Les langages.

(1)

1

Les langages.

Dans tous les exercices,Ad´esigne un alphabet quelconque.

La concat´enation.

Exercice 1.

a) Lalongueur|u|^deu∈ A^∗peut se définir par récurrence de la façon suivante :

|ε|= 0 |ux|=|u|+ 1^{pour tout}u∈ A^∗^{et tout}x∈ A^. V´erifier que|u . v|=|u|+|v|.

b) Lenombre d’occurrences dea∈ A^dansu∈ A^∗^{, noté}|u|_a, peut se définir par récurrence de la façon suivante :

|ε|_a= 0 |ux|_a=

|u|_a+ 1 ^six=a

|u|_a ^sinon ^{pour tout}u∈ A^∗^{et tout}x∈ A^. V´erifier que|u . v|_a=|u|_a+|v|_a^.

Exercice 2. Lemme de L´evy.

Montrer que si les motsu,v,αetβ ∈ A^∗v´erifient :uv =αβet|u| ≥ |α|, alors il existeδ ∈ A^∗^{tel que} u=αδetβ=δv.

Exercice 3. Langages commutatifs.

On dit queL⊆ A^∗^estcommutatif ssi pour toutu∈Let toutv∈Lon auv=vu. a) V´erifier que, pour toutw∈ A^∗^{, tout}L⊆w^∗est commutatif.

b) Réciproquement, montrer que pour toutL⊆ A^∗commutatif, il existew∈ A^∗^{tel que}L⊆w^∗. Indications.Considérer le langageL⊆ A^∗défini par :v∈Lssiuv=vupour toutu∈L.

Montrer alors que toutw∈L−εde la plus petite longueur possible r´epond `a la question.

Exercice 4. Relation de conjugaison.

On considère la relation binaireCsurA^∗définie par : C(u, v)ssi il existeγ∈ A^∗^{tel que}uγ=γv. On dira queuetvsontconjugués lorsqu’ils vérifientC(u, v).

a) Montrer que :C(u, v)ssi il existeγ∈ A^∗^{tel que}uγ=γvet|u| ≥ |γ|^. b) Montrer que :C(u, v)ssi il existeγ∈ A^∗etδ∈ A^∗tels queu=γδetv=δγ.

c) On considère l’applicationConj : A^∗ → P(A^∗)définie par :v ∈ Conj(u)^ssiC(u, v), qui à tout u ∈ A^∗associe l’ensemble de ses conjugués et son extension aux langagesConj : P(A^∗) → P(A^∗)^, définie pour chaqueL⊆ A^∗^{, par :}v∈Conj(L)ssi il existeu∈Ltel quev∈Conj(u)^.

Calculer

1) Conj(abab)^,

2) Conj(xA^∗y)êtConj(xA^∗yA^∗z)pour des élémentsx,yetzquelconques deA^.

(2)

Op´erations simples sur les mots et les langages.

Exercice 5. Facteurs gauches.

L’ensemblef g(u)^desfacteurs gauches d’un motu∈ A^∗, se définit par la récurrence suivante : f g(ε) =ε f g(ux) =f g(u) +uxpour toutu∈ A^∗^{et tout}x∈ A^. a) Vérifier que cette définition est bien la bonne, c’est–à–dire que

v∈f g(u)ssi il existew∈ A^∗tel queu=vw. b) V´erifier quef g(uv) =f g(u) +uf g(v)^{pour tout}u∈ A^∗^{et tout}v∈ A^∗^.

c) L’applicationf g:A^∗→ P(A^∗), qui à tout mot associe l’ensemble de ses facteurs gauches, s’étend aux langages en une application préservant les sommesf g:P(A^∗)→ P(A^∗), définie pour chaqueL⊆ A^∗^, par

v∈f g(L)ssi il existeu∈Ltel quev∈f g(u)^. V´erifier que pour toutL⊆ A^∗et toutM ⊆ A^∗on a

siM =∅:f g(LM) =f g(L) +Lf g(M) et f g(L^∗) =ε+L^∗f g(L). Exercice 6. Facteurs droits.

En mettant la définition de l’ensemblef g(u)des facteurs gauches du motu∈ A^∗devant un miroir on peut obtenir facilement une définition de l’ensemblef d(u)^{de ses}facteurs droits, par une récurrence basée sur l’ajout des lettres à gauche :

f d(ε) =ε f d(xu) =xu+f d(u)^{pour tout}x∈ A^{et tout}u∈ A^∗^.

Si l’on s’obstine à vouloir ajouter les lettres à droite, on est conduit à poser la définition par récurrence suivante :

f d(ε) =ε f d(ux) =ε+f d(u)xpour toutx∈ Aet toutu∈ A^∗. a) Vérifier que cette définition est bien la bonne, c’est–à–dire que

v∈f d(u)ssi il existew∈ A^∗^{tel que}u=wv. b) V´erifier quef d(uv) =f d(v) +f d(u)vpour toutu∈ A^∗^{et tout}v∈ A^∗^. c) Exprimerf d(LM)^etf d(L^∗)^pourL,M ⊆ A^∗quelconques.

Exercice 7. Facteurs.

L’ensemblef act(u)^desfacteurs du motu∈ A^∗peut se définir par récurrence de la façon suivante, si l’on ajoute des lettres “à droite et à gauche” :

f act(ε) =ε f act(x) =ε+xpout toutx∈ A^,

f act(xuy) =xuy+f act(xu) +f act(uy)^{pour tout}xety∈ A^{et tout}u∈ A^∗^.

Si l’on s’obstine à vouloir ajouter les lettres à droite, on est conduit à poser la définition par récurrence suivante :

f act(ε) =ε f act(ux) =f act(u) +f d(u)xpout toutx∈ Aet toutu∈ A^∗. a) Vérifier que cette définition est bien la bonne, c’est–à–dire que

v∈f act(u)ssi il existew∈ A^∗^etw∈ A^∗^{tels que}u=wvw.

b) V´erifier quef act(uv) =f act(u) +f d(u)f g(v) +f act(v)^{pour tout}u∈ A^∗^{et tout}v∈ A^∗^. c) Exprimerf act(LM)^etf act(L^∗)^pourL,M ⊆ A^∗quelconques.

