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FACULTE POLYTECHNIQUE DE MONS
EPREUVE D’ADMISSION DE JUILLET 2014 GEOMETRIE PLANE
SERIE E
Dans un système d’axes OXY orthonormé, soient la circonférence C1 centrée à l’origine et de rayon R1 = 20 et les droites AB et BC dont les coordonnées valent respectivement pour le point A(30,0), le point B(0, 50) et le point C(-50,0).
On demande de construire par la géométrie synthétique :
1. la circonférence C2 de centreP, de rayon R2 = 5, tangente à la fois à la droite AB et à la circonférence C1 et qui ne coupe pas l’axeOX
2. la circonférence C3 de centre Qde rayonR3 = 10, tangente à la fois à la droite BC et à la circonférence C1 et qui ne coupe pas l’axeOX
3. la circonférence C4 de centre R de rayonR4 = 2.5, tangente à la fois aux circonférences C2 etC3 et telle que l’ordonnée de son centreR soit supérieure aux ordonnées des points P etQ.
Soit E et F les points de contact de C2 avec respectivement Cl et AB. Soit I et J les points de contact de C3 avec respectivementC1 etBC. La tangente commune à Cl etC2 enE coupe AB en H et la tangente commune à C1 et C3 enI coupe BC enL. La. droite OP coupe AB en Get la droite OQ coupe BC enK. Joignons H àP etL à Q.
On demande de déterminer :
1. par la géométrie synthétique la somme des angles EHPb et ILQb en fonction des angles BAC,b BCAb etGOKb
2. par la géométrie analytiquel’équation de la circonférence C3
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EPREUVE D’ADMISSION DE JUILLET 2014 GEOMETRIE SPATIALE SERIE E
Dans le système d’axes orthonormé OXY Z, soit le tétraèdre régulier ABCD dont la longueur des erêtes vaut 20. Sa base ABC appartient au plan OXY. Son arête AB est parallèle à OY. L’ordonnée de B est plus grande que celle de A. Les coordonnées de son sommet A sont (20,10,0). L’abscisse de C est plus grande que les abscisses de A et de B.
On demande :
1. de déterminer les coordonnées des sommets B,C etD de ce tétraèdre 2. de calculer le volume du tétraèdre
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EPREUVE D’ADMISSION DE JUILLET 2014 SERIE D
Géométrie plane
Dans un repère orthonormé Oxy, on considère deux droites a et b formant un angle α entre elles. On nomme P leur point d’intersection. Soit M un point n’appartenant ni à a ni à b.
On construit le point M′ par symétrie orthogonale de M par rapport àa et M′′ par symétrie orthogonale de M′ par rapport à B. On demande :
— de dessiner une figure reprenant la construction de l’énoncé ;
— de démontrer que le point M′′ est l’image de M par une rotation de centre P d’angle 2α;
— de définir une condition surα pour que le quadrilatèreP M M′M′′ soit inscriptible ;
— dans le cas où a a pour équation y = 2, b a pour équation y = 3x+ 2 et M a pour coordonnées (3,-1) :
— de rechercher les coordonnées des points P, M′ etM′′;
— de vérifier analytiquement la première propriété démontrée (M′′ est l’image de M par une rotation de centre P d’angle 2α) ;
— de rechercher l’équation de l’hyperbole admettant P M et P M′ comme asymptotes et qui passe par le point M′′;
Géométrie spatiale
On donne trois points A,B etC respectivement de coordonnées (1,2,1), (3,5,2) et (7,4,3). On demande :
— de rechercher les équations paramétriques et l’équation cartésienne du plan passant par A, B etC;
— de rechercher les coordonnées d’un pointDtel queABCDsoit un trapèze isocèle dessiné dans le plan ABC;
— de donner le volume du corps obtenu par la rotation du trapèze ABCD autour de la droite BC.
Université de Mons - Faculté Polytechnique de Mons
EPREUVE 4
SERIE B
I. GEOMETRIE PLANE Question 1
Dans le système de référence orthonormé Oxy, considérons une droite d d'équation :
2x + 5y = 18
et M un point de cette droite, d'abscisse égale à 1. Soit la circonférence 1 de centre M et de rayon égal à 3 et A et B les points d'intersection de ce cercle avec la droite d.
