Le mouvement de rotation

(1)

ANALYSE VECTORIELLE: GRADIENTS, DIVERGENCES ET ROTATIONNELS

1- Quelques exemples de mouvements plans élémentaires

(2)

La translation

• A un instant t, les composantes vx

et vy de la vitesse sont indépendantes de la position (x, y).

• Déplacement d’ensemble de toutes les particules dans la même direction, le même sens, et à la même vitesse.

• Les lignes de courants sont des droites parallèles.

0 0.5 1 1.5 2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Mouvement de translation

(3)

Le mouvement de rotation

• L’ensemble des particules du plan tourne autour d’un point.

• A un instant t, la vitesse angulaire de rotation Ω est identique pour toute les particules.

• Si le mouvement de rotation est dans le plan x, y, le vecteur instan- tané de rotation Ω~ est normal à ce plan.

• Vecteur vitesse, en tout point ~r du plan: ~v = Ω~ ∧ ~r

• Les lignes de courant sont des cercles concentriques centré sur 0.

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Mouvement de rotation

(4)

Le mouvement de divergence

• La divergence est un mouvement particulier au milieu fluide.

• Le vecteur vitesse au point ~r est simplement

~v = a ~r, où a est un scalaire.

a > 0: mouvement divergent a < 0: mouvement convergent.

• Les lignes de courant sont des

droites qui se croisent en l’origine ⁻¹ ^−0.5 ⁰ ^0.5 ¹

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Mouvement de divergence

(5)

Opérateur Nabla ∇ ~

Il se note ∇~ et est défini par:

∇~ =







∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z







(6)

Gradient d’une fonction scalaire

Soit f(x, y, z) définie et différentiable en tout point (x, y, z) d’un certain domaine d’espace.

Le gradient de f, noté ∇~ f ou gradf~ se définit par:

∇~ f =







∂f(x,y,z)

∂x

∂f(x,y,z)

∂y

∂f(x,y,z)

∂z







• Le vecteur gradient représente et quantifie la variabilité de la fonction au tour d’un point en fonction de sa position dans l’espace.

(7)

Gradient dans la base cartésienne

Soit un point M en (x, y, z). Soit un point M^′ proche du point M de coordonnées cartésiennes [x + dx, y + dy, z + dz]. La projection de −−−→

M M^′ sur ~ex, ~ey, ~ez sera respectivement [dx, dy, dz].

dx

dz

e_x

e_y e_z

dy (x,y,z)

M’

M

(x+dx,y+dy,z+dz) −−−→

M M^′ =





 dx dy dz







= −−→ dM

le déplacement infinitésimal.

(8)

Gradient dans la base cartésienne

Soit un point M en (x, y, z). Soit un point M^′ proche du point M de coordonnées cartésiennes [x + dx, y + dy, z + dz]. La projection de −−−→

M M^′ sur ~ex, ~ey, ~ez sera respectivement [dx, dy, dz].

Soit une fonction scalaire f(x, y, z).

La variation infinitésimale de la fonction f lors d’un déplacement sur sa surface défini par le vecteur −−→

dM =





 dx dy dz







est: df = ∇~ f · −−→ dM.

Le vecteur gradient [∇~ f] représente et quantifie la variabilité de la fonction autour d’un point en fonction de sa position dans l’espace:

∇~ f(x, y, z) = ∂f(x, y, z)

∂x ~ex + ∂f(x, y, z)

∂y ~ey + ∂f(x, y, z)

∂z ~ez

(9)

Remarques

• Le gradient est un vecteur. En tant que tel, il dépend du système d’axes dans lequel il est calculé.

• Le gradient de l’équation d’une surface représente la normale à la surface.

Soit une surface f(x, y, z) = 0. Sur cette surface on a df = 0 et donc

∇~ f · dM~ = 0 ⇒ ∇~ f perpendiculaire à dM~ et donc normal à la surface

(10)

Divergence d’un champ de vecteur

Soit un vecteur A, de composantes~ Ax, Ay et Az, défini et différentiable en tout point (x, y, z) d’un certain domaine d’espace.

La divergence de A, noté~ ∇~ . ~A ou divA~ est un scalaire.

∇ ·~ A~ représente la divergence d’un champ de vecteur en un point P:

∇ ·~ A~ = lim

δV→0

R R

δS A~ · ~ndS δV

où δV est le volume limité par la surface δS et ~n la normale à la surface δS dirigée vers l’extérieur.

