E60237. Au Club des Joyeux Retraités
Dans ce Club, les membres ont entre 51 et 100 ans. Montrer que dans toute rencontre qui réunit au moins 9 d’entre eux, on peut trouver deux sous- ensembles de membres ayant un même total pour somme des âges (l’âge de chaque membre est un nombre entier).
Solution
Si deux des membres ont le même âge, il suffit de considérer chacun d’eux comme un des sous-ensembles demandés ; traitons donc le cas où les âges sont tous différents.
Dans un groupe de 9 personnes, il y a C93 = 84 façons de former un sous- ensemble de 3 personnes, C94 = 126 façons de former un sous-ensemble de 4 personnes, C95 = 126 façons de former un sous-ensemble de 5 personnes.
Donc au total 336 groupes de 3 à 5 personnes.
La moyenne de 3 âges différents est au moins 52 ans, la moyenne de 5 âges différents est au plus 98 ans ; dans les 336 groupes, le total des âges peut aller de 3×52 = 156 à 5×98 = 490, soit 335 valeurs possibles, moins que le nombre de groupes. Par le principe des tiroirs, il existe deux groupes ayant le même total ; en écartant les membres qu’ils pourraient avoir en commun, on obtient deux sous-ensembles disjoints de même total.
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