Exercice 8. Facteurs stricts.

Désignons parfl’une des applicationsf g,f detf actprécédentes.

a) Montrer que dans chaque cas on au∈f(u)^{pour tout}u∈ A^∗^.

b) On définit la version strictef sde chaquefpar :v∈f s(u)^ssiv∈f(u)êtv=u. Donner une définition par récurrence de chacune des applicationsf s.

c) Pour chaquef, exprimerf s(LM)^etf s(L^∗)^pourL,M ⊆ A^∗quelconques.

M.M Institut Galil´ee 2000 Les langages.

(3)

Exercice 9.

Calculerf g(L_i)^,. . .,f acts(L_i)dans chacun des cas suivants : L₁=a^∗b^∗={a^mbⁿ|0≤met0≤n}

L₂={a^mb^m|0≤m}

L₃={a^mbⁿ |0≤m≤n}

L₄={a^mbⁿ |0≤m < n} L₅={a^mbⁿ |0≤n≤m} L₆={a^mbⁿ |0≤n < m}

o `uaetbsont des symboles distincts l’un de l’autre.

Exercice 10. Propriétés de l’itération.

a) Terminer la démonstration des propriétés 8) de l’itération, c’est–à–dire, montrer que, quels que soient L⊆ A^∗etM ⊆ A^∗:

1) (L+M)^∗⊆(L^∗+M^∗)^∗ 2) (L^∗+M^∗)^∗⊆(L^∗M^∗)^∗ 3) (L^∗M^∗)^∗⊆L^∗(M L^∗)^∗ 4) L^∗(M L^∗)^∗⊆(L+M)^∗

b) Montrer que, quels que soientL⊆ A^∗etM ⊆ A^∗: 1) (L^∗M)^∗=ε+ (L+M)^∗M

2) (LM^∗)^∗=ε+L(L+M)^∗ Exercice 11. M´elange de mots.

Cette opération consiste à insérer de nouvelles occurrences de caractères à un mot

a) Mélange de deux mots. Soitmel(u, v)l’ensemble des mélanges deu ∈ A^∗êtv ∈ A^∗défini par la (double) récurrence suivante :

mel(u, ε) =u mel(ε, v) =v

mel(ux, vy) =mel(u, vy)x+mel(ux, v)y

1) Intuitivement,w∈mel(u, v)est un mot de longueur|u|+|v|obtenu en faisant “glisser” les caract`eres devdansu, en respectant leur ordre relatif. Pour s’en persuader, calculermel(abc, def).

2) V´erifier quemel(u, v) =mel(v, u)^.

b) M´elange de deux langages. L’applicationmel:A^∗× A^∗ → P(A^∗)se prolonge aux langages par : mel(L, M) =

(v,w)∈L×M

mel(v, w)

c’est–`a–dire :u∈mel(L, M)ssi il existev ∈Letw∈Mtels queu∈mel(v, w)^. Calculermel(a^∗, b^∗)^etmel(ab, a^∗b^∗)^.

Exercice 12. Division `a gauche d’un langage par un autre.

Nous allons définir une opération qui se présente comme l’inverse de la concaténation, mais qui ne tient ses promesses que dans des cas très particuliers. La concaténation n’étant pas commutative, on doit envisager une division à gauche et une division à droite : nous n’envisagerons que la première (la seconde s’obtient en regardant la première dans un bon miroir).

Pour toutL⊆ A^∗^{et tout}M ⊆ A^∗on d´efinitM⁻¹L⊆ A^∗^par

w∈M⁻¹Lssi il existev∈M tel quevw∈L.

Quelle conditionMdoit–il satisfaire pour que l’on aitM(M⁻¹L) =Lquel que soitL?

Considérons l’opération:A^∗× A^∗ → P(A^∗)définie par la double récurrence suivante : pour toutxet y∈ A^{, tout}uetv∈ A^∗

(4)

uε=u et u(vy) = (uv)y, εy=∅ ^et (xu)y=u six=y,

∅ sinon.

a) Montrer queuv=wssiu=vwpour toutu,vetw∈ A^∗^. En d´eduire queLM =M⁻¹Lpour toutLetM ⊆ A^∗^. b) Montrer que pour toutL₁,L₂etL⊆ A^∗et touty∈ A:

(L₁L₂)y=

(L₁y)L₂+L₂y siε∈L₁

(L₁y)L₂ ^sinon ^et L^∗y= (Ly)L^∗.

Ces égalités sont évidemment difficiles à étendre au cas des mots et donc des langages!

Comme d’habitude, l’inversion d’une opération, même simple, est assez compliquée (dans la section 6.2.2 du chapitre 2, on verra comment calculerM⁻¹Ldans un cas particulier très intéressant).

Les substitutions.

Exercice 13.

Soienta,betctrois symboles distincts et soitL={a^mb^mc^m|0≤m}.

D´efinir pour chacun des langagesL_ici–dessous, une substitutionfv´erifiantf(L) =L_i: L₁={a^mb^ma^m|0≤m}

L₂={a^mb^mc^2m|0≤m}

L₃={a^m|0≤m}

L₄={b^2ma^3m|0≤m}

Exercice 14. Sous–mots.

L’effaçage d’occurrences de caractères à un mot est l’application de la substitutionsm : A → P(A^∗) définie parsm(x) =ε+xpour toutx∈ A. Pouru∈ A^∗, toutv∈sm(u)est appelé unsous–mot deu. 1) Calculersm(ababaa)^.

2) Montrer que :v∈sm(u)ssi il existew∈ A^∗tel queu∈mel(v, w).

3) R´eciproquement, montrer queu∈sm(mel(u, v))^{pour tout}u∈ A^∗^{et tout}v∈ A^∗^. Exercice 15.

