J159 . L’échiquier nouveau
Problème proposé par Raymond Bloch
Les cases d’un échiquier n x n contiennent 2021 jetons. Les nombres de jetons de deux cases voisines – par une arête commune – diffèrent de 1 exactement. Certaines cases peuvent être vides. Quelle est la plus grande valeur possible de n ?
Solution proposée par Nicolas Petroff
Avec un nombre fixé de jetons, il faut obtenir la plus grande valeur de n (longueur du côté de l’échiquier et de plus il faut que deux cases quelconques voisines par une arête commune
diffèrent de 1 en nombre de jetons dans chaque case les cases doivent être remplies par des 1 ou des 0.
En examinant une cellule carrée composée de quatre cases contiguës, on obtient donc deux configurations possibles avec le nombre de jetons par case :
type a :
et type b : .
Mais en juxtaposant a puis b puis a par des colonnes communes, on obtient : . On peut répéter les opérations de juxtaposition « au dessus », au « dessous », « à droite » et « à gauche et l’on obtient donc un motif qui se répète avec des 1 et des 0 le long de diagonales parallèles à la diagonale principale (bas-gauche vers haut-droite), les diagonales de 1 et de 0 se répétant de la gauche de l’échiquier vers sa droite.
En choisissant un carré avec n impair, on obtient un nombre impair de jetons avec une configuration du type suivant (exemple avec n = 5) :
Chaque ligne du carré est composé des lignes du type c : (1 0 1 0 1) et de lignes du type d : (0 1 0 1 0), le type c comporte jetons, il y a lignes de type c,
Les lignes de type d comportent jetons, il y a lignes de type d, il y a donc au total : [ jetons sur un tel échiquier, soit :( jetons.
On veut N = 2021 :( mais 4041 qui n’est pas un carré parfait est encadré par et .
Choisissons donc un carré de côté n = 63, mais alors ce carré ne pourra comporter que ( jetons, il va donc manquer : 2021 – 1985 = 36 jetons.
En se restreignant à un échiquier , il faut donc répartir les 36 jetons en respectant la condition «les nombres de jetons de deux cases voisines – par une arête commune – diffèrent de 1 exactement » .
Ceci est possible en remplaçant les 0 dans les cellules par des 2 certaines de ces cellules vont donc se transformer en
sans violer la condition de voisinage avec les autres cellules
la plus grande valeur de n est donc n = 63 .
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