G6901 - Inégalités triangulaires

Problème proposé par Pierre Jullien

Soit un triangle ABC dont les dimensions des côtés AB = c, AC = b et BC = a sont classées dans l'ordre croissant: c ≤ b ≤ a avec a < b + c.

L'indice d'inégalité I de ce triangle est le plus petit des deux rapports b/c et a/b: I = min{b/c, a/b}.

Plus I est petit et proche de 1, plus le triangle se rapproche d'un triangle isocèle avec au moins deux côtés de dimensions très proches. A l'inverse, plus I est grand, plus le triangle peut être considéré comme "inégal", en d'autres termes le "moins isocèle possible".

Q1 Déterminer la valeur plafond de I.

Q2 Construire le triangle le plus inégal possible tel que le plus grand côté BC est égal à 10 cm et la hauteur issue de A est égale à 1 cm.

Q

: Puisque a≥bI et b≥cI, donc a≥cI

, l’inégalité triangulaire entraine a-b<c, soit (a/b)(b/c)<b/c+1 : si b/c=I, a/b≥I, (a/b)I<I+1 et I

<I+1 ; si a/b=I, b/c≥I , (I-1)b/c<1, donc I

-I<1 : dans tous les cas, I est inférieur au nombre d’or (1+√5)/2.

Q

: Si x est la longueur de la projection du plus petit coté sur BC, les longueurs des deux autres cotés sont a=√(1+x

) et b=√(1+(10-x)

) donc

(b/a)

=(1+(10-x)

)/(1+x

) et (c/b)

=100/(1+(10-x)

) ; le maximum du plus petit de ces rapports est obtenu lorsqu’ils sont égaux, donc si 100(1+x

)=(1+(10-x)

)

x

-40x

+502x

-4040x+10101=0, soit x=3,807 et I=1,594

G6901 - Inégalités triangulaires