Devoir de Math´ematiques n
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Exercice 1
(5 points)On consid`ere une suite (un)n>0 dont aucun terme n’est nul et on d´efinit la suitevn= −2 un
. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifiez.
1. Si (un) est croissante alors (vn) est d´ecroissante.
2. Si (un) est convergente alors (vn) est convergente.
3. Si (un) est minor´ee par 2 alors (vn) est minor´ee par−1.
4. Si (un) est divergente alors (vn) converge vers 0.
5. Si (vn) converge vers 0 alors (un) est divergente.
Exercice 2
(15 points)On consid`ere la fonction f d´efinie sur l’intervalle ]−1 ; +∞[ par :
f(x) =x−ln(1 +x) 1 +x . La courbeC repr´esentative def est donn´ee ci-dessous :
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-1 0 1 2 3 4 5
1 1
O x
y
C D
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Devoir de Math´ematiques n◦7
Partie A : ´Etude de certaines propri´et´es de la courbe C
1. On notef′ la fonction d´eriv´ee def. Calculerf′(x) pour toutxde l’intervalle ]−1 ; +∞[.
2. Pour toutx de l’intervalle ]−1 ; +∞[, on poseN(x) = (1 +x)2−1 + ln(1 +x).
V´erifier que l’on d´efinit ainsi une fonction strictement croissante sur ]−1 ; +∞[.
CalculerN(0). En d´eduire les variations de la fonction f.
3. Soit D la droite d’´equationy =x. Calculer les coordonn´ees du point d’intersection de la courbeC et de la droiteD.
Partie B : ´Etude d’une suite r´ecurrente d´efinie `a partir de la fonction f
1. D´emontrer que si x∈[0 ; 4], alors f(x)∈[0 ; 4].
2. On consid`ere la suite (un) d´efinie par :
u0 = 4
un+1 = f(un) pour toutn de N.
(a) En utilisant la courbeC et la droiteDrepr´esent´ees sur l’´enonc´e, placeru0 , u1, u2 et u3 sur l’axe des abscisses.
(b) D´emontrer que pour tout ndeN on a :un∈[0 ; 4].
(c) ´Etudier la monotonie de la suite (un).
(d) D´emontrer que la suite (un) est convergente. On d´esigne par lsa limite.
(e) Utiliser la partie A pour donner la valeur del.
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