Soitf :A → P(B^∗)une substitution.

a) Montrer quef(f g(u))⊆f g(f(u))^{pour tout}u∈ A^∗(la premi`ere apparition de l’application “facteur gauche”f gest relative aux mots surAalors que la seconde s’applique aux mots surB^).

En utilisant une substitution telle quef(a) = f(b) = abo ùaetbsont des symboles distincts l’un de l’autre, montrer que l’inclusion inverse de la précédente n’est pas nécessairement vraie.

b) Montrer que sifest alphabétique, alors on af(f g(u)) =f g(f(u))^{pour tout}u∈ A^∗^. c) Reprendre les questions précédentes avec les opérationsf d,. . .

Exercice 16. Application inverse d’une applicationf :A^∗→ P(B^∗).

L’application inverse defestf⁻¹:B^∗→ P(A^∗)d´efinie pour toutu∈ A^∗^etv∈ B^∗^par u∈f⁻¹(v)ssiv∈f(u).

Remarque. Cette définition est intéressante maisf⁻¹ n’a pas de propriété simple! En particulier, elle s’applique à une substitution (en considérant son extension aux mots) : mais, en général, l’application inverse d’une substitution n’est pas une substitution, même dans des cas très spéciaux (voir l’exercice suivant).

a) Montrer que, si l’on consid`ere l’extension def⁻¹aux langages, on a : u∈f⁻¹(M)^ssif(u)∩M =∅ pour toutu∈ A^∗^{et tout}M ⊆ B^∗^.

(5)

b) Comment cette propri´et´e s’exprime–t–elle pour un homomorphismef :A → B^∗^?

c) Application au calcul du mélange de deux langages (cf. exercice 11). SoitAl’alphabet obtenu en donnant le nouveau nomxà chaquex∈ A(c’est–à–dire :x∈A^ssix∈ A^{), et soit}B=A+A^.

On consid`ere les trois substitutionsf, g, h:B →ε+Ad´efinies par :

f(x) =f(x) =x g(x) =x,g(x) =ε h(x) =ε,h(x) =x quel que soitx∈ A.

Montrer que pour toutL⊆ A^∗^{et tout}M ⊆ A^∗^{on a :}

mel(L, M) =f(g⁻¹(L)∩h⁻¹(M)) Exercice 17. Application inverse d’une substitution alphab´etique.

Soitf :A →ε+Bune substitution alphabétique (cf. section 6.2) : on se propose d’étudier son application inversef⁻¹:B^∗→ P(A^∗). Pour cela, on considère :

– Z ⊆ Ad´efini par :x∈Zssif(x) =ε,

– X_y⊆ Ad´efini, pour chaquey∈ B^{, par :}x∈X_yssif(x) =y.

a) Montrer quef⁻¹(ε) =Z^∗et que, pour toutv∈ B^∗^{et tout}y∈ B^{on a}f⁻¹(vy) =f⁻¹(v)X_yZ^∗. b) En d´eduire que, pour toutL⊆ B^∗et toutM ⊆ B^∗on a :

f⁻¹(LM) =f⁻¹(L)f⁻¹(M) ^et f⁻¹(L^∗) =Z^∗+f⁻¹(L)^∗^. On pourra illustrer cet exercice par l’exemple desm(exercice 14).

Exercice 18.

On désigne parB^l’alphabetA × Adont les caractères sont les couples de caractères de l’alphabetA^{: il} sera commode de représenter le couple(x, y)∈ Bpar[xy].

a) Soittc:A^∗→ P(A^∗)(“transposition des couples”) l’application d´efinie par : – tc(ε) =ε,

– pour toutu∈ A^∗de longueur paire, toutxet touty∈ A

tc(ux) =∅ tc(uxy) =tc(u)yx. Calculertc(u)^pouru=abababetu=ababa.

Trouver deux substitutionsf, g:B → A^∗^{telles que}tc(u) =g(f⁻¹(u))^{pour tout}u∈ A^∗^. b) Soitusd:A^∗→ P(A^∗)(“un sur deux”) l’application d´efinie par :

– usd(ε) =ε,

– pour toutu∈ A^∗de longueur paire, toutxet touty∈ A

usd(ux) =∅ usd(uxy) =usd(u)x. Calculerusd(u)^pouru=abababetu=ababa.

Trouver deux substitutionsf, g:B → A^∗^{telles que}usd(u) =g(f⁻¹(u))^{pour tout}u∈ A^∗^. Matrices et systèmes d’équations linéaires en langages.

Exercice 19. Matrices de langages.

La notation matricielle habituelle n’est vraiment “parlante” que pour les petites dimensions : on prendra des exemples de dimensions2^ou3pour illustrer les d´efinitions qui suivent.

Une matrice de langages surAest la donn´ee d’un quadruplet(Q, R,A, A)^{o `}^u – QetRsont deux alphabets,

– Aest un alphabet,

– A:QR→ P(A^∗)est une application.

L’applicationA:QR→ P(A^∗)servira par la suite à désigner la matrice qu’elle définit.

Le couple(Q, R)est appel´ele format de la matriceA.

L’alphabet Q sert à indexer les “lignes”, R à indexer les “colonnes” et, le langage qui se trouve à l’intersection de la ligneq∈Qet de la colonner∈RestA(qr)^.

Cette convention fix´ee, on peut d´efinir la somme et le produit de matrices “comme d’habitude”.

(6)

• La somme de deux matrices d’un même formatA:QR→ P(A^∗)êtA:QR→ P(A^∗)est la matrice A+A:QR→ P(A^∗)définie par :

(A+A)(qr) =A(qr) +A(qr)^{pour tout}q∈Qet toutr∈R.

On peut définir de façon analogue la somme généralisée d’une famille de matrices d’un même format.

L’élément neutre pour la somme de matrices de format(Q, R)est défini par l’application qui envoie tout qr∈QRsur∅^.

