E141 – Les suites du millésime
Q1 On considère la suite d’entiers 1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,…. Déterminer le 2021ième terme.
Q2 Combien y a-t-il de suites distinctes d’entiers consécutifs dont la somme est égale à 2021 ? Nota : les deux questions sont indépendantes.
Résolution
Q1
Soit (un)n N la suite considérée. Ses premiers termes laissent envisager un rapport étroit avec la suite de Fibonacci (fn)n N et un examen un peu plus minutieux montre qu’il s’agit de la suite des restes des fi modulo 9.
Comme, pour tout n, fn+2 = fn+1 + fn ; on a un+2 = un+1 + un (mod 9). La suite prenant ses valeurs dans [| 0 ; 9 |], les couples (un, un+1) ont 100 valeurs différentes possibles : la suite est donc périodique, de période au plus égale à 100. Calculons-en les premières valeurs pour trouver la première répétition : 1. 1. 2. 3. 5. 8. 4. 3. 7. 1. 8. 0. 8. 8. 7. 6. 4. 1. 5. 6. 2. 8. 1. 9. 1. 1. etc.
La suite connaît une période égale à 24, le 2021e terme est donc identique au 5e et vaut 5.
Q2
Soit (n, n+1, …, n+k) une suite de k+1 entiers consécutifs dont la somme vaut 2021 : (n+k/2)*(k+1)=2021
2021 se factorisant en 43*47, les 4 valeurs paires de k possibles sont 0, 42, 46, 2020.
k=0 conduit à n=2021 => la suite à terme unique (2021) convient ; k=42 conduit à n=26 => la suite (26, 27, …, 68) convient ;
k=46 conduit à n=20 => la suite (20, 21, …, 66) convient ;
k=2020 conduit à n= -1009 => la suite (-1009, -1008, …, 1011) convient.
Supposons désormais k impair (k=2u+1), l’équation précédente devient (n+u+1/2)*(2u+2) = 2021, soit :
(2n+2u+1)*(u+1) = 2021
Les valeurs possibles de u sont 0, 42, 46, 2020 comme précédemment.
u=0 conduit à k=1 puis n=1010 => la suite (1010, 1011) convient ; u=42 conduit à k=85 puis n= -19 => la suite (-19, -18, … 66) convient ; u=46 conduit à k=93 puis n= -25 => la suite (-25, -24, …, 68) convient ;
u=2020 conduit à k=4041 puis n= -u = -2020 => la suite (-2020, -2019, … 2021) convient.
Soit 8 solutions, 4 composées uniquement de nombres positifs et 4 issues des premières auxquelles on ajoute un « préfixe (-x, …, x) dont la somme est nulle.
