de G. On suppose que m 6=n−1 et on noteK=< g0>. Alors

— Il existe un unique morphisme ϕ0:K7→C^∗0 tel queϕ0(g0) =w=e^2iπm

— Le morphisme pr´ec´edent se prolonge en ϕ sur G, et l’application : :< g0>×ker(ϕ) → G

(g^k₀, h) 7→ g^k₀h est un isomorphisme de groupe.

Th´eor`eme 24(Th´eor`eme de structure des groupes ab´eliens finis). Il existe une suite d’entiers(ni)i finis tel quen1|n2|...|nr(n1>1) et tel queGest isomorphe au produit de groupe cyclique

r

Y

i=1

Z niZ.

3 Le groupe sym´ etrique S _n

3.1 Les g´ en´ erateurs de S

Th´eor`eme 25 (D´ecomposition en cycle `a support disjoinct).Toute per- mutation σ ∈ S_n se d´ecompose en un produit de cycle `a support disjoinct. Cette d´ecomposition est unique `a l’ordre pr`es.

Exemple 26.On donne un exemple simple.

Application 27. Soitσ∈Sn et

r

Y

i=1

cisa d´ecomposition en cycle `a support disjoinct.

Alors l’ordre de σest ´egal au ppcm des longueurs des cyclesci.

Th´eor`eme 28.Tout σ ∈ Sn se d´ecompose en un produit de transpositions. Les transpositions engendrent doncSn.

Exemple 29.On reprend l’exemple pr´ec´edent que l’on simplifie.

Proposition 30.Les familles suivantes engendrent Sn :

— {(1, k)|1< k < n+ 1}

— {(k, k+ 1) |1< k < n+ 1}

— {(1,2),(1,2, ..., n)}

D´efinition 31.ϕest un automorphisme int´erieur deSn si il existeαtel que ϕ(g) =αgα⁻¹ ∀g∈Sn.

Th´eor`eme 32.Pour n6= 6, tout les automorphismes de Sn sont int´erieurs.

3.2 Sous-groupes de S

Proposition 33.Sin >2,Z(Sn) ={Id}

D´efinition 34.On d´efinit la signature de σ ∈ Sn par ε(σ) = (−1)^p o`u σ est le produit de p transpositions.

Th´eor`eme 35.L’applicationεest l’unique morphisme de S_nC^∗ non-trivial.

D´efinition 36.On appelle groupe alt´ern´ee An le noyau de ε. Il s’agit d’un sous- groupe deSn.

Proposition 37.Les familles suivantes engendrent An :

— Les 3-cycles

— {(1,2, k)| 2< k < n+ 1}

— {(k, k+ 1, k+ 2)| 2< k < n+ 1}

Exemple 38.On d´ecompose une permutation deA7 en 3-cycle (voir rombaldi)

Lemme 39.Pourn >4 Les 3-cycles sont conjugu´ees dans An. Th´eor`eme 40.Pour n >4,A_n est simple.

Proposition 41.Pourn >4, le groupe d´eriv´ee deAn estAn.

4 Application en alg` ebre lin´ eaire

4.1 Le groupe lin´ eaire Gl(E)

Cadre : Soit E un Kespace vectoriel de dimension finie n.

D´efinition 42.On appelle groupe lin´eaire de E l’ensemble des endomorphismes de E dans E muni de la loi composition.

Il est isomorphe `a Gl<sub>n</sub>(K), l’ensemble des matrices inversibles de taillen×n`a coef- ficients dansK.

On noteSl_n(K) l’ensemble des matrices deGl_n(K) de d´eterminant 1. C’est un sous- groupe deGl_n(K).

D´efinition 43.Soitλ∈K^∗.

On appelle transvection toute matrice de la formeTi,j(λ) =In+λEi,j. On appelle dilatation toute matrice de la formeDi(λ) =In+ (λ−1)Ei,i. *

Leurs effets par multiplication sur une matrice M sont les suivants : MTi,j(λ) Ti,j(λ)M MDi(λ) Di(λ)M

Cj←Cj+λCi Li←Li+λLj Ci←λCi Li ←λLi

Pivot de Gauss. On explique le principe du pivot de Gauss pour une matrice inver- sible.

Exemple 44.Exemple sur une matrice 3×3.

Th´eor`eme 45.Les matrices de transvections engendrentSLn(K). Les matrices de transvections et dilatations engendrentGln(K).

4.2 Le groupe orthogonal

[Gri]

D´efinition 46.On appelle groupe orthogonal de Gln(K) l’ensemble {P ∈ Gln(K)|^tP P =In. Il s’agit d’un sous-groupe deGln(K).

Exemple 47.On donne une matrice simple dansO_n(K) Th´eor`eme 48 (R´eduction des matrices orthogonales).

D´efinition 49. — On d´efinit les retournements

— On d´efinit les r´eflexions

Th´eor`eme 50.Les r´eflexions et les retournements engendrent O_n(R).