• Le produit de deux matrices de formats compatiblesA :QR → P(A^∗)^etB : RS → P(A^∗)^{est la} matriceAB:QS→ P(A^∗)d´efinie par :

(AB)(qs) =

r∈R

A(qr)B(rs)^{pour tout}q∈Qet touts∈S. (On aura reconnu le produit “lignes par colonnes”.)

L’élément neutre de format (Q, Q) (une matrice carrée) pour le produit de matrices est défini par l’applicationε_Q:Q²→ P(A^∗)^{telle que}

ε_Q(qr) =

ε siq=r,

∅ ^sinon.

• La relation d’inclusion entre deux matrices d’un mˆeme format comme ci–dessus est d´efinie par : A⊆AssiA(qr)⊆A(qr)pour toutq∈Qetr∈R.

Question.Transposer les propriétés de la somme et de la concaténation des langages au cas des matrices et vérifier les propriétés ainsi obtenues.

Exercice 20. Générateurs linéaires (cf. section 7.2.1).

La propriété principale exprime que la donnée d’un GLA : Q⁺ → P(A^∗) équivaut à celle d’une applicationA:Q²→ P(A^∗), c’est–à–dire, d’une matrice carrée!

On supposera fix´e un GL d´efini parA:Q²→ P(A^∗)pour toute la suite de l’exercice.

a) V´erifier queA(LqM) =A(Lq)A(qM), pour toutL⊆Q^∗, toutM ⊆Q^∗et toutq∈Q.

b) En d´eduire queA(qLq)^∗ = A((qL)^∗q) = A(q(Lq)^∗)et en particulier queA(qq)^∗ = A(q^∗q) = A(qq^∗)^.

c) Pour tout entier natureli, on d´efinitAⁱ :Q²→ P(A^∗)par la r´ecurrence : A⁰=ε_QetAⁱ⁺¹=AⁱA,

c’est–`a–dire, pour toutqr∈Q²:

A⁰(qr) =ε_Q(qr) =ε siq=r

∅ ^sinon ^et Aⁱ⁺¹(qr) =

s∈Q

Aⁱ(qs)A(sr) Enfin, on d´efinitA^∗:Q²→ P(A^∗)^{en posant}A^∗=

0≤i

Aⁱ, c’est–`a–direA^∗(qr) =

0≤i

Aⁱ(qr)^. 1) SoientL⊆ A^∗^etM ⊆ A^∗^.

CalculerG^∗lorsqueQ=q+rest constitué de deux symboles distincts et A(qq) =L,A(qr) =M,A(rq) =∅etA(rr) =ε. Revenons maintenant au cas général.

2) Montrer queAⁱ⁺¹(qr) =A(qQⁱr)^{pour tout}qr∈Q²et tout entier natureli, 3) en d´eduire que pour toutqr∈Q²:A^∗(qr) =A(Chem(q, r)) =

ε+A(qQ^∗q) ^sir=q, A(qQ^∗r) ^sinon.

4) Vérifier la transposition aux générateurs linéaires des propriétés de l’itération.

(7)

Exercice 21. Systèmes d’équations linéaires en langages.

La définition des matrices et des GL conduisent à modifier la présentation des systèmes linéaires. On remplace la notation indicielle, qui est souvent utilisée, par une notation “fonctionnelle” : chacun de nous est du reste bien habitué à écrireu(i)^{, ou plutˆ}ôtu[i], au lieu deu_i. Nous négligerons l’éventuelle valeur numérique de ces “indices”, déjà maltraités, pour considérer ceux–ci comme de quelconques symboles, c’est–à–dire comme les éléments d’un alphabet, avec lesquels nous aurons plaisir à faire des chemins, puis des ensembles de chemins!

Voici :

Un système d’équations linéaires se présente sous la forme

(E) X(q) =

r∈Q

A(qr)X(r) +A(q) ^{pour tout}q∈Q o `u chaqueA(qr)et chaqueA(q)est un langage sur un alphabetA.

Une solution du système(E)se présente sous la forme d’une substitutionL:Q→ P(A^∗)^vérifiant L(q) =

r∈Q

A(qr)L(r) +A(q) pour toutq∈Q.

a) Pour vérifier l’affirmation du début de la section 4.2, on est conduit à représenterA sous la forme d’une matrice colonne : on introduit pour cela un nouveau symbole∈Qet on considèreAcomme une applicationA :Q→ P(A^∗)^{, o `}ûA(q)n’est qu’une nouvelle façon d’écrireA(q)^.

En appliquant des résultats des deux exercices précédents, montrer que la matrice colonneL = A^∗A vérifie l’égalitéL = AL+A et que toute matrice colonneM vérifiantM = AM +Aest telle que L⊆M.

On se propose maintenant de démontrer les principes (résolution partielle et substitution) sur lesquels est basée la résolution effective des systèmes d’équations dans la section 4.2. Pour ce faire, il est commode de regrouperAetAen un seul GL (cf. section 7.2.1) qui, pour simplifier, sera encore désigné parA. Ceci se fait de la façon suivante, qui poursuit l’idée dea) :

Soit∈Qun nouveau symbole, alors, on ´etend la d´efinition deAen celle d’un GL A: (Q+)²→ P(A^∗)

en posant :

– A(q) =A(q)^{pour tout}q∈Q, – A(q) =∅^{pour tout}q∈Q+. On dira quece GL est associ´e au syst`eme(E)^.

On suppose qu’un système(E)comme ci–dessus est fixé et queAest le GL qui lui est associé.

Remarque.Tous les chemins qui nous intéressent mènent à!

Ceci a pour conséquence pratique que, pour une fois, il est indispensable de construire les mots et les chemins “à l’envers”, c’est–à–dire par adjonction d’éléments à gauche : les définitions et les raisonnements par récurrence doivent donc tous suivre ce principe.

b) Montrer queA((Q+)^∗) =A(Q^∗).

