Feuille d’exercices 2

Universit´e Joseph Fourier

MAT233 Fonction de plusieurs variables 2013-2014

Feuille d’exercices 2

Exercice 1 On fixe dans cet exercice un entierd>1.

1) Montrer que, si f et g sont deux fonctions continues d´efinie sur un sous-ensemble AdeR^d, alorsf+gest aussi une fonction continue.

2) En utilisant la d´efinition, montrer que l’applicationR²→R, (x, y)7→xyest conti- nue.

3) En d´eduire que, sif etgsont deux fonctions continues d´efinie sur un sous-ensemble AdeR^d, alorsf gest aussi une fonction continue.

Exercice 2 1) Montrer que{(x, y)∈R² : 0< x <1} est un ouvert deR². 2) Montrer que{(x, y)∈R² : 06x6y}est un ferm´e deR².

3) Le sous-ensembleA={(x, y)∈R² : 0< x²+y²61}est-il un ferm´e ? D´eterminer l’adh´erence deA.

4) Soit f une fonction surR. On d´esigne par Γ_f le sous-ensemble{(x, f(x)) : x∈R} deR². Montrer que Γ_f est un ferm´e sif est une fonction continue.

Exercice 3 Soitd>1 un entier. On dit qu’une fonctionf : R^d →R est convexe si, pour tous pointsξ, η∈R^d et toutλ∈[0,1], on a

f(λξ+ (1−λ)η)6λf(ξ) + (1−λ)f(η).

Si {ξ1, . . . , ξ_n} est une famille de points de R^d, on appelle combinaison convexe de ξ₁, . . . , ξ_n tout point deR^d qui peut s’´ecrire sous la forme

λ₁ξ₁+· · ·+λ_nξ_n,

o`u λ1, . . . , λn sont des nombres positifs tels que λ1+· · ·+λn= 1.

1) Soitk.k une norme surR^d. Montrer que la fonction k.k:R^d→Rest convexe.

Dans le reste de l’exercice, on fixe une fonction convexe f d´efinie surR^d. On fixe en outre un pointξ∈R^d.

2) Soit h un ´el´ement de R^d. Montrer que l’application deR\ {0} vers R, qui envoie t >0 en

f(ξ+th)−f(ξ)

t ,

est croissante.

3) En d´eduire que, pour tout ´el´ementhdeR^d, la limite

t→0+lim

f(ξ+th)−f(ξ) t

existe dansR.

4) Soit{e1, . . . , ed}la base canonique deR^d. On d´esigne parAla famille des points de la formeξ+ε1e1+· · ·+εded, o`uεi ∈ {1,−1} quel que soiti∈ {1, . . . , d}. Montrer que tout point dans B(ξ; 1) := {η ∈ R^d : kη−ξksup < 1} est une combinaison convexe des points dansA.

5) En d´eduire que la fonctionf est born´ee dansB(ξ; 1).

6) En d´eduire que la fonctionf est continue.

7) Montrer que, si la restriction def `aB(ξ; 1) atteint son maximum, alors la fonction f est n´ecessairement constante surB(ξ; 1).

8) Soit B(ξ; 1) la boule unit´e ferm´ee {η ∈ R^d : kη −ξksup 6 1}. Montrer que la restriction de la fonction f `a B(ξ; 1) atteint son maximum en un point η tel que kη−ξksup= 1.

Exercice 4 Soitf la fonction de deux variables r´eelles d´efinie par f(x, y) =x³+y³

x²−y².

1) D´eterminer le domaine de d´efinition def et montrer que c’est un ouvert de R². Soit ∆ l’ensemble{(x, x) : x∈R} ⊂R²et g:R²\∆→Rd´efinie par

g(x, y) =x²−xy+y² x−y .

2) Montrer que la fonctiong est de classeC¹ et d´eterminer sa diff´erentielle.

3) Quelle est la relation entre les fonctionsf etg?

4) Soit xun nombre r´eel non-nul. Montrer que la fonctionf ne poss`ede pas de limite en (x, x). On peut par exemple consid´erer la suite ((x, x−1/n))n>1 dansR^d\∆.

On d´esigne paregla fonction sur Ω := (R²\∆)∪ {(0,0)} telle queeg(x, y) =g(x, y) si (x, y)∈R²\∆ etg(0,e 0) = 0.

Pour tout nombre r´eela6= 1, soitD_ala droite dansR²d´efinie par l’´equationy=ax.

Soit en outreD_∞ la droite d´efinie par l’´equationx= 0.

5) Montrer que, pour touta∈(R\ {1})∪ {∞}, la restriction de eg `a la droiteDa est continue.

6) Pourr >0 fix´e, calculer

lim sup

θ→^π₄

eg(rcosθ, rsinθ) .

7) En d´eduire que, pour toutr >0 sup

ξ∈Ω,kξk_`2<r

|eg(ξ)|= +∞.

8) La fonctioneg est-elle continue sur Ω ? Justifier votre r´eponse.