D2920. Partage équitable

D2920. Partage équitable

On trace 2021 points dans le plan de sorte que trois quelconques d’entre eux ne sont jamais sur une même droite et quatre quelconques d’entre eux ne sont jamais cocycliques.

Démontrer qu’on sait toujours tracer un cercle qui contient trois points sur sa circonférence, avec 1009 points qui sont à l’extérieur et 1009 points qui sont à l’intérieur.

Solution

Il est possible de généraliser la solution en raisonnant avec un nuage de 2n+1 points avec comme objectif de tracer un cercle qui contient trois points sur sa circonférence, avec n-1 points qui sont à l’extérieur et n-1 points qui sont à l’intérieur.

Pour parvenir à cette répartition il faut réaliser successivement les opérations suivantes :

1. Choisir les points les plus extérieures au nuage de points pour définir un polygone convexe les contenant tous.

2. Choisir deux sommets adjacents A et B de ce polygone convexe et tracer la droite AB (il n’ y a pas d’autre point sur AB car trois quelconques d’entre eux ne sont jamais sur une même droite).

Cette droite sépare le plan en 2 demi-plans, P1 sans aucun point et P2. contenant les 2n-1 points restant.

3. Tracer la médiatrice xy du segment AB (M milieu de AB), la demi-droite Mx étant dans P1 et la demi-droite My dans P2

4. Prendre un point O qui va parcourir la droite xy de l’infini dans P1 à l’infini dans P2

5. Considérons le cercle de centre O passant par A etB

• Quand O est à l’infini sur Mx dans P1, le cercle est confondu à la droite AB

• Avec le déplacement de O, le cercle va progressivement passer par chaque point du nuage (jamais 2 simultanément, sinon 4 points cocycliques), puis va l’inclure.

• Appelons interception cette actions de passer par un nouveau point. La nième interception sera le point C qui définit le cercle ABC contenant n-1 points, il en reste donc n-1 extérieurs. Ce qui était le but recherché.

Le processus est à utiliser avec n = 1010 pour les 2021 points.

Le choix du côté du polygone étant multiple, cela montre que les solutions sont multiples.

Exemple avec n=5 :

M

P1 P2