Cela représente le flux, par unité de volume, du vecteur A~ à travers la surface δS.

(11)

Soit un cube infinitésimal, de cotés dx, dy, dz

(x+dx,y+dy,z) (x,y+dy,z) (x,y+dy,z+dz)

dx

dz

e_x

e_y e_z

(x+dx,y+dy,z+dz)

dy (x,y,z) (x,y,z+dz)

(x+dx,y,z+dz)

(x+dx,y,z)

Calcul de A~ ·~n dS à travers le cube Selon les faces du cube,

la normale vaut ~ex, −~ex, ~ey, −~ey, ~ez, ou −~ez ,

et les surfaces élémentaires dydz, dxdz ou dxdy.

(12)

e_y e_z

(x+dx,y+dy,z+dz)

dy (x,y,z+dz)

(x+dx,y,z+dz)

(x+dx,y,z)

dz

e_x

S1

Surface S1:

normale ~n = ~e_x, élément d’aire: dS = dydz A~ ·~n dS = A~·~e_x dydz = A_x(x+dx, y, z)dydz

Surface S2:

normale ~n = −~e_x, élément d’aire: dS = dydz A~ · ~n dS = −A~ ·~e_x dydz = −A_x(x, y, z)dydz

Surface S3:

normale ~n = ~e_y, élément d’aire: dS = dxdz A~ ·~n dS = A~·~ey dxdz = Ay(x, y+dy, z)dxdz

Surface S4:

normale ~n = −~e_y, élément d’aire: dS = dxdz A~ · ~n dS = −A~ ·~e_y dxdz = −A_y(x, y, z)dxdz

Surface S5:

normale ~n = ~e_z, élément d’aire: dS = dxdy A~ ·~n dS = A~ ·~e_z dxdy = A_z(x, y, z +dz)dxdy

Surface S6:

normale ~n = −~ez, élément d’aire: dS = dxdy A~ · ~n dS = −A~ ·~e_z dxdy = −A_z(x, y, z)dxdy

(13)

e_y e_z

(x+dx,y+dy,z+dz) (x,y,z+dz)

(x+dx,y,z+dz)

(x+dx,y,z)

e_x

x (x,y,z)

dy

dz S2

Surface S1:

Surface S2:

Surface S3:

Surface S4:

Surface S5:

Surface S6:

(14)

e_x

e_y e_z

(x+dx,y+dy,z+dz)

(x+dx,y,z+dz)

(x+dx,y,z)

dz

dx

S3

Surface S1:

Surface S2:

Surface S3:

Surface S4:

Surface S5:

Surface S6:

(15)

e_x

e_y e_z

(x+dx,y+dy,z+dz)

dy (x,y,z+dz)

(x+dx,y,z+dz)

(x+dx,y,z)

dx

dz

(x,y,z)

S4

Surface S1:

Surface S2:

Surface S3:

Surface S4:

Surface S5:

Surface S6:

(16)

e_x

e_y e_z

(x+dx,y+dy,z+dz)

(x,y,z) (x,y,z+dz)

(x+dx,y,z+dz)

(x+dx,y,z)

dz

dy

dx S5

Surface S1:

Surface S2:

Surface S3:

Surface S4:

Surface S5:

Surface S6:

(17)

e_x

e_y e_z

(x+dx,y+dy,z+dz)

(x,y,z) (x,y,z+dz)

(x+dx,y,z+dz)

(x+dx,y,z)

dz

S6

dy

dx

Surface S1:

Surface S2:

Surface S3:

Surface S4:

Surface S5:

Surface S6:

(18)

dx

dz

e_x

e_y e_z

(x+dx,y+dy,z+dz)

(x+dx,y,z+dz)

(x+dx,y,z)

Surface S1:

Surface S2:

Surface S3:

Surface S4:

Surface S5:

Surface S6:

(19)

Calcul de A~ · ~n dS à travers le cube (S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6)

A~ · ~n dS = Ax(x + dx, y, z)dydz − Ax(x, y, z)dydz +Ay(x, y +dy, z)dxdz − Ay(x, y, z)dxdz +A_z(x, y, z + dz)dxdy − A_z(x, y, z)dxdy

A~ · ~n dS = [A_x(x+ dx, y, z)− A_x(x, y, z)]dydz + [A_y(x, y + dy, z) − A_y(x, y, z)]dxdz +[Az(x, y, z +dz) − A_z(x, y, z)]dxdy