On demande de déterminer l'équation du cercle 2 pour lequel le segment AB est une corde et dont le centre C appartient à la droite d'équation y = 1.
Question 2
Considérons un triangle variable ABC dont la longueur de la base AB et l'angle au sommet C sont constants.
On demande d'établir le lieu de l'orthocentre H du triangle.
II. GEOMETRIE SPATIALE Question 1
Considérons un cône équilatéral, c'est-à-dire dont une coupe par un plan médiateur est un triangle équilatéral de côté c. On demande de déterminer A de la surface de ce cône et son volume V en fonction de c.
Question 2
Dans le système de référence orthonormé Oxyz, on considère un triangle de sommets ABC tels que : A ( 5, 3, 5), B (3, 7, 3), C (1, 2, 3). On considère ensuite :
- la droite a qui passe par le point C et est parallèle au côté AB ;
- un plan passant par le pied M de la médiane du triangle ABC issue de C et perpendiculaire à celle-ci ;
- la droite b, parallèle au plan , passant par le point B et qui s'appuie en le point Q sur la droite a.
On demande de déterminer l'équation du plan ainsi que les coordonnées de Q.
FACULTE POLYTECHNIQUE DE MONS UNIVERSITE DE MONS
14 SERIE A
Question 1 : GEOMETRIE PLANE
Dans le système de référence orthonormé OXY, considérons un .
a) Déterminer le lieu L1 des points P tels que .
b) Déterminer le lieu L2 .
c) le segment OA et L1, déterminer les intersections de la perpendiculaire à OA passant par Q et L2 dans le cas particulier où le point A est en (3 ; 7),
Accompagnez chacune de une figure claire présentant la situation.
Question 2 : GEOMETRIE SPATIALE
ent un point A(8 ; 5 ; -8) et un plan paramétriques
X= 4 + -3 Y= 2 + Z= 7 + + 3
Soit une sphère -4)² + (Y-3)² + Z² = 16
Déterminer les équations cartésiennes des plans simultanément tangents à la sphère S, perpendiculaires au plan et passants par A.
Pour vous guider dans la résolution du problème, veuillez :
a) Exprimer la plan passe par A.
b) soit perpendiculaire au plan .
c) Exprimer la plan soit tangent à la sphère S.
FACULTE POLYTECHNIQUE DE MONS ( Académie Universitaire Wallonie- Bruxelles )
13 SERIE B
Question 1 : GEOMETRIE PLANE
Dans le système de référence orthonormé OXY, considérons une ellipse e de foyers F (0, f) et 0, -f) et de demi-grand axe a. Considérons c une circonférence de centre O et de rayon f.
a) Etablir pour quelles valeurs du rapport a/f une intersection entre le cercle c b) Dans le cas où cette intersection existe, établir
et montrer que cette tangente passe par le point
P, , .
c) Sachant que la bissectrice d angle formé par les droites reliant un point de l'ellipse aux foyers est perpendiculaire à la tangente en ce point, démontrer par les méthodes de la
Question 2 : GEOMETRIE SPATIALE
4.
Sachant que le centre de cette sphère se situe sur la droite d définie par les équations cartésiennes 2X + 3Y 5Z + 2 = 0
7X 4Y 2Z +3 = 0
et que S est tangente au plan X= 6 + -3
Y= 3 - 2 + Z= 5 + 3 +
la sphère ( S ).
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EPREUVES D’ADMISSION DE JUILLET 2012 GEOMETRIE PLANE
SERIE E
Question 1
Soit un système d’axes orthonormés OXY. Dans ce système, considérons le point A(9;8).
Par les méthodes de la Géométrie Synthétique :
a) Déterminer la circonférence c1 de centre C et de rayon 4 tangente à OY et à la droite OA (N.B.
cette circonférence est telle que les coordonnées de son centre C sont toutes deux positives) ; le point de contact entre OA et cette circonférence sera appelé T ;
b) Déterminer le point P équidistant de O, A et C ;
c) Montrer que l’angle COT vaut la moitié de l’angle CPA.