On d´efinit une substitutionGen:Q→ P(A^∗)^{par :}

Gen(q) =A(qQ^∗) pour toutq∈Q.

c) Montrer queGenest la plus petite solution de(E)^.

d) Montrer que toute solutionM :Q→ P(A^∗)du système(E)satisfait les égalités suivantes, pour tout entier naturelk:

(8)

M(q) =

r∈Q

A(qQ^kr)M(r) +

0≤i≤k

A(qQⁱ) quel que soitq∈Q.

En déduire la propriété d’unicité : si, pour toutqr ∈ Q²on aε ∈ A(qr)^{, alors}(E)admet une solution unique. (La méthode utilisée dans la section 4.1 sera un guide précieux.)

e) Op´eration de substitution.

Soients∈Qett∈Qtels ques=tet soit(F)le système obtenu à partir de(E)en remplaçant, dans le second membre de l’équation deX(t), l’occurrence deX(s)par le second membre de son équation.

Montrer que la plus petite solution de(F)est ´egale `a la plus petite solution de(E).

Indications.SoitB : (Q+)² → P(A^∗)le GL associé à(F). On mettra en évidence une application f : (Q+)²→ P((Q+)^∗)telle que :

B(qr) =A(f(qr))

pour toutqr ∈ (Q+)², que l’on étendra en une transformation de chemins ne modifiant pas leurs extrêmités (cf. section 7.2.2), puis on vérifiera que

– A(f(Γ)) =B(Γ)pour tout ensemble de cheminsΓ⊆(Q+)⁺^, – f(qQ^∗) =qQ^∗pour toutq∈Q.

f ) Op´eration de r´esolution partielle.

Soits ∈Qet soit(F)le système obtenu à partir de(E)en remplaçant l’équation enX(s)de ce dernier (écrivons–laX(s) =AX(s) +Ben abrégé) par sa résolvante partielle (qui s’écrit alorsX(s) =A^∗B).

Montrer que la plus petite solution de(F)est égale à la plus petite solution de(E)^. Systèmes d’équations algébriques en langages.

Exercice 22.

Décrire une construction par récurrence de la plus petite solutionsdu système ci–dessous, en utilisant la décomposition desdonnée à la section 6.6

Le syst`eme, qui s’´ecrit avec les alphabets : – A= [ + ] +∧+∨+→+¬+

n≥0

p_n (2 parenthèses, 4 “symboles” et une infinité dénombrable de lettresp₀, . . . , p_n, . . .),

– Vn’a qu’un seul élémentX, comporte une seule équationX=l(X)^{o `}û

l(X) = [X∧X] + [X∨X] + [X →X] +¬X+

n≥0

p_n. Exercice 23.

SoientAun alphabet etl:A → P(A^∗)une substitution.

Trouver la plus petite substitutions:A → P(A^∗)qui vérifie l’égalités=id+s◦l.

Indication.On s’inspirera de la m´ethode de la section 6.6, en remarquant qu’ici,Am`ene un double jeu.

Exercice 24. Systèmes d’équations linéaires en langages.

Adapter la méthode de résolution d’un système d’équations algébriques en langages au cas particulier d’un système linéaire (cf. sections 4, 6 et exercice 21).

(9)

2

Les langages r´ eguliers et

les automates finis.

Ad´esigne un alphabet fini.

Exercice 1.

SoitA={a, b}un alphabet `a deux lettres.

a) Donner une expression r´eguli`ere de chacun des langages surA^{suivants :}

• ensemble des mots se terminant paraa;

• ensemble des mots comportant le facteuraaa;

• ensemble des mots commenc¸ant parabet se terminant parbb;

• ensemble des mots ayant un nombre pair d’occurrences dea;

• ensemble des mots ne comportant pas le facteuraa.

• ensemble des mots ne comportant pas le facteuraaa.

b) Montrer que(a+bb^∗a²)^∗b^∗(ε+a)est une expression régulière de l’ensemble des mots ne comportant pas le facteurbab(εest une abréviation pour∅^∗).

Exercice 2. Conjugaison (cf. exercice 1.4.b).

Montrer queConj(L)est r´egulier pour tout langage r´egulierL.

Indication. SoitA = (Q,A,^•, q₀, F)un AFDC et soitL =L(A). Pour chaqueq ∈ Qon consid`ere les deux AFDC suivants :

B(q) = (Q,A,^•, q₀, q) (la seule sortie estq)

C(q) = (Q,A,^•, q, F) (l’entr´ee estq)

et on pose M(q) =L(B(q)) ^et N(q) =L(C(q))^. Montrer que l’on aL=

q∈Q

M(q)N(q) ^et Conj(L) =

q∈Q

N(q)M(q)^. Exercice 3.

SoitA=aun alphabet `a un seul symbole.

Pour chaquei∈ {0,1,2}on d´efinitL_i⊆a^∗par : u∈L_issi|u|mod3 =i pour toutu∈a^∗.

Trouver un ensemble d’étatsQ, un état initialq₀ ∈ Q, une application• : Q× A → Qet, pour chaque i∈ {0,1,2}un ensembleF_i⊆Qde sorties, de telle façon que l’AFDCA_i= (Q,A,^•, q₀, F_i)reconnaisse le langageL_i.

(10)

Exercice 4.

Soitaun symbole.

Montrer que pour tout langage régulierL⊆a^∗, il existe deux langagesfinisAetBet un motγ∈a^∗tels queL=A+Bγ^∗(Réciproquement, un langage de cette forme est régulier!).

Indication.Trouver la forme générale des AFDC sur un alphabet à une seule lettre : le théorème de Kleene fera le reste.

Exercice 5. Lemme d’it´eration pour les langages r´eguliers.

a) D´emontrerle lemme d’it´eration suivant :

siL⊆ A^∗est un langage régulier alors il existe un entierN >0tel que pour toutu∈Lvérifiant|u| ≥N, on peut trouver trois motsu₁,vetu₂surAtels que l’on ait les propriétés

1) u=u₁vu₂, 2) |v|>0^et|v| ≤N,

3) pour tout entierk,u₁v^ku₂∈L.

