D1978- Deux solutions,sinon rien [**** à la main]
D’un point P extérieur à un cercle (Γ) de centre O, on mène la droite PO qui rencontre (Γ) en deux points A et B puis une tangente à (Γ) qui touche ce cercle au point T. Les
parallèles issues de A et de B à PT rencontrent respectivement la perpendiculaire issue de T à la droite PO aux points I et J. Démontrer de deux manières différentes au moins que les droites BI et AJ se rencontrent au milieu M de PT.
Solution proposée par G. Thiel
Préliminaires : les angles PTO et ATB sont droits, M' est l'intersection des droites BI et PT, M'' celle des droites JA et PT, K celle de BT et AI, I' celle de AI et PJ, et H celle deTJ et PB . Solution I .
Les angles IAT et OTB sont égaux ayant leurs cotés perpendiculaires, pour la même raison les angles ITA et OBT sont égaux, or les angles OBT et OTB sont égaux dans le triangle isocèle BOT . Donc les angles IAT et ITA sont égaux . Envisageant le triangle rectangle ATK, I est le milieu de l'hypoténuse AK :
une homothétie de centre B assure que M' est le point M .
On en déduit que le faisceau de droites (BJ,BI ; BH,BT) est harmonique donc aussi le faisceau (PJ,PI ; PH,PT), A est le milieu de II' parallèle à la droite PT de ce faisceau : même raisonnement dans une homothétie de centre J ; M'' est le point M .
Solution II .
Les angles alternes internes IAT, ATP sont égaux donc égaux à ITA (cf solution I) ; TA est la bissectrice intérieure de l'angle T du triangle PTH et TB son orthogonale en est la bissectrice extérieure, la division (P,H ; A,B) est harmonique et sécante de deux faisceaux de droites, donc harmoniques, de sommets I et J .
Par parallélisme de PT à une droites des faisceaux, respectivement IA puis JB, on en déduit que M' et M'' sont le point M .
