CL´ E D’IDENTIFICATION :
Universit´e Joseph-Fourier – Licence 2
Unit´ e d’enseignement STE232 – Physique de la Terre
Contrˆole continu du 7 d´ecembre 2007
Dur´ee : 1h – Sans document – Calculatrice autoris´ee
NB : Gardez votre calme devant la longueur du sujet et le nombre de questions. Certaines ne demandent que des r´eponses tr`es courtes. N’essayez pas `a tout prix d’aborder toutes les questions, veillez plutˆot `a traiter correctement celles qui vous inspirent.
Si l’espace allou´e `a une r´eponse ne vous suffit pas, servez-vous de votre feuille d’examen.
Gardez les questions ´etoil´ees pour la fin, c’est du bonus.
LES PARTIES SISMOLOGIE ET GRAVIT´E SONT IND´EPENDANTES.
1 G´ eothermie – question de cours
Je vous rappelle l’´equation de la chaleur `a une dimension :
∂T
∂t = k ρC
∂2T
∂z2 + H ρC,
avec T la temp´erature, k la conductivit´e thermique, ρ la masse volumique, C la capacit´e calorifique, et H la production de chaleur par unit´e de volume par d´esint´egration radioactive.
Donnez l’interpr´etation physique de chacun des trois termes de cette ´equation.
R:
2 Sismologie
1. SoitMune particule d’un milieu continu ´elastique. D´ecrivez qualitativement (en vous aidant d’un sch´ema) les mouvements de M induits par le passage d’une onde P et d’une onde S. `A quelles classes d’ondes appartiennent respectivement les ondesP et les ondesS?
R:
2. Nous consid´erons un mod`ele de Terre simple `a 3 couches (les propri´et´es physiques ne variant pas dans une couche donn´ee), sch´ematis´e par la figure suivante :
O•
(3) (2) (1)
r1 r2 r3
r
1= 6371 km r
2= 3480 km r
3= 1220 km
On suppose dans tout ce qui suit que la r´egion 2 est occup´ee par un fluide. Quelles sont les r´egions de la terre interne correspondant aux couches 1, 2, et 3 ?
R:
3. Un tremblement de Terre a lieu `a la surface, `at= 0. Il est enregistr´e par une station sismologique situ´ee
`
a une distance ´epicentrale de 180 degr´es.
(a) Rappeler la d´efinition de la distance ´epicentrale (avec un sch´ema).
R:
(b) On rel`eve sur le sismogramme les temps d’arriv´ee suivants
phase temps d’arriv´ee (en s) P KIKP 1780,96
P KP 1975,93
P P 2252,49
SKKS 2658,82
SS 3603,98
i. Sur la figure qui suit apparaissent les chemins suivis dans ce mod`ele de Terre par ces phases sismiques (l’´echelle vous est donn´ee en bas `a droite, elle vous sera utile pour la suite).
Identifiez (en justifiant) les chemins correspondant aux diverses phases list´ees dans le tableau ci-dessus.
R:
0 10 20 30 40 50 60 80 70
100 90 110 120 130 140 150 160 170
180
190
200 210
220 230
240 250
260 270 280 290 300
310 320
330 340
350
1000 km
ii. Vitesses dans la couche (1) : utilisez les temps d’arriv´ees des phasesP P etSS pour calculer la vitesse de propagation des ondesP et S dans la couche (1).
R:
iii. Vitesse dans la couche (2) : de mˆeme, utilisez le temps de trajet dans la phase P KP pour calculez la vitesse de propagation des ondesP dans la r´egion (2).
R:
calculez la vitesse de propagation des ondesP dans la r´egion (3).
R:
v. Quelle phase sismique faudrait-il utiliser pour d´eterminer la vitesse de propagation des ondesS dans la r´egion (3) ?
R:
3 Gravit´ e et topographie
Les missions d’exploration de Mars, et notamment les sondesMars Express etMars Global Surveyor, ont r´ev´el´e un relief tr`es accentu´e. Mars accueille ainsi la plus haute montagne connue du syst`eme solaire, le Mont Olympe, qui culmine `a plus de 27 km au-dessus de sa base, soit plus de trois fois l’altitude de l’Everest (8845 m).
Le Mont Olympe. Photo NASA/Mars Global Surveyor.