Indication. Considérer les “longs” chemins que l’on peut parcourir dans un AFDC reconnaissantL. b) En déduire que les langages suivants ne sont pas réguliers :

– L={a^mb^m|m≥0}

– L={a^m² |m≥0}

c) On consid`ere les langagesL= (a+b)^∗ba(a+b)^∗^etM ={a^mb^m|m≥0}^.

Montrer que le langageL+M vérifie la conclusion du lemme d’itération ci–dessus mais qu’il n’est pas régulier.

Exercice 6. (cf. exercices 1.5, 1.6 et 1.7) Soitfl’une des applicationsf g,f d,f act.

a) Montrer que f transforme un langage r´egulier en un langage r´egulier, sans utiliser aucun AF.

b) Construire un AF reconnaissantf(L) `a partir d’un AFDC recon- naissantL. Appliquer cette construction `a l’AFDC ci–contre.

0 1

2 3

a

b

b a, b a

a b

Exercice 7.

D´eterminer l’AF et l’ε–AF suivants :

2

1 0

3 a, b

a, b a

a, b a, b

a a, b

a

0

1

2 3

4 5

ε

a, b

ε b ε

ε

a

a, b a

b

M.M Institut Galil´ee 2000 Langages r´eguliers et AF.

(11)

Exercice 8.

Construire des AFDC qui reconnaissent respectivement chacun des langages d´ecrits dans l’exercice 1.a).

Indication.On pourra commencer par construire unε–AF reconnaissant “visiblement” ledit langage ou son compl´ementaire.

Exercice 9.

SoitA=a+bun alphabet `a deux symboles.

a) Reprendre l’exercice 3 ci–dessus, mais cette fois pour lesL_i⊆ A^∗d´efinis par :u∈L_issi|u|_amod3 = ipour toutu∈ A^∗^.

b) Construire un AFDC surAqui reconnaˆıt l’ensemble des motsu∈ A^∗ne comportant pas le facteur babet tels que|u|_a^mod3 = 2^.

Exercice 10.

a) SoitAun AFDC sur un alphabetA^{et posons}L=L(A)^.

Construire unε–AF qui reconnaˆıt l’ensemble des mots surAdont aucun facteur n’est un élément deL. b) Appliquer a) pour construire un AFDC reconnaissant l’ensemble des mots sur{a, b}ne comportant pas le facteurbab, puis utiliser cet AFDC pour redémontrer le résultat de l’exercice 1.b) ci–dessus.

Exercice 11. Image par une substitution.

Soitf :A → P(B^∗)une substitution telle quef(x)est régulier pour toutx∈ A^. a) Montrer quef(L)est régulier pour toutL⊆ A^∗régulier, sans utiliser aucun AF.

b) SoitAun AFDC reconnaissantLet soit, pour chaquex ∈ A,A(x)un AFDC reconnaisantf(x): construire unε–AF reconnaissantf(L).

Appliquer cette construction `a la substitutionsm(cf. exercice 1.14) Exercice 12. Image inverse par une substitution.

Soitf :A → P(B^∗)une substitution et soitf⁻¹:B^∗→ P(A^∗)son application inverse (cf. exercice 1.15), soit enfinB= (Q,B,•

B, q₀, F)un AFDC : on consid`ere alors l’ε–AFA= (Q,A,•

A, q₀, F)dont l’action est d´efinie parq•

Ax=q•

Bf(x)(cf. section 6.2.2).

a) Montrer que siM =L(B)^alorsL(A) =f⁻¹(M)^.

b) Etudier le cas o `uf(x)est un langage r´egulier pour toutx∈ A^.

c) Montrer, sans utiliser aucun AF, que l’image inverse d’un langage régulier par une subtitution al- phabétique est un langage régulier (cf. exercice 1.16).

Exercice 13.

Appliquer les deux exercices précédents pour montrer que chacune des applications applicationstcetusd de l’exercice 1.18 transforme un langage régulier en un langage régulier.

Exercice 14.

Pour toutL⊆ A^∗on d´efinitR(L)⊆ A^∗^par

u∈R(L)ssi il existev∈ A^∗^{tel que}|v|=|u|^etuv∈L pour toutu∈ A^∗.

Le but de cet exercice est de montrer queR(L)est régulier pour tout langage régulierL. a) Appliquer directement la définition précédente pour calculerR(ε+aba^∗)^.

b) SoitA= (Q,A,^•, q₀, F)un AFDC, on considère l’AFRqui est la partie accessible (on a aussi intérêt

à ne conserver que les états productifs) de l’AF(Q×Q,A,^◦, I, G)défini de la façon suivante :

– (s, t)∈(q, r)^◦xssiq•x=sett∈r•A⁻¹ ^(action)

– I={(q₀, r)|r∈F} (ensemble des entr´ees)

– G={(q, q)|q∈Q} (ensemble des sorties)

(12)

Appliquer cette construction `a un AFDC reconnaissant le langageε+aba^∗. Montrer que pour toutu∈ A^∗, on a :

(s, t)∈(q, r)^◦ussiq•u=set il existev∈ A^∗^{tel que}|v|=|u|^ett•v=r quels que soientq,r,sett∈Q.

En d´eduire que siL=L(A)^alorsL(R) =R(L)^.

Utiliser ce résultat pour vérifier le calcul précédent deR(ε+aba^∗). Exercice 15. Mélange de langages (cf. exercice 1.11).

SoientA= (Q^A,A,^•

A, q₀Â, FÂ)êtB= (Q^B,A,^•

B, q₀^B, F^B)^{deux AFD.}

On définit l’AFC= (Q,A,^◦, q₀, F)à une seule entrée de la façon suivante : – Etats.Q=QÂ×Q^B,

– Action. (q, r)^◦x= (q •

Ax, r) + (q, r•

Bx)^{pour tout}q∈QÂet toutr∈Q^B, – Entrée. q₀= (q₀Â, q^B₀)^,

– Sorties. F =F^A×F^B.

a) Montrer que siL=L(A)etM =L(B)alorsL(C) =mel(L, M). b) Applications.

