Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI − 2012-2013
D. Blotti`ere Math´ematiques
Devoir maison n˚3
Pour le mercredi 19 d´ecembre.
Exercice 1 (R´esolution d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre 1) 1. ´Etudier le signe de
1 +x2 1−x2 pour toutx∈]−1,1[.
2. Soit la fonction
f: ]−1,1[→R; x7→
s 1 +x2 1−x2. (a) D´emontrer que la fonction f est d´erivable sur ]−1,1[.
(b) Soit x∈]−1,1[. Calculer f′(x).
(c) Interpr´eter le r´esultat de la question 2.(b) en termes de primitives.
3. R´esoudre l’´equation diff´erentielle :
(E) (x2−1)y′−xy+ 2x
√1 +x2 = 0.
d’inconnue y: ]−1,1[→R.
Exercice 2 (Nombres complexes et g´eom´etrie) Soit R= (O;−→u ,−→v) un rep`ere orthonorm´e direct.
1. Soient M1 et M2 deux points du plan, d’affixes respectives z1 et z2. On rappelle que le milieu I du segment [M1M2] est l’unique point du plan caract´eris´e par :
−−→M1I = 1 2
−−−−→
M1M2.
Exprimer l’affixe du milieu I du segment [M1M2] en fonction de z1 etz2.
2. Soient A, B, C trois points distincts deO. Soit r la rotation de centreO et d’angle π3. On note :
(a) A′, B′, C′ les images respectives de A, B, C par la rotation r; (b) U, V, W les milieux respectifs des segments [A′B], [B′C] et [C′A].
D´emontrer que le triangle U V W est ´equilat´eral.
