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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Intégration des fonctions en escalier sur un compact de R

© S. DUCHET - www.epsilon2000.fr.st 1/3

IN I NT TE EG GR RA AT TI IO ON N D D ES E S F FO ON N CT C TI IO ON NS S E EN N E ES SC C AL A LI IE ER R S SU UR R U UN N C C OM O MP PA AC CT T D DE E R R

1 Quelques définitions

1.1 Subdivision d'un segment

On appelle subdivision de [ ; ]a b une famille finie strictement croissante σ =( )cj 0≤ ≤j n avec n∈`*, c0 =a et cn =b. on note S[ ; ]a b l'ensemble des subdivisions de [ ; ]a b , ou S s'il n'y a pas d'ambiguïté.

1.2 Pas ou module d'une subdivision

Si σ =( )cj 0≤ ≤j nS, on appelle pas ou module de la subdivision σ le réel 1

1

( ) max( j j )

j n c c

δ σ

= ≤ ≤ − . Si σ =( )cj 0≤ ≤j n et σ'=( ' )c j 0≤ ≤j p sont deux subdivisions de [ ; ]a b , on dit que σ est plus fine que σ' si

{

c'j/ 0≤ ≤j p

} {

cj/ 0≤ ≤j n

}

.

σ σ∪ ' est la subdivision associée à

{

c'j/ 0≤ ≤j p

} {

cj/ 0≤ ≤j n

}

.

1.3 Fonction en escalier

Une fonction f est dite en escalier (ou constante par morceau) sur [ ; ]a b quand il existe une subdivision σ =( )cj 0≤ ≤j n de [ ; ]a b telle que pour tout j vérifiant 1≤ ≤j n, f est constante sur

]cj1;cj[.

2 Intégrale d'une fonction en escalier

2.1 Proposition

Soit f une fonction réelle en escalier sur [ ; ]a b et σ =( )cj 0≤ ≤j nune subdivision adaptée à f. On pose

1 1

( , ) ( )

n

j j j

j

I f σ c c λ

=

=

, où λj est la valeur prise par f sur ]cj1;cj[. pour toute subdivision σ' plus fine que σ , on a I f( ,σ')=I f( ,σ).

Démonstration

Soit [ ; ]ca b . Il existe un entier i vérifiant 1≤ ≤i n tel que c∈]ci1; [ci . Soit σ'=

{

cj/ 0≤ ≤j n

}

{ }

c . σ' est plus fine que σ .

Si c=ci, ou c=ci+1, l'égalité I f( ,σ')=I f( ,σ) est triviale.

Sinon, il s'agit de deux éléments de \ qui ne diffèrent que par les termes :

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Intégration des fonctions en escalier sur un compact de R

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(cici1i et (cici'+ −(c ci1i", où λi' et λi" sont les valeurs constantes de f sur ]ci1; [c et ] ;c ci+1[.

Or c∈] ;c ci i+1[ donc λ λ λi = i' = i".

Comme cici1= − + −ci c c ci1, on en déduit que I f( ,σ')=I f( ,σ).

Par une récurrence immédiate sur le nombre de points à rajouter à σ pour obtenir σ', la proposition est démontrée.

Conséquence :

Si σ et σ' sont deux subdivisions adaptées à f , alors ( ,I f σ)=I f( ,σ')=I f( ,σ σ∪ ').

2.2 Intégrale

Le nombre ( , )I f σ ainsi défini est appelé intégrale de f sur [ ; ]a b , aussi noté b

a f

.

2.3 Propriété L'application b

f 6

a f définie sur l'ensemble des fonctions en escalier sur [ ; ]a b , est linéaire.

Démonstration

Soient f et g deux fonctions en escalier sur [ ; ]a b . Soient ,α β∈\. Soit σ une subdivision adaptée à f . Alors σ est adaptée à (α f). Soit σ' une subdivision adaptée à g. Alors σ' est adaptée à (βg). σ σ∪ ' est adaptée à (αf)et à (βg), donc à (α fg).

( ) ( , ')

b

a αfg =I α f +β σ σg

1 '

1

( )( )

n

j j i j

j

c c αλ βλ

=

=

− + , où ' 1

1

] ; [

] ; [

i j j

i j j

est la valeur prise par f sur c c est la valeur prise par g sur c c λ

λ

⎧⎪⎨

⎪⎩

1 1 '

1 1

( ) ( )

n n

j j j j j j

j j

c c c c

α λ β λ

= =

=

− +

I f( ,σ σ∪ ')+β I g( ,σ σ∪ ')

I f( , )α +βI g( ,σ') car σ σ∪ ' est adaptée à f et à g et est plus fine que σ et σ') b b

a f a g

α β

=

+

.

2.4 Propriété

Si f est une fonction en escalier sur [ ; ]a b , alors b b

a fa f

∫ ∫

.

Démonstration

Soit f une fonction en escalier sur [ ; ]a b et σ =( )cj 0≤ ≤j n une subdivision adaptée à f.

( , )

b

a f = I f σ

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Intégration des fonctions en escalier sur un compact de R

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1

1

( )

n

j j j

j

c c λ

=

=

λj est la valeur prise par f sur ]c cj; j1[

1

1

( )

n

j j j

j

c c λ

=

car cjcj1 >0

Or, σ est aussi adaptée à f et λj est la valeur prise par f sur ]c cj; j1[.

Donc b b

a fa f

∫ ∫

2.5 Propriété

Soit f une fonction en escalier sur [ ; ]a b et c∈] ; [a b . Alors la restriction de f à [ ; ]a c est une fonction en escalier (que l'on notera abusivement f), de même que la restriction de f à [ ; ]c b et on

a : b c b

a f = a f + c f

∫ ∫ ∫

.

Démonstration

Soit σ =( )cj 0≤ ≤j n une subdivision adaptée à f, contenant c∈] ; [a b . Notons

j0

c=c .

0

0

1 1

1 1

( ) ( )

j n

b

j j j j j j

a j j j

f c c λ c c λ

= = +

=

− +

c b

a f c f

=

+

car ( )cj 0≤ ≤j j0 est adaptée à f sur [ ; ]a c et

( )cj j0≤ ≤j n est adaptée à f sur [ ; ]c b .

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