Devoir surveillé n° 3

(1)

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Devoir surveillé n° 3 – 2éme semestre 2éme Bac S.M

Durée 3h Exercice 1 (2 pts)

1) Soit n un entier naturel, Déterminer selon les valeurs de n la division euclidienne de 2ⁿ par9.

2) Résoudre dans INl’équation

 

^E ^{: x}² ^^{2 9}^x

 

Exercice 2 (3pts)

1) Résoudre dans ZZ ZZ l’équation

 

^F ^{: 7}^x^⁵^y^¹⁸^.

2) a) Montrer que pour tout kZZ; tel que k 8; on a :



⁷^k ^²

 

^ ⁵^k ^⁴

 

^ ^k ^⁸



^¹⁸

b) Déduire les couples



^{x y}^;



solutions de

 

^F qui vérifient x  y 1 . 3) a) Résoudre dans ZZ chacune des équations :

 

^{1 : x}² ^^{4 5}

 

^et

 

^{2 : x}² ^^{2 7}

 

b) Résoudre dans ZZ ZZ l'équation

 

^G ^{: 7}^x² ^⁵^y² ^¹⁸

1) On définit dansIR² la loi de Composition internepar :



^



^{a b}^;



^^IR²



^;

 



^ ^{c ;d} ^^IR²



^;

^

^;

^{ } ^

¹ ¹ ^;¹ ³

3 3 3 4

a b  c ;d  ad  bc bd  ac

  et soit f l’application définie de C vers IR²par :



^{  }^z ^C



^; ^{f z}

 

^ ^{f a}



^^ib

 

^ ^{2 ;3}^b ^a



a) Montrer que f est un isomorphisme de



^C^{ }^;



^vers



^{IR ;}²



b) Déduire la structure de



^IR² ^

 

^{0;0 ;}^



^.

c) Déterminer le symétrique de tout élément



^{a b de}^;



^R² ^

 

^0;0

d) Résoudre dans ^R² ^

 

^0;0 l'équation

  

^H ^: ^{a b}^;

 

^ ^{a b}^;

 

^ ^a^;^b

 

^ ^{0 ;3}



2) Pour tout réel a; on considère la fonction f définie sur_n IRpar :



^{ }^x ^IR



^; ^{f x}

 

^^ax^et

on considère l'ensemble E 



fn ^/a^IR



a) Montrer que E est une partie stable pour les lois  et .

b) En utilisant un homomorphisme convenable montrer que



^E^;^



^et

 

^E^; ^{sont deux}

groupes commutatifs

c) Montrer que est distributive par rapport à dans E ; puis déduire la structure de



^E^{; ;}^



^.

(2)

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On considère l'ensemble^E ^{M x y}



^;



^x ^y ^/



^{x y}^;



^IR²

qy x

   

    

 

 

 ; tel que q est un réel variable.

1) Montrer que E est une partie stable de



M2

 

IR ;



. 2) On suppose que : q0 et on pose :   i q.

a) Vérifier que :



^{  }^z ^C



^;



^^!



^{x y}^;



^^IR²



^/^z^{ }^x ^^y

b) Montrer que l'application  définie de C^vers E^par : ^

  

^z ^ ^x^^^y



^^M



^{x y}^;



^est

un isomorphisme de



^C^{ }^^;



^vers



^E^^;^



; puis déduire la structure de



^E^^;^



^.

c) Déterminer l'inverse de tout élément ^{M x y}



^;



^de



^E^^;^



^.

3) On considère que : q0.

Vérifier que :^M



^q^;1

 

^^M ^ ^q^;1



^^O^;



^E^^;^



est-il un groupe ? Justifier votre réponse Exercice 5 (10pts).

I - Soit nINet f la fonction définie sur _n IR par :

 

n 1

nx x

f x e

e



 

 . 1) a) Calculer ^lim n

 

x f x

 et ^lim n

 

x f x

 ; puis donner une interprétation géométrique au résultat.

b) Etudier les variations de f ; puis dresser son tableau de variation. _n (Il faut procéder par disjonction des cas :n0 ; n1 etn2).

c) Montrer que les courbes

 

Cn de f passent par un point fixe _n à déterminer.

2) a) Montrer que le Courbe

 

C0 de f admet point d'inflexion unique I à déterminer. ₀ b) Montrer que

 

C0 admet le point  comme centre de symétrie ; puis déterminer l'équation de la tangente à

 

C0 en ce point,

c) Construire

 

C0 dans un repère orthonormé



O i j ; l’unité de mesure est 4 cm. ^{; ;}



3) Comparer f x et1

 

f0

 

x pour tout xIR; puis construire

 

C à partir de 1

 

C0 dans



^{O i j}^{; ;}



II - Soit

 

^U_n _n__IN la suite définie par:



^{ }ⁿ ^IN



^; ¹

 

n 0 n

U 



f t dt^. 1) Montrer que :



^{ }ⁿ ^IN^



^;⁰ ¹

n 2

U  ; et que la suite

 

^U_n _n__INest convergente 2) a) Calculer U₀ U₁; U ; puis déduire ₁ U ₀

b) Calculer l'aire de la partie du plan, délimitée par

 

C0 et les droites d’équations x0 ; 1

x et 1 y  2

(3)

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c) Déduire l'aire de la partie du plan délimitée par

 

C0 ;

 

C et les droites d'équation 1

0

x etx1.

3) Sans Calculer U montrer que : _n



^{ }ⁿ ¹



^; 1

1 1

n n 1

e n

U U

 n

 

 

 4) soit nIN^ ; on pose : V_n U_n U_n_₁ ; calculer lim _n

n V

 et lim _n

n U

 . IlI - Soit g la fonction définie par :

   



1¹

  

0

f x

g x x f x

 

 

On considère la fonction F définie sur



^1;^



^{par :}^{F x}

 

^



₀^{2 ln}^{ }^x ^{g t dt}

 

^.

1) a) Vérifier que :



^{ }^x ^IR ^

 

¹



^;

 

1 ex

g x  x

 b) Vérifier que F est bien définie sur



^1;^



^.

c) Montrer que F est dérivable sur



^1;^



; puis calculer^{F x}^

 

^.

d) Déduire que :



^{  }^x



^1;

 

^;

 

¹ ^{1 2ln}²

 

x t

F x dt

 t



 ^.

2) a) Montrer que :



^{ }^t ^IR^



^;^e^t ^{ }¹ ^t ; puis déduire ^lim

 

x F x

 .

b) Montrer que :



^{ }^x



^2;^

 

^;

 

2

 

2 1 2ln

x x

F x t dt

 t





c) Montrer que :



^{ }^x



^2;^

 

^;^^^{ }^c ^²^x^;^x^^^^/ ^{F x}

 

^¹^2l^cxⁿ

 

^c . d) Déduire que :



^{ }^x



^2;^

 

^;

^{ } _ _{ } _

2 1 2ln x

x F x

x  

e) Dresser le tableau de variation de F.