Problème proposé par Bernard Vignes
On trace 2021 points dans le plan de sorte que trois quelconques d’entre eux ne sont jamais sur une même droite et quatre quelconques d’entre eux ne sont jamais cocycliques.
Démontrer qu’on sait toujours tracer un cercle qui contient trois points sur sa circonférence, avec 1009 points qui sont à l’extérieur et 1009 points qui sont à l’intérieur.
Choisissons un point O et transformons les 2020 points restant par inversion I de centre O ; comme dans la configuration initiale, trois points quelconques ne sont pas alignés ni quatre cocycliques.
Soit A le point (ou l’un des points) les plus éloignés de O ; l’ensemble des points autres que A est contenu dans un angle saillant de sommet A, de sorte que toute droite reliant A à un autre point de l’ensemble est à l’intérieur de cet angle.
Trois points ne pouvant être alignés, toute droite reliant A à un autre point de l’ensemble (différent de O) divise donc les 2018 autres points en deux ensembles dont les cardinaux vont augmenter (ou diminuer) progressivement de 0 à 2018 et inversement ; il existe donc un point B tel que les 2018 points autres que O, A et B soient répartis en 1009 de chaque coté de AB.
O ne peut appartenir à la droite AB, donc les 1009 points qui se trouvent du même coté que O de AB ont leurs images, dans l’inversion I, extérieures au cercle inverse de la droite AB, qui passe par O ; et inversement.