A~ ·~n dS = dxdydzhAx(x+ dx, y, z)− Ax(x, y, z)

dx + Ay(x, y +dy, z)− Ay(x, y, z) dy

+A_z(x, y, z + dz)− A_z(x, y, z) dz

i

⇒ A~ ·~n dS = dxdydzh∂A_x

∂x + ∂A_y

∂y + ∂A_z

∂z i

(20)

⇒ 1 δV

Z Z

δS

A~ · ~ndS = ∂Ax

∂x + ∂Ay

∂y + ∂Az

∂z

avec δV = dxdydz le volume du cube infinitésimal

En coordonnées cartésiennes, on a donc:

∇ ·~ A~ = ∂Ax(x, y, z)

∂x + ∂Ay(x, y, z)

∂y + ∂Az(x, y, z)

∂z

La divergence d’un vecteur A~ est un scalaire

(21)

∇ ·~ A~ représente la divergence d’un champ de vecteur en un point P:

• Si ∇ ·~ A~ est positive dans le voisinage du point P cela signifie que le flux est positif en P, et P s’appelle une source.

• De même, si ∇ ·~ A~ est négative dans le voisinage du point P, le flux est un

"flux-rentrant"et P s’appelle un puits.

• Si, dans un domaine, il n’y a ni source ni puits, alors ∇ ·~ A~ = O, et le champ de~ vecteur A~ est dit solénoidal.

(22)

Exemple

• La translation est à divergence nulle, puisque toutes les dérivées s’annulent.

• La rotation est à divergence nulle, puisque

∂vx

∂x = ∂(−Ωy)

∂x = 0

∂vy

∂y = ∂(Ωx)

∂y = 0 vz = 0

• La divergence d’un mouvement de divergence est

∂vx

∂x = ∂ax

∂x = a

∂vy

∂y = ∂ay

∂y = a vz = 0

∇ ·~ ~v = 2a

(23)

Remarques

• La divergence est un scalaire, qui se calcule pour un champ vectoriel. La divergence appliquée à un scalaire n’a aucun sens.

• La divergence correspond intrinsèquement à un changement de volume. Il faut qu’il y ait convergence ou divergence.

Si un champ correspond à une rotation en bloc, il est par essence indivergentiel, c’est-à -dire que sa divergence est nulle.

De même, une translation en bloc n’est associée à aucune divergence, puisqu’une translation correspond, par définition, à un champ de vitesse constant dans l’espace.

• La divergence d’un rotationnel est toujours nulle, et ce, quel que soit le champ rotationnel.

(24)

Théorème de divergence de Gauss

(appelé aussi théorème d’Ostrogradski):

si V est un volume limité par une surface fermée S et si A~ est une fonction vectorielle possédant des dérivées continues alors:

Z Z Z

V

∇ ·~ A dv~ =

Z Z

S

A~ · ~ndS

où ~n est la normale dirigée vers l’exterieur de S.

(25)

Rotationnel d’un vecteur

Soit A~ un vecteur, de composantes Ax, Ay et Az, défini et différentiable en tout point (x, y, z) d’un certain domaine d’espace.

Le rotationnel A, noté~ ∇ ∧~ A~ ou rotA~ se définit par:

rot~ A~ =







∂A_z

∂y − ^∂A^y

∂z

∂A_x

∂z − ^∂A^z

∂x

∂A_y

∂x − ^∂A^x

∂y







(26)

Rotationnel d’un vecteur

• Le vecteur rotationnel est le vecteur qui exprime la tendance à la rotation d’un champ de vecteur

• Théorème de Stokes:

Si S est une surface ouverte, à deux faces, limitée par une courbe simple fermée C, alors si A~ possède des dérivées continues

Z Z

S

∇ ∧~ A~

· ~n dS = I

C

A~ · dl~

On peut définir le rotationnel d’un champ de vecteurs en un point comme la circulation locale du champ autour de ce point.