– Vérifier les calculs de la questionb)de l’exercice 1.11 en utilisant la constrution précédente.

– Construire un AF qui reconnaˆıt l’ensemble des motsu∈(a+b)^∗^{tels que}(|u|_a− |u|_b)^mod3 = 1 (cf. exercice 9.a).

Exercice 16. Langages locaux.

Un langageMsur un alphabetBest dit local ssi il existeX ⊆ B^,Y ⊆ B^etZ ⊆ B²^{tels que} M−ε= (XB^∗∩ B^∗Y)− B^∗ZB^∗^.

Pour d´ecider si un motu ∈ B^∗appartient `a un langage local, il suffit de tester les facteurs deudont la longueur est au plus2, aussi les appelle–t–on souventlangages2–reconnaissables.

Un langage local est ´evidemment r´egulier.

L’objet de cet exercice est de donner une réciproque à cette propriété :

tout langage r´egulier est l’image d’un langage local par une substitution strictement alphab´etique.

SoitLun langage régulier ne contenant pasεet soitA= (Q,A,^•, q₀, F)un AFDC reconnaissantL. On considère un alphabetBdont les symboles sont des éléments deQ× A ×Q:

B={[q, x, r]|q•x=r}^. On consid`ere alors les langagesX ⊆ B,Y ⊆ BetZ ⊆ B²d´efinis par :

[q, x, r]∈Xssiq=q₀, [q, x, r]∈Y ssir∈F, [q, x, r][s, y, t]∈Zssir=s,

et la substitutionf :B → Ad´efinie parf([q, x, r]) =x. a) Montrer queL=f((XB^∗∩ B^∗Y)− B^∗ZB^∗)^.

b) Appliquer la construction précédente àL=b²(a+b)^∗a. Exercice 17.

Minimiser les AFDC suivants :

(13)

0 1

2

3 4

a a

b b

a, b a b

b

a 0 1

2 3

4

5

6 a

b a

a

b b

b

a

b b

a b a

a

Exercice 18. AF sp´eciaux (AFS).

Un AFS surAest un couple(A,Eps)^{o `}^{u :}

– A= (Q,A,•, I, f)est un AF `a une seule sortie, v´erifiant les conditions suivantes : 1) f ∈I,

2) f•x=∅^{pour tout}x∈ A^,

3) pour toutq∈Q−f, il existe un uniquex∈ A^{tel que}q•x=∅^; – Eps⊆ε(on a doncEps=∅^ouEps=ε).

Le langageL(A,Eps)⊆ A^∗reconnu par un AFS(A,Eps)est d´efini par : L(A,Eps) =L(A) +Eps

Remarques.

• Le fait queAa une seule sortie n’est pas tr`es important et ne sert qu’`a simplifier la construction4) ci–dessous.

• La condition 1) implique évidemment queε∈ L(A)^:Epssert à pallier cet éventuel défaut.

• La condition 2) signifie que l’on ne peut que sortir lorsqu’on est parvenu enf.

• La condition 3) implique que la table deAest tr`es lacunaire : la ligne defest vide et la ligne de chaque q=fcomporte une seule case non vide, ce qui est un avantage ´evident lorsqu’il s’agit de calculer un AFDC

´equivalent. On peut aussi profiter de cette condition pour simplifier les repr´esentations deA(comment?).

L’objet de l’exercice est de v´erifier que tout langage r´egulier est reconnaissable par un AFS.

a) Adapter l’algorithme de détermination des AF au cas des AFS (Epsdoit intervenir!) et appliquer l’algorithme ainsi trouvé à des exemples simples d’AFS.

b) Les constructions suivantes permettent de construire un AFS reconnaissant un langage r´egulierL ⊆ A^∗: v´erifier qu’elles sont correctes.

1) L=∅est reconnu par l’AFS((f,A,•,∅, f),∅)`a un seul ´etat.

2) Pour toutx∈ A^,L=xest reconnu par l’AFS((q₀+f,A,^•, q₀, f),∅)à deux états, o ùq₀•x=f. Pour la suite, on considère deux AFS((Q₁,A,•

1, I₁, f₁),Eps₁)^et((Q₂,A,•

2, I₂, f₂),Eps₂)^{, tels que}Q₁∩ Q₂=∅, et on appelleL₁etL₂les langages qu’ils reconnaissent respectivement.

3) L=L₁+L₂est reconnu par l’AFS construit de la façon suivante : – Q= (Q₁−f₁) + (Q₂−f₂) +fo ùf ∈Q₁+Q₂est un nouvel état,

(14)

– I=I₁+I₂,

– fest le nouvel ´etat introduit ci–dessus,

– pour chaquei∈ {1,2}, siq∈Q_ietx∈ Asont tels quef_i∈q•

ix alorsq•x= (q^•

ix−f_i) +f sinonq•x=q•

ix, (f₁etf₂ont été identifiées enf), – Eps=Eps₁+Eps2.

4) L=L₁L₂est reconnu par l’AFS construit de la fac¸on suivante^∗: – Q= (Q₁−f₁) +Q₂,

– I=I₁+Eps₁I₂, – f =f₂,

– soientq∈Qetx∈ A, alors : 1) pourq∈Q₁:q•x=

(q•

1x−f₁) +I₂+fEps₂ sif₁∈q•

1x, q•

1x sinon,

2) pourq∈Q₂:q•x=q•

2x,

(f₁s’est multipliée pour s’indentifier respectivement à chacun des éléments deI₂), – Eps=Eps₁Eps2.

5) L=L^∗₁est reconnu par l’AFS construit de la fac¸on suivante : – Q=Q₁,

– I=I₁, – f =f₁,

– soientq∈Q₁etx∈ A^{, alors}q•x= q•

1x+I₁ sif₁∈q•

1x, q•

1x sinon,

(les antécédents de la sortie sont branchés sur les entrées), – Eps=ε.

c) Appliquer la méthode précédente pour calculer un AFS, puis un AFDC sur{a, b}, reconnaissant le langageb^∗+ (a+b)^∗a^∗a.