Question 2
Dans le système de référence orthonormé OXY, considérons une circonférence c1 de centre O et de rayon R1. Considérons une seconde circonférence c2 de centre O et de rayon R2 inférieur à R1. Cette circonférence c2 coupe le diamètre de c1 aligné sur l’axe OY en deux points F1 et F2. Soit une ellipse e de demi-grand axe R1 et de foyers F1 et F2.
Par un point quelconque P du diamètre de c1 aligné sur OY, on mène une droite d perpendiculaire à cet axe. La droite d coupe l’ellipse e et le cercle c1 en deux points (du côté des X>0), notés respectivement Q, R.
Par les méthodes de la Géométrie Analytique, établir la valeur du rapport XQ/XR.
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( Académie Universitaire Wallonie-Bruxelles )
EPREUVES D’ADMISSION DE JUILLET 2012 GEOMETRIE SPATIALE
SERIE E
Question 1
Soit un récipient ayant la forme d’un cylindre droit à base circulaire. Ce récipient doit être inséré dans une enceinte sphérique dont on souhaite minimiser la surface.
Sachant que le volume du cylindre doit valoir 100 dm³, déterminer le rayon minimal, exprimé en centimètres, de l’enceinte sphérique.
Question 2
Soit une sphère de centre A(10,20,30) et de rayon 7 et un point B(-10,-10,-30) On demande:
1) de déterminer l'équation cartésienne de la sphère et les équations paramétriques de la droite AB;
2) de rechercher les coordonnées du point C d'intersection entre la droite et la sphère (C est situé entre A et B);
3) de déterminer l'équation cartésienne du plan qui est le plan médiateur du segment AC (le plan médiateur d'un segment est un plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu);
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EPREUVES D’ADMISSION DE JUILLET 2012 GEOMETRIE PLANE
SERIE A
Question 1
Dans le système de référence orthonormé OXY, considérons le triangle ABC. Traçons-y les hauteurs AE, BF et CD (D, E, F sont les pieds de ces hauteurs).
Démontrer que les hauteurs du triangle ABC sont les bissectrices du triangle DEF. Vous développerez cette démonstration uniquement pour la hauteur CD et l’angle FDE, étant bien entendu qu’une démonstration analogue pourrait aussi être faite pour les 2 autres hauteurs.
Question 2
Dans le système de référence orthonormé OXY, on considère un cercle γ dont les coordonnées du centre O sont (5, 4) et dont le rayon R = 10.
Par le point B (21, 6), on fait passer une droite tangente à γ en A, d’ordonnée positive.
Par les méthodes de la Géométrie Analytique, calculer les coordonnées du point A.
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EPREUVES D’ADMISSION DE JUILLET 2012 GEOMETRIE SPATIALE
SERIE A
Question 1
Dans un récipient de forme cylindrique à section horizontale circulaire de 7854 mm2 et de hauteur 140 mm, on introduit d’abord une sphère d’acier de 80 mm de diamètre et ensuite, une autre sphère d’acier de 60 mm de diamètre.
a. Ces 2 sphères touchent la paroi intérieure du récipient, la première par 2 points de contact (l’un sur la base du récipient, l’autre A sur la paroi latérale de ce récipient), la seconde par un seul point B de contact sur la paroi latérale du récipient (son autre point d’appui C étant sur la première sphère) et ces points de contact A et B sur la paroi latérale du récipient appartiennent à un plan vertical passant par l’axe du cylindre et ne sont pas l’un au- dessus de l’autre. Si, une fois les 2 sphères introduites dans le récipient, celui-ci est rempli jusqu’au ras de la sphère supérieure, déterminer quel niveau est atteint par l’eau par rapport au fond horizontal du récipient.
b. Quelle est la hauteur du point de contact C entre les sphères par rapport au fond du récipient ?
Question 2
Dans le système de référence orthonormé OXYZ, on considère :
- une droite a passant par le point P de coordonnées (X, Y, Z) = (1, 4, 5) et de paramètres directeurs (0, 2, 3),
- une droite b passant par les 2 points Q (2, 0, 5) et R (4, 4, 1).
On appelle A et B les points d’appui sur a et b d’une 3ème droite mobile c.
On demande :
- a. de déterminer des équations paramétriques des droites a et b,
- b. de déterminer des équations paramétriques du lieu du milieu M du segment variable AB et de dire alors à quel type de figure géométrique correspond ce lieu.