(27)

Rotationnel dans la base cartésienne

e_x

e_y

e_x

e_y ey

dy

−dy

dx −dx

Circulation d’une fonction vectorielle A ~ de

composante A

_x

, A

_y

et A

_z

le long d’un con-

tour fermé C infinitésimal dans le plan

(~e

_x

, ~e

_y

):

(28)

Circulation d’une fonction vectorielle A ~ de composante A

_x

, A

_y

et A

_z

le long d’un contour fermé C infinitésimal dans le plan (~e

x

, ~e

_y

)

e_x

e_y

e_x

e_y e_y

dy

−dy

dx −dx

C1

le long du circuit C₁ dl~₁ = dy ~ey

et A~ · dl~₁ = Ay(x + dx, y)dy

le long du circuit C₂ dl~₂ = −dx ~ex

et A~ · dl~₂ = −Ax(x, y + dy)dx

le long du circuit C₃ dl~₃ = −dy ~ey

et A~ · dl~₃ = −Ay(x, y)dy

le long du circuit C₄ dl~₄ = dx ~ex

et A~ · dl~₄ = Ax(x, y)dx

(29)

Circulation d’une fonction vectorielle A ~ de composante A

_x

, A

_y

et A

_z

le long d’un contour fermé C infinitésimal dans le plan (~e

x

, ~e

_y

)

e_x

e_y

e_x

e_y e_y

dy

−dy

dx −dx

C2

(30)

Circulation d’une fonction vectorielle A ~ de composante A

_x

, A

_y

et A

_z

le long d’un contour fermé C infinitésimal dans le plan (~e

x

, ~e

_y

)

e_x

e_y

e_x

e_y e_y

dy

−dy

dx −dx

C3

(31)

Circulation d’une fonction vectorielle A ~ de composante A

_x

, A

_y

et A

_z

le long d’un contour fermé C infinitésimal dans le plan (~e

x

, ~e

_y

)

e_x

e_y

e_x

e_y e_y

dy

−dy

dx −dx

C4

(32)

Circulation d’une fonction vectorielle A ~ de composante A

_x

, A

_y

et A

_z

le long d’un contour fermé C infinitésimal dans le plan (~e

x

, ~e

_y

)

e_x

e_y

e_x

e_y ey

dy

−dy

dx −dx

(33)

⇒ Circulation de A~ le long du contour fermé C = C1 + C2 + C3 + C4 infinitésimal dans le plan (~ex, ~ey)

e_x

e_y

e_x

e_y ey

dy

−dy

dx −dx

Z

C

A~ · dl~ = Ay(x + dx, y)dy − Ax(x, y + dy)dx − Ay(x, y)dy + Ax(x, y)dx

= dxdyhAy(x + dx, y) − Ay(x, y)

dx − Ax(x, y + dy) − Ax(x, y) dy

i

= h∂Ay

∂x − ∂Ax

∂y

idxdy

(34)

- Circulation d’une fonction vectorielle A~ de composante Ax, Ay et Az le long d’un contour fermé C infinitésimal dans le plan ~ex, ~ey:

Z

C

A~ · dl~ = ∂Ay

∂x − ∂Ax

∂y

dxdy

- le long d’un contour fermé infinitésimal dans le plan ~ex, ~ez, la circulation de A~

est: Z

C

A~ · dl~ = ∂Ax

∂z − ∂Az

∂x

dxdz

- le long d’un contour fermé infinitésimal dans le plan ~ey, ~ez, la circulation de A~

est: Z

C

A~ · dl~ = ∂Az

∂y − ∂Ay

∂z

dydz

(35)

Contour fermé de normale quelconque.

• Circulation projetée sur une face de normale ~ez: _∂A

y

∂x − ^∂A^x

∂y

dxdy,

• Circulation projetée sur une face de normale ~ey:

∂A_x

∂z − ^∂A^z

∂x

dxdz

• Circulation projetée sur une face de normale ~ex:

∂A_z

∂y − ^∂A^y

∂z

dydz.

On définit alors un vecteur appelé rotationnel de A~ dont les composantes sont les circulations définies ci-dessus soit

rotA~ =







∂A_z

∂y − ^∂A^y

∂z

∂A_x

∂z − ^∂A^z

∂x

∂A_y

∂x − ^∂A^x

∂y







Le vecteur rotationnel est donc le vecteur qui exprime la tendance à la rotation d’un champ de vecteur.

On notera

rot~ A~ = ∇ ∧~ A~

(36)

Exemple

• Le rotationnel d’une translation est nul.

