Deuxième Année de Licence I et P Analyse
Examen final, 6 janvier 2012, durée : 3h
Les calculatrices, les téléphones portables, les ordinateurs, les documents sont interdits.
Exercice 1 : Séries élémentaires.
1. Dire si les séries suivantes sont convergentes ou divergentes. Justifier.
a)X (−1)n
√n2+n b)X sin( 1
n2) c)Xecosn 2n 2. Discuter suivant la valeur du réel ala nature de la sérieX an
1 +a2n 3. Donner le rayon de convergence des séries entières suivantes (justifier).
a)X 1
n2+ 1xn b)X
2nxn c)X3n n!xn Exercice 2 : Le but de cet exercice est d’étudier les séries de Bertrand définies parX
unavecun= 1 nα(lnn)β oùαet β sont des paramètres réels.
1. Expliquez pourquoi ces séries sont définies à partir den= 2.
2. Cas oùβ = 0. Rappelez la nature de la série suivant la valeur deα.
3. Cas oùα=β= 1. On est donc amené à étudier la série X
n>1
1 nlnn. (a) Calculer
Z X
2
1
tlntdt pour toutX ≥2.
(b) Montrer que Z +∞
2
1
tlntdtest divergente.
(c) Montrer que pour toutn≥2, on a Z n+1
n
1
tlntdt≤ 1 nlnn (d) Donner la nature de la sérieX
n>1
1
nlnn. Justifier !
4. Cas oùα= 1 et β >1. En reprenant la méthode de la question précédente, justifier cette fois-ci que la série converge.
5. (facultatif, pour ceux qui ont du temps) Etudier les autres cas.
Exercice 3 : Soit la fonctionf:R2→Rdéfinie pour tout(x, y)par : f(x, y) = 1
2x2+ (5 +x)(1 +y2) 1. f est-elle continue ? Dérivable ? Justifier brièvement.
2. Donner les dérivées partielles de f en tout point.
3. Montrer quef n’admet pas d’extremum global.
4. Calculer les points critiques def et dire s’il y a des extrema locaux en ces points.
5. SoitK= [−5; 0]×[−2; 2]. PourquoiK est-il compact ? Justifier quef admet des extrema globaux surK.
Trouver où sont les extrema et donner leurs valeurs.
Exercice 4 : SoitD le domaine du plan défini par :
D={(x, y)∈R2 / 0≤x≤1 et y≥0 et y2≤x}
1. DessinerD.
2. Donner les deux façons de calculer l’intégrale double :I= ZZ
D
x
1 +y2dxdy.
3. Calculer l’intégrale en évitant la fonction arctangente. On remarquera qu’une fraction rationnelle se sim- plifie.