Exercice 19. AF généralisés (AFG).

Voici une méthode “géométrique”, pour construire unε–AF reconnaissant un langage régulier : elle est assez intuitive mais nécessite la considération d’un type très général d’automates finis, dont nous décrirons seulement les graphes de transition.

Le graphe de transition d’un AFGAsur l’alphabetAest la donnée des éléments suivants :

• Un graphe de transition proprement dit, constitué de nœuds et d’arêtes étiquetés : – un nœud q pour chaque élémentqd’un ensemble finiQ,

– un ensemble fini d’arˆetes q L r

o `uq∈Q,r∈QetL⊆ A^∗ (il est inutile de faire figurer les arˆetes vides q ∅ r

),

• un ensemble d’entr´eesI⊆Q,

• un ensemble de sortiesF ⊆Q.

Le langage reconnu par un tel AFG se définit en adaptant la notion habituelle de dérivation : Une transition (q, vu) ¹ (r, u)est définie pour toutv ∈Ltel que q L r

soit une arˆete du graphe deA.Une d´erivation est un enchaˆınement de transitions.

∗ Dans cette construction, tous les ensembles sont trait´es comme des alphabets.

(15)

Le langageL(A)⊆ A^∗reconnu par un AFGAest d´efini par :

u∈ L(A)ssi il existes∈Ietr∈Ftels que(s, u) ^∗ (r, ε)^. Deux AFG sont ´equivalents s’ils reconnaissent le mˆeme langage.

a) Vérifier que l’application de chacune des opérations suivantes (o ùqetrsont des états qui peuvent être

´egaux) transforme un AFG en un AFG ´equivalent.

q L+M r

devient q L r

M (deux arˆetes parall`eles)

q LM r

devient q L s M r

(sest un nouvel ´etat)

q L^∗ r

devient q ε s L ε r

(sest un nouvel ´etat) (Cette derni`ere transformation ne s’applique utilement que lorsqueL=∅^!)

b) En déduire une construction d’unε–AF reconnaissant un langage régulier défini par une expression régulière.

Exercice 20. Système d’équations associé à unε–AF. (cf. exercices 1.20 et 1.21)

On associe à toutε–AFA = (Q,A, δ, I, F)^{le GL}A : (Q+)² → P(A^∗)^{(o `}û ∈ Qest un nouveau symbole) qui est défini par :

A(qr) ={x∈ε+A |r∈δ(q, x)}^{pour tout}qr∈Q², A(q) =

ε pour toutq∈F

∅ ^{pour tout}q∈Q−F, A(q) =∅pour toutq∈Q+.

a) Vérifier que le GL ainsi défini est bien celui qui est associé au système d’équations correspondant à l’ε–AFA(cf. section 5.5 et exercice 1.21).

b) Pour v´erifier les affirmations de la section 5.5 au sujet du calcul du langage reconnu par unε–AF : 1) montrer que quels que soientq∈Q,r∈Qetu∈ A^∗^{on a}

(q, u) ^∗ (r, ε)ssiu∈A(Chem(q, r)), 2) en d´eduire queL(A) =A(IQ^∗)^.

Remarque. Après l’exercice 1.21, ceci signifie que le langage engendré par unε–AF se calcule, comme pour les AFDC, en utilisant la plus petite solution du système qui lui est associé : on doit, bien entendu, tenir compte du fait qu’unε–AF peut avoir plusieurs entrées.

(16)

(17)

3

Les grammaires et

les langages alg´ ebriques.

Lorsqu’aucune autre précision n’est donnée,Gdésigne une grammaire(V,A, R)^. Exercice 1.

Montrer que les langages suivants sont alg´ebriques (aet bsont distincts,Aest un alphabet fini quelconque) :

L₁ ={a^mb^m|m≥0}

L₂ ={a^mbⁿ|0≤m < n}

L₃ ={a^mbⁿaⁿ|m≥0, n≥0}

L₄ ={uc˜u|u∈ A^∗}

L₅ ={uv|u∈(a+b)^∗, v∈(a+b)^∗,|u|=|v|, v= ˜u}

Exercice 2.

Montrer que siL⊆ A^∗est alg´ebrique alorsL={u∈ A^∗|u˜∈L}l’est aussi.

Exercice 3. Deux fois plus deaque debdans le mˆeme mot.

SoitG= (S, a+b, R)la grammaire pour laquelleRest d´efini par la r`egle globale S−→ε+SaSaSbS+SaSbSaS+SbSaSaS.

Le but de cet exercice est de montrer queL(G, S)est l’ensembleLdesu∈ A^∗v´erifiant|u|_a= 2|u|_b. a) Montrer queL(G, S)⊆Len effectuant une induction sur la longueur des d´erivations.

b) Montrer que siu∈L−εalorsua un facteurxyz ∈Lde longueur3^. Indication.

Toutu∈L−ε, sans aucun facteurxyz∈Lde longueur3, devrait satisfaire les propri´et´es suivantes : – |u| = 3^;

– une comporte aucun facteuraa, d’o ù plus généralement que|u|_a ≤ |u|_b+ 1^; ce qui est difficilement conciliable avec le fait queu∈L−ε!

c) Pour toutu∈ A^∗on d´efinitu∈(A+S)^∗, de la fac¸on suivante : – ε=ε,

– x=xpour toutx∈ A^,

– ux=uSxpour toutu∈ A^∗−ε, et pour toutx∈ A^.

uest donc obtenu en intercallantSentre les lettres deu, par exempleu=aSaSbpouru=aab. V´erifier queuv=uSvlorsqueu=εetv=ε.

d) Montrer les deux propri´et´es suivantes : – u=^∗⇒upour toutu∈ A^∗^.

– S=^∗⇒SuSpour toutu∈L−ε(utiliserb) pour faire une induction).

e) En d´eduire queL⊆ L(G, S).