Intégration des fonctions en escalier sur un compact de R
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IN I NT TE EG GR RA AT TI IO ON N D D ES E S F FO ON N CT C TI IO ON NS S E EN N E ES SC C AL A LI IE ER R S SU UR R U UN N C C OM O MP PA AC CT T D DE E R R
1 Quelques définitions
1.1 Subdivision d'un segment
On appelle subdivision de [ ; ]a b une famille finie strictement croissante σ =( )cj 0≤ ≤j n avec n∈`*, c0 =a et cn =b. on note S[ ; ]a b l'ensemble des subdivisions de [ ; ]a b , ou S s'il n'y a pas d'ambiguïté.
1.2 Pas ou module d'une subdivision
Si σ =( )cj 0≤ ≤j n∈S, on appelle pas ou module de la subdivision σ le réel 1
1
( ) max( j j )
j n c c
δ σ −
= ≤ ≤ − . Si σ =( )cj 0≤ ≤j n et σ'=( ' )c j 0≤ ≤j p sont deux subdivisions de [ ; ]a b , on dit que σ est plus fine que σ' si
{
c'j/ 0≤ ≤j p} {
⊂ cj/ 0≤ ≤j n}
.σ σ∪ ' est la subdivision associée à
{
c'j/ 0≤ ≤j p} {
∪ cj/ 0≤ ≤j n}
.1.3 Fonction en escalier
Une fonction f est dite en escalier (ou constante par morceau) sur [ ; ]a b quand il existe une subdivision σ =( )cj 0≤ ≤j n de [ ; ]a b telle que pour tout j vérifiant 1≤ ≤j n, f est constante sur
]cj−1;cj[.
2 Intégrale d'une fonction en escalier
2.1 Proposition
Soit f une fonction réelle en escalier sur [ ; ]a b et σ =( )cj 0≤ ≤j nune subdivision adaptée à f. On pose
1 1
( , ) ( )
n
j j j
j
I f σ c c− λ
=
=
∑
− , où λj est la valeur prise par f sur ]cj−1;cj[. pour toute subdivision σ' plus fine que σ , on a I f( ,σ')=I f( ,σ).Démonstration
Soit [ ; ]c∈ a b . Il existe un entier i vérifiant 1≤ ≤i n tel que c∈]ci−1; [ci . Soit σ'=
{
cj/ 0≤ ≤j n}
∪{ }
c . σ' est plus fine que σ .Si c=ci, ou c=ci+1, l'égalité I f( ,σ')=I f( ,σ) est triviale.
Sinon, il s'agit de deux éléments de \ qui ne diffèrent que par les termes :
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(ci−ci−1)λi et (ci−c)λi'+ −(c ci−1)λi", où λi' et λi" sont les valeurs constantes de f sur ]ci−1; [c et ] ;c ci+1[.
Or c∈] ;c ci i+1[ donc λ λ λi = i' = i".
Comme ci −ci−1= − + −ci c c ci−1, on en déduit que I f( ,σ')=I f( ,σ).
Par une récurrence immédiate sur le nombre de points à rajouter à σ pour obtenir σ', la proposition est démontrée.
Conséquence :
Si σ et σ' sont deux subdivisions adaptées à f , alors ( ,I f σ)=I f( ,σ')=I f( ,σ σ∪ ').
2.2 Intégrale
Le nombre ( , )I f σ ainsi défini est appelé intégrale de f sur [ ; ]a b , aussi noté b
a f
∫
.2.3 Propriété L'application b
f 6
∫
a f définie sur l'ensemble des fonctions en escalier sur [ ; ]a b , est linéaire.Démonstration
Soient f et g deux fonctions en escalier sur [ ; ]a b . Soient ,α β∈\. Soit σ une subdivision adaptée à f . Alors σ est adaptée à (α f). Soit σ' une subdivision adaptée à g. Alors σ' est adaptée à (βg). σ σ∪ ' est adaptée à (αf)et à (βg), donc à (α f +βg).
( ) ( , ')
b
a αf +βg =I α f +β σ σg ∪
∫
1 '
1
( )( )
n
j j i j
j
c c − αλ βλ
=
=
∑
− + , où ' 11
] ; [
] ; [
i j j
i j j
est la valeur prise par f sur c c est la valeur prise par g sur c c λ
λ
−
−
⎧⎪⎨
⎪⎩
1 1 '
1 1
( ) ( )
n n
j j j j j j
j j
c c c c
α − λ β − λ
= =
=
∑
− +∑
−=α I f( ,σ σ∪ ')+β I g( ,σ σ∪ ')
=αI f( , )α +βI g( ,σ') car σ σ∪ ' est adaptée à f et à g et est plus fine que σ et σ') b b
a f a g
α β
=
∫
+∫
.2.4 Propriété
Si f est une fonction en escalier sur [ ; ]a b , alors b b
a f ≤ a f
∫ ∫
.Démonstration
Soit f une fonction en escalier sur [ ; ]a b et σ =( )cj 0≤ ≤j n une subdivision adaptée à f.
( , )
b
a f = I f σ
∫
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1
1
( )
n
j j j
j
c c − λ
=
=
∑
− où λj est la valeur prise par f sur ]c cj; j−1[1
1
( )
n
j j j
j
c c − λ
=
≤
∑
− car cj−cj−1 >0Or, σ est aussi adaptée à f et λj est la valeur prise par f sur ]c cj; j−1[.
Donc b b
a f ≤ a f
∫ ∫
2.5 Propriété
Soit f une fonction en escalier sur [ ; ]a b et c∈] ; [a b . Alors la restriction de f à [ ; ]a c est une fonction en escalier (que l'on notera abusivement f), de même que la restriction de f à [ ; ]c b et on
a : b c b
a f = a f + c f
∫ ∫ ∫
.Démonstration
Soit σ =( )cj 0≤ ≤j n une subdivision adaptée à f, contenant c∈] ; [a b . Notons
j0
c=c .
0
0
1 1
1 1
( ) ( )
j n
b
j j j j j j
a j j j
f c c− λ c c − λ
= = +
=
∑
− +∑
−∫
c b
a f c f
=
∫
+∫
car ( )cj 0≤ ≤j j0 est adaptée à f sur [ ; ]a c et( )cj j0≤ ≤j n est adaptée à f sur [ ; ]c b .