TP par disjonction de cas

TP: Démontrer par disjonction de cas. 1ère S Objectifs: travailler la définition du sens de variation et les démonstrations de propriétés du cours; mettre en œuvre un raisonnement par disjonction de cas;

DEMONTRER LA PROPRIETE 2 DU COURS:

Énoncé de la propriété:

Si u est strictement monotone sur un intervalle I,

- si 0 , alors la fonction u a même sens de variations que u sur I.

- si 0 , alors la fonction u a le sens de variation contraire à celui de u sur I.

Méthode:

Il faut en fait démontrer deux propriétés: l'une dans le cas de 0 et l'autre dans le cas où 0 . De plus, on ne connaît pas le sens de variations de la fonction u ! On sait par hypothèse qu'elle est soit strictement croissante, soit strictement décroissante sur I.

L'idée de la démonstration: la disjonction des cas.

On examinera séparément tous les cas possibles selon le signe de  et le sens de variation de u.

Travail à faire:

1) Rédiger la démonstration pour 0 et u strictement croissante sur I. Si difficultés pour démarrer, relire celle du cours concernant P1.

2) Finir de démontrer la propriété en examinant les autres cas.

DEMONTRER LA PROPRIETE 3 DU COURS SUR LES FONCTIONS COMPOSEES:

Énoncé de la propriété:

Soit u une fonction strictement croissante ou décroissante sur un intervalle I, à valeurs dans un intervalle J.

Soit une fonction v strictement croissante ou décroissante sur J.

➢ Si les sens de variation de u sur I et v sur J sont les mêmes, alors v°u est strictement croissante sur I.

➢ Si les sens de variation de u sur I et v sur J sont contraires, alors v°u est strictement décroissante sur I.

Méthode:

1) Supposer que u est strictement croissante de I vers J et v strictement croissante sur J. Etablir des inégalités pour des réels a et b en prenant a < b.

2) Que peut-on dire de u(a) et u(b) quant à l'intervalle J ?

3) Si v est strictement décroissante sur J, établir des inégalités en utilisant a et b, ainsi que v(u(a))) et v(u(b)).

4) En déduire que v°uav°ub et établir le sens de variation de la fonction v°u . Travail à faire:

1) Examiner les autres cas selon le sens de variation de u et de v.

2) Finir de rédiger cette démonstration.

T.Pautrel - TP: raisonnement par disjonction de cas - niveau 1ère S