D2920. Partages ´ equitables
La condition pour qu’un partage soit possible est que le nombre de points soit impair et≥5. Elle est v´erifi´ee pourn= 5,7,· · ·2021.
Par 2points quelconques de l’ensemble, on trace une ligne droite : elle s´epare le plan en2zones contenant respectivementaetn−a−2points. On suppose a > n−a−2.
Si on remplace la droite par un cercle de rayon suffisamment grand, et dont le centre est du bon cˆot´e, le nombre de points int´erieurs au cercle esta.
On diminue progressivement le rayon du cercle. Par hypoth`ese, il ne passe qu’un cercle par3points. Le nombre de points int´erieurs au cercle varie donc d’une unit´e en plus ou en moins `a chaque fois que le cercle franchit un point, jusqu’`a ne contenir que n−a−2points. Il y a donc n´ecessairement au moins 1 cercle qui r´ealise le partage ´equitable, quels que soient les 2 points initiaux.
Avec5points, on a4cercles de partage ´equitable. 2points appartiennent `a3 cercles, les3autres `a2cercles seulement ((2×3 + 3×2)/3 = 4cercles).
Avec 7points, on peut avoir au maximum10 cercles de partage ´equitable. 2 points appartiennent `a 5cercles, les5autres `a 4cercles seulement ((2×5 + 5×4)/3 = 10cercles).
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