On se propose de tenter de comprendre cette observa- tion `a l’aide d’un mod`ele tr`es simple, en supposant que l’altitude d’une montagne, quelqu’en soit son origine (volcanisme, tectonique des plaques,. . .), est limit´ee par la gravit´e `a la surface de la plan`ete qui tend `a faire effondrer le relief sous son propre poids. On consid`ere le mod`ele d´ecrit sur la figure 1, o`u l’on suppose le re- lief compos´e de roches homog`enes de masse volumique constante ρ = 2700 kg.m−3. On note h l’altitude de la montagne et on va supposer que l’acc´el´eration de la gravit´e g est constante sur toute la hauteur de la montagne.
~g z
h
0
ph ρ
Fig. 1 – Notre mod`ele de relief.
CL´ E D’IDENTIFICATION :
1. Justifier cette derni`ere hypoth`ese.
R:
2. Montrer que l’incr´ement de pressiondpqui r´esulte du passage de l’altitudez`a l’altitudez+dz est donn´e par
dp=−ρgdz. (1)
R:
3. En d´eduire la pressionph `a l’altitude z = 0 sous le relief, et montrer que la diff´erence de pression ∆ph
entre un point situ´e sous la montagne et un point loin du relief `a la surface de Mars, enz= 0, est ´egale `a
∆ph =ρgh, (2)
si l’on suppose la masse volumique de l’atmosph`ere n´egligeable par rapport `a ρ.
R:
4. Exprimer l’acc´el´eration de la gravit´eg`a la surface d’une plan`ete en fonction de son rayonR, de la masse volumique moyenne de la plan`ete ¯ρ et de la constante de gravitation universelle G. Retrouver la valeur de la gravit´e `a la surface de la Terre. Que vautg `a la surface de Mars ?
On prendraR⊕= 6370 km et ¯ρ⊕= 5515 kg.m−3 pour la Terre, et R
♂ = 3394 km et ¯ρ
♂ = 3933 kg.m−3 pour Mars. On rappelle queG = 6.67×10−11 N.m2. kg−2.
R:
5. Vous aurez remarqu´e que la masse volumique moyenne de Mars est sensiblement plus faible que celle de la Terre. Quel(s) argument(s) pouvez-vous avancer pour expliquer cette diff´erence ?
R:
Nous allons maintenant consid´erer un mod`ele tr`es simplifi´e d’effondrement gravitaire, o`u l’on suppose que l’effondrement devient important lorsque la contrainte diff´erentielle `a la base de la montagne, qui ici est
´egale `a σ′= ∆ph, d´epasse une valeur seuil, la contrainte cisaillante maximale de rupture, que l’on notera σR. La contrainte diff´erentielle ne peut pas d´epasser de beaucoup la valeur seuil, puisque l’effondrement gravitaire du relief deviendrait alors trop important pour que le relief se maintienne, et l’on suppose donc que l’altitude maximalehmax d’un relief `a la surface d’une plan`ete est telle que ∆ph(hmax) =σR.
6. Exprimer hmax en fonction de σR, ρ et g, puis en fonction de σR, ρ, ¯ρ, G, et R, le rayon de la plan`ete consid´er´ee. Vous devez trouver quehmax est inversement proportionnel `a ¯ρR: est-ce coh´erent avec l’alti- tude du Mont Olympe et de l’Himalaya ?
R:
7. Proposer alors une estimation deσR, en utilisant les valeurs de g `a la surface de la Terre et de Mars, et l’altitude de l’Himalaya et du Mont Olympe. Des exp´eriences en laboratoire montrent queσRest compris entre 50 et 350 MPa pour la plupart des roches de la croˆute terrestre. Comparer ces valeur avec votre estimation, et commenter.
R:
⋆ En r´ealit´e, sur Terre, ce n’est pas sur les continents que l’on trouve les plus grand reliefs, mais dans les oc´eans. Le plus haut volcan d’Hawai, le Mauna Kea, totalise ainsi plus de 10 km entre sa base (sur le plancher oc´eanique) et son sommet. Expliquer pourquoi un relief sous-marin peut ˆetre plus important que sur un continent. Comment faudrait-il modifier l’´equation trouv´ee `a la question 3 pour l’appliquer au cas d’un mont sous-marin ?
R:
