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Submitted on 1 Jan 1916
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Influence de la résistance de l’air sur la translation des mobiles animés d’un mouvement de rotation
Z. Carrière
To cite this version:
Z. Carrière. Influence de la résistance de l’air sur la translation des mobiles animés d’un mouvement de rotation. J. Phys. Theor. Appl., 1916, 6 (1), pp.237-248. �10.1051/jphystap:019160060023700�.
�jpa-00241970�
237
INFLUENCE DE LA RÉSISTANCE DE L’AIR SUR LA TRANSLATION DES MOBILES ANIMÉS D’UN MOUVEMENT DE ROTATION ;
Par M. Z. CARRIÈRE.
PENDULE CONIQUE TOURNANT.
1. Description de l’appare£l. - J’appelle « pendule conique tour-
nant » un pendule conique qui tourne autour de son fil de sus-
pension.
Je prends comme corps pendulaire un cylindre circulaire métal-
lique C 8) limité par deux sections droites distantes de 109 mil- limètres. Son diamètre est de 11$ millimètres, et sa masse de
912 grammes. Il est suspendu de manière que ses génératrices
soient verticales par un fil de fer f de de diamètre et de 2645 millimètres de longueur. L’extrémité supérieure de ce fil est
attachée à l’axe T vertical de la poulie horizontale P qu’un moteur fait
tourner d’un mouvement uniforme. Une couronne de billes horizon- tale est interposée entre la poulie et son support. Un compte-tours M
donne le nombre total n de tours effectués pendant un temps
déterminé.
A quelques centimètres au-dessus de la poulie P est fixé, centré
sur 00’, un disque gradué horizontal D, muni d’une alidade A à fenêtre radiale R. Le disque, l’alidade et la fenêtre sont représentés
en projection horizontale en D~ , A1, R, , à la partie supérieure de la figure. Lia graduation est’ indiquée de 15° en ~~°, ces divisions
seront seules utilisées.
La partie inférieure de la figure 8 et la figure 9 représentent, éga-
lement en projection horizontale, une série de circonférences ayant
pour centre commun le point 0 où la verticale 00’ perce le sol. Ces circonférences sont tracées à la craie sur le plancher du laboratoire s leurs diamètres vont en croissant de 10 en 10 centimètres. Des rayons faisant entre eux respectivement des angles de 15°, numérotés 0, 15, 30, ..., 345, définissent douze azimuts ou plans verticaux pas- sant par la verticale 00’ angulairement équidistants.
Les distances O’C et 0’O mesurent respectivement 2m ,80 et 3 mètres.
Les oscillations du pendule étudiées seront toujours petites. Dans
ces conditions, la projection horizontale de la courbe décrite dans
J. de Phys., 5« série, t. V. (Juillet-Août-Septembre 1916.) 16
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:019160060023700
238
l’espace par le centre C du cylindre tournant se confond sensible- ment avec la perspective sur le sol de la même courbe vue du
point O’. C’est une ellipse de centre 0 dont les axes tournent autour
01
FIG. 8.
de 00’. Il s’agit de mesurer la vitesse de cette rotation Q 9).
Je détermine le temps Jt nécessaire pour que le grand axe de l’ellipse passe de l’un des azimuts définis ci-dessus au suivant. Je reconnais que le grand axe est dans un azimut donné, par exemple
dans l’azimut défini par le diamètre 4t3-225 (fig. 9), quand le mobile
observé traverse ce diamètre normalement, s’en approchant, puis
s’en éloignant avec la même vitesse.
239 Le mobile s’attarde du côté de ce diamètre où se trouve le grand
axe.
Ces propriétés du mouvement elliptique existent pour un obser- vateur placé en un point quelconque du plan vertical passant par le
grand axe. Pratiquement, je me place au-dessus du disque D (Iîg. 1),
l’oeil derrière la fenêtre R de l’alidade A convenablement orientée.
Le mobile observé est la tête E de la pince qui tient l’extrémité inférieure du fil. J’isole sa trajectoire des trajectoires des autres points du cylindre en prenant celui-ci creux, supprimant sa base
inférieure et ajourant fortemant sa base supérieure. Pendant la rota-
tion, cette dernière se comporte comme un disque transparent en
tous ses points, sauf au centre dont la trajectoire se détache ainsi nettement sur le tracé du plancher.
Le temps ot n’est déterminé qu’à 3 ou 4 secondes près ; 3%3 est la durée moyenne des oscillations du pendule conique. Encore, cette approximation est-elle une limite supérieure valable seulement pour des ellipses dont le
rapport b
a est petit. p Elle est moindrequand b
a serapproche de l’unité.
Les circonférences du plancher permettent de déterminer les dimensions et b des axes de l’ellipse.
Je fais tourner la poulie P au’ moyen d’un moteur électrique
de 1 de cheval, branché sur le secteur d’éclairage à 1~0 volts.
Pour uniformiser sa marche, je n’ai pu utiliser un régulateur aboules ’
seul. Chaque mise en court-circuit d’une résistance produit, en effet,
pour la poulie P une brusque variation de vitesse équivalant pour le
cylindre C à un lancement générateur d’oscillations de torsion. J’ai dû employer un régulateur d’absorption. J’en ai constitué un au
moyen d’une latte de bois (1 m. m 5 cm. X 5 mm.) disposée comme
lame vibrante. Elle est renforcée, au niveau de l’encastrement, par de fortes bandes en caoutchouc tendues dans le sens de la longueur,
formant une épaisseur totale de 4 centimètres. L’amortissement est
encore accru par un carton (30 cm. X 40 cm.) fixé à l’extrémité libre de la latte, normalement au plan de flexion.
La marche du moteur est réglée et maintenue à la plus forte
résonance avec la lame dont il entretient les oscillations. Le réglage automatique par régulateur à boules vaut pour de faibles variations de voltage. Avec les grandes variations que subissent les secteurs
240
d’éclairage, j’ai préféré employer le réglage à la main. Les oscilla-
tions de la lame étant lentes (3 oscillations à la seconde) et de grande amplitude (10 centimètres) j’étais vite prévenu par l’aeil ou l’oreille
d’une variation de vitesse. ,
FrG. 9.
Lia rotation uniforme de la poulie P n’entraîne pas, dès le début, la rotation uniforme du cylindre C. Le système fil-cylindre se com- porte comme un pendule de torsion dont les oscillations se super- posent à la rotation de la tige T. La vitesse du cylindre C passe par des maxima et des minima. Les oscillations de torsion s’amortissent peu à peu. Après une dizaine de minutes, la différence entre les maxima et les minima est petite (environ 2 0/0) et on peut considé-
rer le cylindre comme tournant uniformément. Il reste à le lancer
comme pendule circulaire ou conique.
La rotation continue interdit le lancement par les procédés usuels.
J’agis par impulsions légères, brèves et répétées sur le fil de sus-
241
pension et en son milieu. De tous les éléments du système tournant
c’est le fil qui a la vitesse périphérique minima et c’est pour le milieu du fil que l’annulation momentanée pendant l’impulsion de
cette vitesse périphérique produit la perturbation et la déformation minima.
Le tracé du plancher contient les repères d’après lesquels je dirige les impulsions pour réaliser une trajectoire elliptique quel-
conque donnée à l’avance.
2’. Sens de la rotation Q et de la circulation r. - La vitesse de rotation Q du grand axe de l’ellipse dépend de la vitesse de rotation w
imposée au fil et, par suite, au cylindre C. Ces vitesses sont toujours
de même signe (fig. 9) ; l’inversion de l’une entraîne l’inversion de l’autre.
Le sens de circulation r sur l’ellipse dépend de co d’une façon
moins stricte. Supposons le ppndule lancé comme circulaire. L’os- cillation plane
d’abord ( =
0 devient peu à peu elliptique(b
> oa (a
et tend finalement, à mesure qu’elle s’amortit, vers la forme circulaire
i) .
En même temps, le grand axe tourne avec la vitesse Q. Dea
plus, à mesure que l’ellipse s’ouvre, on constate qu’elle est parcourue par le cylindre dans le sens r de la fig. 9. Ce sens persiste jusqu’à
amortissement complet des oscillations qui se font alors suivant des circonférences évanouissantes parcourues avec une vitesse angulaire
constante de signe contraire au signe de o et de Q.
Quand, gardant le même signe pour w, on impose, au début, une
oscillation elliptique avec circulation inverse de celle qui vient d’être
définie, le signe de 0 n’est pas changé, mais, au lieu de croître à partir de la valeur initiale imposée, le
rapport b
a commence pardécroître jusqu’à zéro, puis, croît à nouveau pour tendre définitive- ment vers l’unité.
Quand -
a = o, l’ellipse étant réduite à une droite, .le sens de circulation change et devient, pour les ellipses ultérieures,
conforme à la fig. 9. Le phénomène se décompose en deux phases ; pendant la première, la circulation imposée que j’appellerai circula-
tion forcée ou négative est annulée ; pendant la deuxième, on
retrouve le mouvement décrit à l’alinéa précédent dont j’appellerai
242
la circulation, circulation spontanée ou positive. Celle-ci seule dépend de oj ; elle est seule réalisée dans les paragraphes suivants,
sauf au- 6.
3. Description du phénomène. - Le tableau suivant donne, pour les azimuts indiqués : 1° les époques t auxquelles le grand axe de l’ellipse est dans ces azimuts; ~° les temps AI nécessaires pour que le grand axe tourne de 30° ; 3° les vitesses de rotation Q rapportées à
la vitesse w pendant le premier intervalle àt ; les indications n du
compte-tours aux époques t ; DO les quotients
(0 ;
1t; 6° les gran-deurs a et b des axes de l’ellipse et leur rapport b.
et
L’ellipse de lancement est très aplatie, mais non réduite à une droite ;
la circulation est dans le sens spontané. La colonne An montre
’- AI
que la rotation imposée est uniforme à 4 0/0 prés. La vitesses Q n’est pas constante. Elle décroit à mesure que les oscillations
s’amortissent; la diminution atteint 20 0/0 en 12 minutes, la rotation totale du grand axe de l’ellipse étant de ~.~0°. La grandeur b du petit
axe de l’ellipse passe par un maximum ; mais le
rapport b
a croît cons-tamment. On peut imposer au début une ellipse telle que b diminue
en même temps que a ; mais toujours, cz diminuant plus vite que b,
1 b
.
le rapport - va croissant.
a
4. Relation entî-e w et 2. - 0 variant dans le cours d’une expé- rience, il ne peut être question de comparer que les vitesses
243 moyennes réalisées avec des rotations différentes, entre deux azi-
muts donnés. Encore faut-il, pour la légitimité des comparaisons,
que les ellipses de lancement soient à peu près les mêmes.
Le tableau suivant donne le résultat de trois expériences à
vitesse 2013 variable indiquée dans la première colonne. La colonne 3t
...1t
indique le nombre de secondes nécessaire pour que le grand axe de l’ellipse tourne de ~~°; ~2 est le nombre total de tours imposés pendant
le temps 6.t. On donne les dimensions des axes des ellipses initiale b~) et finale (et, b).
Le nombre n est le même pour les trois expériences à 1 près.
40, A la même approximation, on peut dire que £1 est proportionnel
à o>. Remarquant que n diminue légèrement quand c~ croît, on peut
écrire Q = Kwp, p 1. Les dernières colonnes montrent que les
ellipses comparables au début par la volonté de l’expérimentateur
étaient encore comparables après une diminution de leur grand axe atteignant 50 0/0 et une rotation du même axe de 45".
5. Influence des dimensions, nature et poids dit cylindre tournant.
- Je fais varier la hauteur A du cylindre tournant en prolongeant
ses parois par un cylindre de papier. Je fais varier son diamètre D en
le frettant, au niveau de ses bases, de deux couronnes de carton iden-
, tiques servant de support à un cylindre de papier. Je maintiens son
poids à la valeur unique de 1336 grammes en lestant convenable- ment de sable une rigole circulaire horizontale introduite à frotte- ment dur dans le cylindre, en son milieu.
Dans les expériences ci-après, j’ai fait varier de 1 à 2 les dimensions D et h. Les valeurs de ces quantités représentées par l’unité au tableau sont celles du § 1 ~J~ _ ~ i8 mm. h = 109 mm).
Le facteur
2w ’TC
2,-c varie aussi à peu près du simple au double ; sesvaleurs sont portées dans la deuxième colonne. Je calcule et porte
244
dans les colonnes suivantes : 1° les aires S de la surface latérale du
cylindre mesurées par les produits Dh ; 2° les vitesses linéaires V des éléments de cette surface, mesurées par les produits D 2w ; 7t-)
3° les produits VS ; 4° les temps AI nécessaires pour que le grand
axe tourne de 60°; 5° les vitesses moyennes Q pendant ces temps, rapportées à la première d’entre elles prise pour unité.
Les ellipses de départ sont les mêmes, très aplaties et avec circu- lation positive.
Les expériences 1 et 5 où w seul varie confirment les conclusions du para graphe précédent
Les groupes d’expérience 1-2, -3, ~-4 où S varie du simple au
double donnent des rapports très variables pour les vitesses Q. On doit comparer seulement les groupes 1-3 et 5-4 où S varie par varia- tion de h. Quand h est doublé, Q est plus que doublé. On peut écrire
f2 ~ 1. Le groupe 1-2 montre que l’augmentation de
surface par augmentation de D fait croître mais moins vite que D.
On pent écrire :
On peut se demander si ces différentes relations se ramènent à
une fonction unique du produit VS. Les groupes 2-4 et 3-5, où on a sensiblement VS - C~e avec des vitesses 0 très variables montrent que cette simplification n’est pas acceptable.
11 faut écrire :
C’est donc la hauteur h qui a dans le phénomène l’influence pré-
dominante. Cette conclusion a été vérifiée à part avec le même
245
cylindre et les valeurs successives 1, 2, 3 pour h. J’ai trouvé pour Q les valeurs 1,0, 2,6, 4,6.
Je fais varier la nature des parois du cylindre tournant en les
endmisant de colle liquide et les saupoudrant de râpure de liège.
Même avec des grains de liège de 1 millimètre, on ne trouve pas de variation sensible pour la vitesse Q.
Il va sans dire que Q varie avec le poids du cylindre tournant. Une
boîte cylindrique circulaire n - li centimètres, h = 12 centimètres
pesant 140 grammes, pour - - 27, 2,4 donne une ellipse tournant de
90° en 2 minutes. Remplie de sable et pesant 12£0 grammes, w gar- dant la même valeur, elle ne donne la même rotation de l’ellipse qu’en i7 minutes. Un cylindre de papier de 32 centimètres de hauteur et 30 centimètres de diamètre pesant 50 grammes donne, au lieu
d’une ellipse tournante, un polygone étoilé à trois branches indi-
quant, pour le plan d’oscillation, une rotation de 3600 en quelques
secondes.
6. Lancement avec cirettlation forcée ou négative. - D’après le
~ ~, le cliangement de signe de la circulation r n’entraîne pas de
changement de signe pour Q. Il reste à déterminer si et comment ce
changement de signe influe sur la grandeur de Q. Le tableau ci- dessous répond à la question. ~t est le temps nécessaire pour que
l’ellipse tourne de 90°. Je donne les dimensions initiales (ao b«), et
finales (a, b) des ellipses. Les dimensions initiales sont seules compa-
rables,
puisque b
b tend vers zéro p our r o, vers l’unité pourrables, a tend vers zéro pour r 0, vers l’unité pour
Le changement de signe de r a donc une grande influence sur la grandeur de Q qui est à peu près doublé. Que r soit > o ou o, Q diminue à mesure que les oscillations s’amortissent. Mais avec r ~ o
la valeur initiale -Q, est plus grande qu’avec r > o.
Pour comparer l’amortissement réalisé avec les deux circulations,
les nombres du tableau ci-dessus ne peuvent fournir aucun rensei- gnement puisque les ellipses finales sont de formes très différentes.
246
La comparaison peut se faire pour deux ellipses très voisines
de la forme circulaire. La circonférence parcourue dans le sens > o
ne se déforme pas. Celle qui est parcourue dans le sens C o tend à se
déformer. Je prends un oscillateur léger (boîte de fer-blanc du § 5 pesant 140 grammes), et je considère une dizaine d’oscillations seu-
lement dans chaque cas. En 10 oscillations, soit 33 secondes, le
rayon de la circonférence passe de 40 à 25 pour F > o, de 40 à 16 pour r o. La circulation négative aug mente l’amortissement.
7. Discussion des causes du - J’assigne pour cause
au phénomène qui vient d’être décrit la résistance de l’air au mouve-
ment du pendule tournant.
Un pendule conique quelconque décrit généralement une ellipse
doni les axes tournent autour de la verticale du point de suspen- sion (~ ) .
Appelons Q’ la vitesse de rotation de ces axes et I~’’ la circulation
sur cette ellipse: le signe de r’ conditionne le signe de l’inver-
sion du premier entraîne l’inversion du second. C’est là une première
différence avec le phénomène qui mous occupe, où le signe de n dépend
du signe de c~ et pas du signe de r (§ 2).
La circulation positive seule r > o peut être considérée comme
caractéristique de Q. Or, si on considère deux pendules coniques,
l’un tournant et l’autre non tournant, dont les ellipses sont parcou-
rues dans le même sens, leurs 1-otations Q et n’ sont inverses.
Q’ est proportionnel à l’aire de l’ellipse et s’annule avec cette aire.
a est indépendant de cette aire et a une valeur non nulle pour
l’ellipse réduite à une droite. Bien plus, à partir de la valeur qu’il a
pour l’ellipse d’aire nulle, n décroît constanlment pendant que
l’ellipse s’ouvre, limitant une aire de plus en plus grande.
est à peu près porportionnel à w. D’n’est défini que pour w ‘ o.
Cette différence radicale empèclie d’établir une comparaison numé- rique de quelque valeur entre f2 et Q’. Assurément, il existe une
valeur de w, pour laquelle, à partir d’une ellipse donnée, les valeurs absolues de Q et de D seraient égales. C’est une vitesse de rotation très faible. Une ellipse d’axes a = 41 centimètres, b = 2 centimètres tourne de 30° en 2 minutes p3 secondes quand le cylindre fait 2,2
(1) Voir le T)’ailé de Mécanique rationnelle de M. P. APPELL ou encore BavAssE,
Cours Mécanique rationnelle et expérin2entccle, p.
247 tours par seconde, en ii minutes quand la rotation du cylindre est supprimée.
Ces différences suffisent pour séparer nettement le phénomène
étudié des propriétés du pendule conique. Le fail que Q croît avec (O,
avec D et surtout h légitime l’hypothèse qu’il s’agit d’un phénomène
dîi à la résistance de l’air.
,
La faible dépendance de Q et du poli plus ou moins parfait des- parois du cylindre n’est pas un obstacle à cette conclusion si on
admet que le frottement se produit entre les couches d’air respectives
dont la plus voisine du cylindre lui reste adhérente.