• Le rotationnel d’un mouvement de divergence est nul:

∂vx

∂y = ∂ax

∂y = 0 et ∂vy

∂x = ∂ay

∂x = 0

• Le rotationnel d’un mouvement de rotation est

∂vx

∂y = ∂(−Ωy)

∂y = −Ω

∂vy

∂x = ∂(Ωx)

∂x = Ω

∇ ∧~ ~v =

∂vy

∂x − ∂vx

∂y

~ez = 2Ω~ez

La moitié du rotationnel de la vitesse lors d’une rotation uniforme est donc le vecteur rotation.

(37)

Quelques remarques:

• Le rotationnel est un vecteur, qui se calcule pour un champ vectoriel.

On ne peut pas l’appliquer à un scalaire.

• Le rotationnel, en gros, mesure la rotation d’un champ vectoriel. Les champs efficaces pour le rotationnel sont les rotations en bloc. Par exemple, la circulation géostrophique dans l’atmosphère (associée aux cyclones). Le rotationnel d’un champ divergentiel ou d’une translation en bloc donne zéro.

• Le rotationnel d’un gradient est toujours nul, et ce quel que soit le

champ scalaire dont on calcule le gradient.

(38)

Laplacien

La divergence du gradient d’une fonction scalaire f est appelé Laplacien.

• En coordonnées cartésiennes on a:

∇ · ~ ∇ ~ f = ∂

²

f (x, y, z)

∂x

²

+ ∂

²

f (x, y, z )

∂y

²

+ ∂

²

f (x, y, z)

∂z

²

(39)

Quelques propriétés

• Lois de composition

∇~ (f + g) = ∇~ f + ∇~ g

∇~ (f g) = f ~∇g + g ~∇f

div(~u + ~v) = div~u + div~v div(f~v) = fdiv~v +~v · ∇~ (f)

div(~u × ~v) = −~u · rot(~~ v) + rot(~~ u) · ~v

rot(~~ u + ~v) = rot(~~ u) + rot(~ ~v) rot(λ~~ v) = λ ~rot(~v) − ~v ∧ ∇~ λ

(40)

• Quelques relations

∇ ∧~ (∇~ f) = O~

∇ ·~ (∇ ∧~ A~) = 0

(41)

Le mouvement de rotation

ANALYSE VECTORIELLE: GRADIENTS, DIVERGENCES ET ROTATIONNELS

1- Quelques exemples de mouvements plans élémentaires

La translation

Le mouvement de rotation

Le mouvement de divergence

Opérateur Nabla ∇ ~

Gradient d’une fonction scalaire

Gradient dans la base cartésienne

Gradient dans la base cartésienne

Remarques

Divergence d’un champ de vecteur

Soit un cube infinitésimal, de cotés dx, dy, dz

Exemple

Remarques

Théorème de divergence de Gauss

Rotationnel d’un vecteur

Rotationnel d’un vecteur

Rotationnel dans la base cartésienne

Circulation d’une fonction vectorielle A ~ de

composante A

, A

et A

le long d’un con-

tour fermé C infinitésimal dans le plan

(~e

, ~e

):

Circulation d’une fonction vectorielle A ~ de composante A

, A

et A

le long d’un contour fermé C infinitésimal dans le plan (~e

, ~e

)

Circulation d’une fonction vectorielle A ~ de composante A

, A

et A

le long d’un contour fermé C infinitésimal dans le plan (~e

, ~e

)

Circulation d’une fonction vectorielle A ~ de composante A

, A

et A

le long d’un contour fermé C infinitésimal dans le plan (~e

, ~e

)

Circulation d’une fonction vectorielle A ~ de composante A

, A

et A

le long d’un contour fermé C infinitésimal dans le plan (~e

, ~e

)

Circulation d’une fonction vectorielle A ~ de composante A

, A

et A

le long d’un contour fermé C infinitésimal dans le plan (~e

, ~e

)

Contour fermé de normale quelconque.

Exemple

Quelques remarques:

• Le rotationnel est un vecteur, qui se calcule pour un champ vectoriel.

On ne peut pas l’appliquer à un scalaire.

• Le rotationnel d’un gradient est toujours nul, et ce quel que soit le

champ scalaire dont on calcule le gradient.

Laplacien

La divergence du gradient d’une fonction scalaire f est appelé Laplacien.

• En coordonnées cartésiennes on a:

∇ · ~ ∇ ~ f = ∂

f (x, y, z)

∂x

+ ∂

f (x, y, z )

∂y

+ ∂

f (x, y, z)

∂z

Quelques propriétés

Exemple

Soit la fonction: f (x, y, z ) = 3xz