Le pendule conique tournant se comporte comme les balles sphé- riques de topinambour dont il est question dans la première partie
de ce travail (1).
Pendule et balles constituent un système tournant autour d’un axe
principal d’inertie normal au plan osculateur à la trajectoire du
centre de gravité.
La rotation étant définie de gauche à droite d’un bonhomme cou-
ché sur l’axe de rotation, la résistance de l’air produit une déviation
de la trajectoire vers la droite du bonhomme qui regarde dans la
direction de la vitesse du centre de gravité. La déviation s’entend par rapport à la trajectoire normale, c’est-à-dire en l’absence de rota- tion.
Dans la fis. 9, on doit considérer le diamètre 43-225 comme trajec-
toire w = o. C’est ce diamètre, en effet, que décrit le pendule non
tournant convenablement lancé, pourvu qu’on néglige l’influence de
. la rotation de la terre. Quand il tourne comme l’indique la figure 9, supposé en C1 et allant vers 0, il doit, d’après la règle du bonhomme,
subir la déviation C:1C ; supposé en C, et allant à l’opposé de 0, il
doit subir la déviation C1 CI. Les deux déviations concourent à ouvrir
l’ellipse comme il a été constaté plus haut.
Supposons le pendule conique tournant comme il est indiqué fig. 9
et lancé au début suivant une ellipse avec circulation négative inverse
de celle représentée sur la figure. Les déviations changent de signe
pour les points considérés. Au lieu de s’ouvrir, l’ellipse se ferme.
La règle s’applique en tous les points de la trajectoire et donc au voisinage du sommet de l’ellipse. De ce chef, le grand axe tend à
croître comme le petit. Mais, la vitesse de translation est maxima (1) Voir J. de Phys., mai-juin 1916, p. 175.
248
au voisinage du petit axe et produit là la déviation et l’accroisse- ment ou la diminution d’axe maxima ; b , tend vers l’unité si r > o,
a vers zéro si r o.
CONTRIBUTION A L’ÉTUDE DE L’ENVELOPPE DES ONDES SPHÉRIQUES ÉMISES
PAR UN MOBILE SE DÉPLAÇANT SUIVANT UNE LOI DONNÉE (1)
Par M. M. AUBERT
Considérons un point M dont les coordonnées a, b, c sont des
fonctions du temps, et supposons que M, se déplaçant dans un mi-
lieu homogène et isotrope, soit à chaque instant le centre de produc-
tion d’ondes sphériques E se propageant avec une vitesse constante V.
Nous nous proposons d’étudier les propriétés à l’époque 1" de l’enve- loppe E des ondes émises par dans son mouvement.
-1
I. Soit r la courbe décrite par M, l’onde sphérique qui a pris
naissance à l’instant t a pour équation :
E, enveloppe des ondes S est le lieu des cercles C intersection de £
avec le plan P.
a’, b’, c’ désignant les dérivées respectives de a, b, c par rapport
à t.
P est perpendiculaire à la tangente NIT en M à ~a courbe r.
(1) Cet article est extrait d’nn long travail qui m’a été adressé du Bois Le Prêtre, où il a longtemps combattu (mai 1915 à juillet 1916), par le sergent M. Au-
BERT. docteur es sciences, préparateur au Laboratoire de G. LippMANN.
Le soldat français conserve en toute occasion, avec une parfaite lucidité d’in-
telligence, toutes les ressources de ses facultés créatrices. Les mémoires que j ai
reçus de plusieurs de mes élèves l’établissent indubitablement; le front d’ail- leurs est un vaste laboratoire propice aux observations fécondes.
Ne suffit-il pas d’écouter le grondement du canon et de suivre les particularités acoustiques dues au sillage du projectile, en s’inspirant des vues d’Huygens,
pour qu’aussitôt le problème de première approximation, résolu dans ces
quelques pages, s’impose impérieusement à l’esprit. A. G.
